高中数学 44向量的分解与坐标表示课件 湘教版必修2.ppt

1 理解向量的线性组合及其意义 会用基表示向量 2 掌握向量的坐标表示及其坐标运算 3 掌握向量平行的坐标表示及其应用 4 4向量的分解与坐标表示 线性组合将一组向量的 称为这些向量的线性组合 比如 xe1 ye2就是e1 e2的线性组合 定理3设e1 e2是平面上两个互相垂直的单位向量 则 1 平面上任意一个向量v都可以分解为e1 e2的线性组合 v 其中x y是两个实数 2 两个向量u ae1 be2和v xe1 ye2相等的充分必要条件是 且 自学导引 1 2 实数倍之和 xe1 ye2 a x b y 平面向量的坐标运算 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 2 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 3 若a x y r 则 a 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 4 一个向量的坐标等于向量终点的坐标 3 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y 减去始点的坐标 向量平行的坐标表示 x1 y1 x2 y2 定理4 平面向量基本定理 设e1 e2是平面上两个不平行的非零向量 则 1 平面上任意一个向量v可以分解为e1 e2的线性组合 v xe1 ye2 2 向量u ae1 be2与v xe1 ye2相等 线性组合式中的对应系数相等 a x且b y 4 5 x1y2 y1x2 0 已知三向量a e1 3e2 2e3 b 4e1 6e2 2e3 c 3e1 12e2 11e3 问向量a能否表示成a 1b 2c的形式 若能 请写出表达式 若不能 请说明理由 提示假设向量a能表示成a 1b 2c的形式 则 e1 3e2 2e3 1 4e1 6e2 2e3 2 3e1 12e2 11e3 即 e1 3e2 2e3 4 1 3 2 e1 6 1 12 2 e2 2 1 11 2 e3 自主探究 预习测评 1 a 4 2 b 3 1 c 1 3 d 1 3 答案c 已知a 0 9 b 4 5 则2a b等于 a 0 13 b 0 13 c 4 13 d 4 13 解析2a b 2 0 9 4 5 4 18 5 4 13 答案d 2 已知四边形abcd为平行四边形 其中a 5 1 b 1 7 c 1 2 则顶点d的坐标为 a 7 0 b 7 6 c 6 7 d 7 6 3 答案d 已知a 1 2 b 2 m 且a b 则m 解析 a b x1y2 y1x2 0 1 m 2 2 0 m 4 答案 4 4 对基的理解任意取定两个互相垂直的单位向量e1 e2作为 尺 可以 度量 平面上任何一个向量v 得出两个 量数 x y 称e1 e2为一组基 用这组基去 度量 每一个向量v 也就是将v写成这组基的线性组合v xe1 ye2 得到的两个 量数 x y组成一组 x y 称为v的坐标 名师点睛 1 向量坐标的理解 1 向量的坐标是指用分别与x轴 y轴方向相同的单位向量e1 e2表示时 其系数组成的有序实数对 2 点的坐标和向量的坐标是有区别的 平面向量的坐标与该向量的起点坐标 终点坐标有关 只有起点在原点时 平面向量的坐标与终点的坐标相同 此外 向量的坐标表示不能漏掉等号 即a x y 3 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点 终点的具体位置无关 只与其相对位置有关 4 两个向量相等的条件是它们的坐标对应相等 2 5 在平面直角坐标系中 平面内的点 以原点为起点的向量 有序实数对三者之间建立一一对应关系 关系图如图所示 已知a 2 1 b 3 4 求 1 3a 4b 2 a 3b 3 解 1 3a 4b 3 2 1 4 3 4 6 3 12 16 6 19 2 a 3b 2 1 3 3 4 2 1 9 12 11 11 题型一向量的坐标运算 例1 典例剖析 点评 1 向量的坐标运算主要是用加 减 数乘运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1 题型二向量坐标的应用 例2 点评向量的坐标表示是给出向量的另一种形式 它只与向量的始点 终点的相对位置有关 三者中给出任意两个 都可以求出第三个 2 已知 a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 且u v 求x 解法一u 1 2 2 x 1 1 2 2x 2 2x 1 4 v 2 1 2 x 1 2 4 x 1 2 x 3 易知v 0 由u v可知 存在 r 使u v 题型三向量共线问题 例3 点评u v 可以用存在 r 使u v来求解 也可以用向量平行的坐标表示公式 3 已知a 3 2 b 5 4 c 6 7 求以a b c为顶点的平行四边形的另一个顶点d的坐标 误区警示考虑问题不全而出错 示例 错因分析只考虑了一种情况 还有另外两种情况没有考虑 可得 6 3 7 2 5 x 4 y 解得x 2 y 1 故所求顶点d的坐标为d 2 1 综上可得 以a b c为顶点的平行四边形的另一个顶点d的坐标是 4 5 或 8 9 或 2 1 纠错心得 求以a b c为顶点的平行四边形abcd的第四个顶点的坐标 与 求以a b c为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标 是有区别的 前者的d点位置确定了 四点a b c d是按同一方向 顺时针或逆时针 排列的 后者的d点位置没有确定 应分三种情况进行讨论 向量的加法 减法及实数与向量的积都可用坐标来进