高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22.ppt

2 2 2反证法 第二章推理与证明 学习导航 1 反证法假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 错误 从而证明了 成立 这种证明方法叫做反证法 不成立 假设 原命题 想一想2 反证法 与 证逆否命题 有什么主要区别 提示 1 两种证法的逻辑原理不同 反证法 的原理是命题与命题的否定一真一假 证逆否命题 的原理是命题与其逆否命题的等价性 即同真假 2 两种证明的推理形式不同 证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发 推出条件的反面成立 而反证法一般是假设结论的反面成立 然后通过推理导出矛盾 2 反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件 公理 定义 定理及明显成立的事实或自相矛盾等 名师点评 1 当结论为否定形式的命题时 通过反设 转化为肯定性命题 可作为条件应用进行推理 因此对此类问题用反证法很方便 2 用反证法证明问题的一般步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 从矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 题型二用反证法证明唯一性命题若函数f x 在区间 a b 上的图象连续不断开 且f a 0 f b 0 且f x 在 a b 上单调递增 求证 f x 在 a b 内有且只有一个零点 证明 由于f x 在 a b 上的图象连续不断开 且f a 0 f b 0 即f a f b 0 所以f x 在 a b 内至少存在一个零点 设零点为m 则f m 0 假设f x 在 a b 内还存在另一个零点n 即f n 0 则n m 若n m 则f n f m 即0 0 矛盾 若n m 则f n f m 即0 0 矛盾 因此假设不正确 即f x 在 a b 内有且只有一个零点 名师点评 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 本例用直接证法中的综合法证明了存在性 反证法证明了唯一性 跟踪训练2 1 证明 方程2x 3有且只有一个根 2 证明 两条相交直线有且只有一个交点 证明 1 2x 3 x log23 这说明方程有一个根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除 得2b1 b2 1 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 2b1 b2 1 这也与2b1 b2 1相矛盾 所以方程2x 3有且只有一个根 2 假设结论不成立 即有两种可能 无交点 不只有一个交点 若直线a b无交点 那么a b或a b是异面直线 与已知矛盾 若直线a b不只有一个交点 则至少有两个交点a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上 所以结论成立 即两条相交直线有且只有一个交点 题型三用反证法证明 或解答 至多 或 至少 类命题 名师点评 1 要想得到原命题的反面 必须先弄清原命题的含义 即原命题包含哪几个结论 不能缩小也不能扩大 2 至多 至少 都 等词语的否定形式 用反证法证题时要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 推导出来的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与定理 公理相违背等 但推导出的矛盾必须是明显的 信