第08章梁的弯曲应力1

第8章梁的应力 熟悉工程上常见梁的弯曲正应力 弯曲剪应力的概念 掌握常见梁的弯曲正应力 弯曲剪应力的计算及强度计算 熟悉平面图形的几何性质 了解强度理论的概念 梁在荷载作用下 横截面上一般都有弯矩和剪力 相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力 8 1梁的弯曲正应力 1 变形几何关系 弯曲平面假设 变形后 横截面仍保持平面 且仍与纵线正交 2 物理关系 3 静力学关系 z轴必须通过截面的形心 横截面对y和z轴的惯性积为零 y和z轴为主轴 8 1 2最大弯曲正应力 圆形截面的抗弯截面系数 矩形截面的抗弯截面系数 空心圆截面的抗弯截面系数 例8 1图所示悬臂梁 自由端承受集中荷载F作用 已知 h 18cm b 12cm y 6cm a 2m F 1 5KN 计算A截面上K点的弯曲正应力 解 先计算截面上的弯矩 截面对中性轴的惯性矩 A截面上的弯矩为负 K点是在中性轴的上边 所以为拉应力 8 2平面图形的几何性质 反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量 统称为截面的几何性质 8 2 1形心和静矩 形心坐标公式 静矩又称面积矩 组合图形是几个规则而成的图形 图形组合的静矩 图形组合的形心坐标公式 8 2 2惯性矩 惯性积和平行移轴定理 惯性矩定义为 惯性积定义为 极惯性矩定义为 同一截面对不同的平行的轴 它们的惯性矩和惯性积是不同的 平行移轴公式 例8 2计算图示T形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩 选参考坐标系oz y 2 计算截面惯性矩 8 3梁的弯曲剪应力 当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用 这时梁的最大弯矩比较小 而剪力却很大 如果梁截面窄且高或是薄壁截面 这时剪应力可达到相当大的数值 剪应力就不能忽略了 8 3 1矩形截面梁的弯曲剪应力 Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距 而Sz 则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距 对于矩形截面 矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布 在截面的上 下边缘 剪应力 0 在中性轴 y 0 剪应力最大 剪应力最大公式 8 3 2工字形截面梁的弯曲剪应力 腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布 在中性轴处 y 0 剪应力最大 在腹板与翼缘的交接处 y h 2 剪应力最小 近似地得表示腹板的剪应力 或 8 3 3圆形截面梁的弯曲剪应力 在中性轴上 剪应力为最大值 max 一般公式 例8 3梁截面如图8 16 a 所示 横截面上剪力FQ 15KN 试计算该截面的最大弯曲剪应力 以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力 截面的惯性矩Iz 8 84 10 6m4 最大弯曲剪应力发生在中性轴上 中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为 解 1 最大弯曲剪应力 最大弯曲剪应力 2 腹板 翼缘交接处的弯曲剪应力 交接处的弯曲剪应力 8 4梁的强度条件 为了保证梁的安全工作 梁最大应力不能超出一定的限度 也即 梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件 8 4 1弯曲正应力强度条件 弯曲正应力强度条件为 要求梁内的最大弯曲正应力 max不超过材料在单向受力时的许用应力 利用上述强度条件 可以对梁进行三方面的计算 正应力强度校核 截面选择和确定容许荷载 8 4 2弯曲剪应力强度条件 最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态 相应的强度条件为 要求梁内的最大弯曲剪应力 max不超过材料在纯剪切时的许用剪应力 在一般细长的非薄壁截面梁中 最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力 但是 对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁 后者如短而粗的梁 集中荷载作用在支座附近的梁等 则不仅应考虑弯曲正应力强度条件 而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用 例8 4图所示外伸梁 用铸铁制成 横截面为T字形 并承受均布荷载q作用 试校该梁的强度 已知荷载集度q 25N mm 截面形心离底边与顶边的距离分别为y1 95mm和y2 95mm 惯性矩Iz 8 84 10 6m4 许用拉应力 t 35MPa 许用压应力 c 140Mpa 解 1 危险截面与危险点判断 梁的弯矩如图示 在横截面D与B上 分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩 因此 该二截面均为危险截面 截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示 截面D的a点与截面B的d点处均受压 而截面D的b点与截面B的c点处均受拉 由于 MD MB ya yd 因此 a d 即梁内的最在弯曲压应力 c max发生在截面D的a点处 至于最大弯曲拉应力 t max 究竟发生在b点处 还是c点处 则须经计算后才能确定 2 强度校核 梁的弯曲强度符合要求 例8 5悬臂工字钢梁AB 长l 1 2m 在自由端有一集中荷载F 工字钢的型号为18号 已知钢的许用应力 170Mpa 略去梁的自重 1 试计算集中荷载F的最大许可值 2 若集中荷载为45kN 确定工字钢的型号 解 1 梁的弯矩图如图示 最大弯矩在靠近固定端处 其绝对值为 Mmax Fl 1 2FN m F的最大许可值为 103N 26 2kN 由附录中查得 18号工字钢的抗弯截面模量为 Wz 185 103mm3 公式 8 16 得 1 2F 185 10 6 170 106 2 最大弯矩值Mmax Fl 1 2 45 103 54 103N m 按强度条件计算所需抗弯截面系数为 查附录可知 22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3 所以可选用22b号工字钢 例8 6例8 5中的18号工字钢悬臂梁 按正应力的强度计算 在自由端可承受的集中荷载F 26 2KN 已知钢材的抗剪许用应力 100Mpa 试按剪应力校核梁的强度 绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图 并计算腹板所担负的剪力FQ1 解 1 按剪应力的强度校核 截面上的剪力FQ 26 2kN 由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸 Iz 1660 104mm4 腹板上的最大剪应力 腹板上的最小剪应力为 3 腹板所担负剪力的计算 可见 腹板所担岁的剪力占整个截面剪力FQ的96 6 8 5提高梁强度的措施 在横力弯曲中 控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力 梁的正应力强度条件 8 5 1合理安排梁的受力情况 8 5 2选用合理的截面形状 矩形截面比圆形截面好 工字形截面比矩形截面好得多 8 5 3采用变截面梁 思考题 1 推导梁平面弯曲正应力公式时作了哪些假设 在什么条件下才是正确的 为什么要作这些假设 2 在什么条件下梁只发生平面弯曲 3 什么是中性层和中性轴 直梁平面弯曲时为什么中性轴通过截面形心 4 提高粱的弯曲强度有哪些措施 习题 8 1一矩形截面梁 梁上作用均布荷载 已知 l 4m b 14cm h 21cm q 2kN m 试校核梁的强度 弯曲时木材的容许应力 8 2简支梁承受均布荷载如图所示 若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面 且D1 40mm 试分别计算它们的最大正应力 并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几 8 3图示悬臂梁 横截面为矩形 承受载荷F1与F2作用 且F1 2F2 5kN 试计算梁内的最大弯曲正应力 及该应力所在截面上K点处的弯曲正应力 8 6图示截面梁 横截面上剪力FQ 300kN 试计算 a 图中截面上的最大剪应力和A点的剪应力 b 图中腹板上的最大剪应力 以及腹板与翼缘交界处的剪应力 8 7图示矩形截面木梁 许用应力 10Mpa 1 试根据强度要求确定截面尺寸b 2 若在截面A处钻一直径为d 60mm的圆孔 不考虑应力集中 试问是否安全 8 8一对称T形截面的外伸梁 梁上作用均布荷载 梁的截面如图所示 已知 求梁截面中的的最大拉应力和最大压应力 8 13图示结构 承受集中荷载F作用 试校核横梁的强度 已知荷载F 12kN 横梁用No 14工字钢制成 许用应力 160MP