高等数学无穷级数上课习题与答案

精选文库第一次作业1.写出级数x2+x24+xx246+x22468+的一般项 。解：一般项为un=x12n2n!2.已知级数n=12nn!nn收敛，试求极限limn2nn!nn 。解：由级数收敛必要条件可知limn2nn!nn=03.根据级数性质，判定级数n=115n+2n的敛散性。解：因为级数n=115n收敛，级数n=12n发散，所以由性质可推导出级数n=115n+2n发散。4.根据级数收敛与发散定义判定级数n=1n-1-n的敛散性，若收敛，求其和。解：设un=n-1-n ,Sn=2-1+3-2+4-3+n-1-n=n+1-1=n1+n+1因为limnSn=limnn1+n+1= ,所以所求级数发散。5.判定级数n=1n+1n的敛散性。解：因为limnun=limnn+1n=10 ，所以由级数收敛的必要条件知级数n=1n+1n发散 。6.根据级数性质判定级数12-1-12+1+13-1-13+1+的敛散性。解：原式=12-1-12+1+13-1-13+1+ =121+12+13+1n+=12n=11n第二次作业1.根据P级数的敛散性，判定级数n=12n+1n+12n+22 的敛散性。 解：因为2n+1n+12n+222n+2n+12n+222n+132n3由n=11n3是收敛的，所以n=12n+1n+12n+22收敛。2.如果n=1an，n=1bn为正项级数且收敛，试判定n=1anbn 的敛散性 。解：因为anbnan+bn2 ,所以由比较审敛法知n=1anbn收敛。3.根据极限审敛法，判别级数n=1sin2n 的敛散性 。解：因为limnsin2n2n=1 ,且级数n=12n收敛，所以由极限审敛法知n=1sin2n 收敛。4.判别级数n=11n1+1n 的敛散性 。解：因为limnun1n=limn1n1+1n1n=limn1nn=1 ,由于级数n=11n发散 ，所以级数n=11n1+1n发散。5.判别级数n=12n-1nncos2n4 的敛散性。解：因为un=2n-1nncos2n42n-1nn=vn ，由limnvn+1vn=lim n2n+1nn+1n=limn2n+111+1nn=01 ,知级数n=1vn收敛，所以级数n=12n-1nncos2n4收敛。 6.判别级数n=1n2n+1n 的敛散性。解：因为limnnun=limnnn2n+1n=limnn2n+1=120分别为何值时，级数n=1-1n-1n+1p为绝对收敛和条件收敛 。解：因为当01时，级数n=11n+1p收敛，知所求级数绝对收敛。3.判别级数n=1-1nn22n2-n 的敛散性。解：因为limn-1nn22n2-n0,由级数收敛的必要条件知级数发散。4.判别级数n=1sinn+1lnn的敛散性 。解：级数n=1sinn+1lnn=n=1-1nsin1lnn为交错级数，因为limnsin1lnn1n=limnsin1lnn 1lnn1lnn 1n= ,由n=11n发散，知所求级数不绝对收敛。又因为limnsin1lnn=0 ,且sin1lnn单调递减，由莱布尼茨定理知所求级数条件收敛。5.判别级数n=1-1nn+122nn!nn的敛散性。解：因为limnun+1un=limn21+1nn=2e1nn3知n=1-1n-1lnnn非绝对收敛 。设fx=lnxx,因为fx=1-lnxx2e,当xe时，fx单调减少，所以unun+1又因为limxfx=limxlnxx=limx1x=0,所以limnun=0,由莱布尼兹定理知所求级数条件收敛。第四次作业1. 判定级数113+135+157+的敛散性，若收敛求其和 。解：因为limnSn=limn121-13+13-15+12n-1-12n+1=12所以级数收敛，且S=122.若级数n=1un收敛于S，求级数n=1un+un+1的和 。解：设Sn为n=1un前n项和，Sn为n=1un+un+1前n项和Sn=u1+u2+u2+u3+un+un+1=2u1+un-u1+un+1=2Sn-u1+un+1因为n=1un收敛，所以limnSn=S ,且limnun+1=0故limnSn=2S-u13.当k0时，判别级数n=1-1nk+nn2的敛散性 。解：设un=k+nn2 ,因为limnun1n=limnk+nn21n=limnk+nn=1由n=11n发散，知所求级数不绝对收敛。设fx=k+xx2,因为fx=-2kxx40,所以un单调减少又由于limnk+nn2=0,故所求级数条件收敛。4.判别级数n=1sinnan2的敛散性 。解：因为sinnan21n2 ,由级数n=11n2收敛，知级数n=1sinnan2收敛所以级数n=1sinnan2绝对收敛。5.判别级数n=14n5n-3n的敛散性 。解：因为limnun+1un=4limn5n-3n5n+1-3n+1=4limn1-35n5-335n=451所以级数n=14n5n-3n收敛。6.判别级数n=1-1n+1n+1n2nn+1的敛散性 。解：设un=n+1n2nn+1,因为limnun1n=limn121+1nn=e2而n=11n发散，故n=1un发散，即原级数不绝对收敛。同时，un+1un=nn+1n+1n+2n+1n+1=n2+2nn2+2n+1n+1un+1且limnun=limn12n1+1nn=0故级数n=1-1n+1n+1n2nn+1条件收敛。第五次作业1.求幂级数n=1lnn+1n+1xn+1的收敛域 。解：l=limnan+1an=limnlnn+2n+2 n+1lnn+1=1 ,从而R=1l=1当x=1时，级数n=1lnn+1n+1发散当x=-1时，级数n=1-1n+1lnn+1n+1收敛故收敛区间为-1,1)2.求幂级数n=1-1n-12x-3n2n-1的收敛域 。解：令t=2x-3, 原级数为n=1-1n-1tn2n-1 ,l=limnan+1an=limn2n-12n+1=1故R=1当t=1时，n=1-1n-112n-1收敛， 当t=-1时，n=1-1n-1-1n2n-1=n=1-12n-1发散故-1t1,即-12x-31,1x2,收敛区间为（1，23.求幂级数n=1-1nn+14nxn的收敛域 。解：首先由级数n=1-1nnxn ，因为=limnan+1an=limnnn+1=1所以收敛半径R1=1=1当x=1时，n=1-1nn是交错级数且收敛，当x=-1时，n=11n是发散故级数n=1-1nnxn的收敛域为（-1，1其次，级数n=114nxn，=limnan+1an=14则n=114nxn的收敛半径为R2=1=4当x=4时，级数为n=11,该级数发散,当x=-4时，级数为n=1-1n,该级数发散故级数n=114nxn的收敛域为-4，4原级数的收敛域为两个收敛域的公共部分，也即（-1，14.求幂级数n=1-1nn4nx2n-1的收敛域 。解：应用达朗贝尔判别法limnun+1xunx=limnnn+1x24=x24当x241时，即x1时，即x2时，原级数发散因此收敛半径R=2当x=2时，级数n=1-1n2n,级数为交错级数且收敛当x=-2时，级数为n=1-1n-12n,级数收敛故原级数的收敛域为-2，25.求幂级数n=1x4n+14n+1的和函数 。解:因为n=1x4n+14n+1=n=1x4n+14n+1=n=1x4n=x41-x4所以n=1x4n+14n+1=0xx41-x4dx=0x-1-x4+11-x4dx=0x-1+1211+x2+1211-x2dx=12