模糊数学基础-推理与评价

模糊关系与模糊推理 关系和模糊关系 关系是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合 常用R表示 例 A 1 3 5 B 2 4 6 则直积集合为 A B 1 2 1 4 1 6 3 2 3 4 3 6 5 2 5 4 5 6 Ra b A 1000 3100 5110 246 B 关系R可以用矩阵形式来表示 一般形式为 则对上例有 精确关系与模糊关系 精确关系 模糊关系 表示二个或二个以上集合元素之间关联 交互 互连是否存在 表示二个或二个以上集合元素之间关联 交互 互连是否存在或不存在的程度 模糊关系指对普通集合的直积施加某种模糊条件限制后得到的模糊集合 记作R表示 模糊关系可用扎德表示法 隶属函数或矩阵形式来表示 当论域元素有限时 模糊关系R可用扎德表示法表示和模糊关系矩阵来表示 模糊关系 例 设A和B为两个不同论域上的普通集合 A 123 B 12345 对A B施加a b的模糊条件限制后得到一个模糊关系为 或 例 设A与B均为实数集合 A到B的一个模糊关系R的隶属函数为 它表示的是a b的模糊关系 当论域为连续区间时 模糊关系R可用隶属函数来表示 模糊关系的基本运算 相等与包含 若所有的 则称包含 或包含于 记作 若所有的 则称与相等 记作 R 并 交 补运算 设 为同一论域U上的两个模糊关系矩阵 则其并 交 补运算分别定义为 并运算 交运算 补运算 转置运算 例如 合成运算 普通矩阵的乘法运算 模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样 运算符号不同 合成运算 幂运算 模糊集合的直积 三个模糊集合的直积定义为 L运算表示将括号内的矩阵按行写成mn维列向量的形式 设 分别为不同论域上的模糊集合 则对的直积定义为 例 设模糊集合 求 解 模糊推理 推理 模糊条件语句和模糊推理 三种基本类型的模糊条件语句 在程序设计中 经常用到的三种条件语句 if条件then语句if条件then语句1else语句2if条件1and条件2then语句 三种普通条件语句 模糊条件语句简记形式 模糊推理 Zadeh推理法是假言推理在模糊事件情况下的一种近似推理方法 扎德推理的逻辑结构结构为 Zadeh推理结构 对上式模糊关系 可用模糊关系矩阵表示为 上式中E为全称矩阵 相应的模糊推理为 i ii 控制策略如 若水位偏低 则开大阀门 设 分别是论域X Y上的模糊集合 其隶属函数分别为 又设是X Y论域上描述模糊条件语句 的模糊关系 其隶属函数为 相应的模糊推理结论为 设模糊集合的论域为X 和的论域为Y 则由 条件语句所决定的在X Y上的模糊关系为 i ii 控制策略如 若水位偏低 则开大阀门 否则关小阀门 设 分别为不同论域X Y Z上的模糊子集 则由 型条件语句所决定的在X Y Z上的三元模糊关系为 相应的模糊推理结论为 上式中表示将所构成的m行n列矩阵按行写成mn维行向量的形式 L运算表示将括号内的矩阵按行写成mn维列向量的形式 i ii 控制策略如 若水位偏低 且继续快速下降 则将阀门开到最大 i 在模糊控制中 模糊条件语句的条件对应于模糊控制器的输入 语句则对应于输出 ii 每一条模糊条件语句对应一种控制策略 iii 模糊推理 举例 某电热烘干炉依靠人工连续调解外加电压 以便克服各种干扰达到恒温烘干目的 操作工人的经验是 如果炉温低 则外加电压高 否则电压不很高 如果炉温很低 如何确定外加电压应该如何调节 设X表示炉温 Y表示电压 则上述问题可表述为 若X低则Y高 否则Y不很高 如果X很低 试问Y如何 设定论域 模糊推理 举例 模糊推理 举例 为了便于计算 将模糊子集写成向量形式 模糊推理 举例 模糊推理 举例 由上式的模糊推理的合成规则可得由此可得出Y的模糊集为 模糊评价 很多时候 人们不仅要从多种因素考虑 且一般只能用模糊语言描述 如显示器的舒适性 人员的政治立场坚定 某建设方案的社会影响等 评价者从诸因素出发 参照有关信息 根据其判断对复杂问题分别作出 大 中 小 高 中 低 优 良 可 劣 好 较好 一般 较差 差 等程度性的模糊评价 多因素评价较困难 因为要同时综合考虑的因素很多 而各因素重要程度又不同 使问题变得很复杂 如用经典数学方法来解决综合评价问题 就显得很困难 而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据 从而找到了一种简便而有效的评价方法 可通过模糊数学提供的方法进行运算 得出定量的综合评价结果 从而为正确决策提供依据 给定评价指标因素 着眼点 的有限集合和评语的有限集合 则相对某一单项评价因素u1而言 评价结果可以用评语集合V这一论域上的模糊子集来描述 并简记为向量形式 如对教材进行评价 假如评价科学性 u1 实践性 u2 适应性 u3 先进性 u4 专业性 u5 等方面 则评价指标因素集为 若评价结果划分为 很好 v1 好 v2 一般 v3 差 v4 四个等级 评语集则为 如只对科学性 u1 一个因素来评定该教材 若采用民意测验的方法 结果16 的人说 很好 42 的人说 好 39 的人说 一般 3 的人说 差 则评价结果可用模糊集描述 评价结果是评语集合V这一论域上的模糊子集 可简记为向量形式 就是对被评对象所做的单因素评价 然而 一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物 从而得到一个综合的评价结果 对多指标因素的综合评价 最终结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集 记作 其中bj为V中相应元素的隶属度 且 简记为m维向量形式 实际评价工作中 考虑到不同评价因素重要性的区别 评价因素集合是因素集U这一论域上的模糊子集 记作 简记为n维向量形式 其中ai为U中相应元素的隶属度 且 一个模糊综合评价问题 就是将评价因素集合U这一论域上的一个模糊集合经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合 即 上式即模糊综合评价的数学模型 其中 种评语的可能程度 模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系 模糊综合评价的结果 是m维模糊行向量 模糊评价因素权重集合 是n维模糊行向量 从U到V的一个模糊关系 是矩阵 表示从第i个因素着眼 做出第j 模糊综合评价的步骤 设定评价指标因素集U 设定评语集V 确定评价指标权重集 用民意测验方法请专家实施评价 建立评价矩阵 按数学模型进行综合评价 归一化处理 得出具有可比性的综合评价结果 U 清楚易懂 教材熟练 生动有趣 板书整洁 V 很好 较好 一般 不好 1 用于讲课质量的评估 U 水平 成功概率 经济效益 V 高 中 低 2用于科技成果的评定 综合评价 归一化 排序 乙 甲 丙 模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的 但在一些实际问题中 约束条件可能带有弹性 目标函数可能不是单一的 必须借助模糊集的方法来处理 模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化 引入隶属函数 从而导出一个新的线性规划问题 它的最优解称为原问题的模糊最优解 设普通线性规划的标准形式为 t0 x c1x1 c2x2 cnxn ti x ai1x1 ai2x2 ainxn i 1 2 m 若约束条件带有弹性 即右端常数bi可能取 bi di bi di 内的某一个值 这里的di 0 它是决策人根据实际问题选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线性规划 带有弹性约束条件的模糊线性规划 这里的ti x bi di 表示当di 0 普通约束 时 ti x bi 当di 0 模糊约束 时 ti x 取 bi di bi di 内的某一个值 请注意模糊线性规划 2 与普通线性规划的区别 下面将约束条件和目标函数模糊化 将 2 中带有弹性的约束条件 di 0 的隶属函数定义为 而将 2 中普通约束条件 di 0 的隶属函数定义为Ai x 1 ti x bi 其图形如右图 由Ai x 定义可知 0 1 Ai x di di ti x bi di di i 1 2 m 设普通线性规划 1 和 3 的最优值分别为f0 f1 记d0 f0 f1 则d0 0 它为模糊线性规划 2 中目标函数的伸缩指标 d0也可由决策人确定 定义模糊线性规划 2 中目标函数的隶属函数为 由Gi x 定义可知 0 1 Gi x t0 x d0 f0 要求模糊线性规划 2 的模糊最优解x 则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大 即求x 满足Ai x 及G x 且使 达到最大值 相当于求解普通线性规划问题 i 1 2 m 设普通线性规划 4 的最优解为x 则模糊线性规划 2 的模糊最优解为x 最优值为t0 x 所以 求解模糊线性规划 2 相当于求解普通线性规划 1 3 4 此外 再补充两点说明 若要使某个模糊约束条件尽可能满足 只需将其伸缩指标降低直至为0 若模糊线性规划 2 中的目标函数为求最大值 或模糊约束条件为近似大 小 于等于 其相应的隶属函数可类似地写出 多目标线性规划 在相同的条件下 要求多个目标函数都得到最好的满足 这便是多目标规划 若目标函数和约束条件都是线性的 则为多目标线性规划 一般来说 多个目标函数不可能同时达到其最优值 因此只能求使各个目标都比较 满意 的模糊最优解 解多目标线性规划问题 解普通线性规划问题 得最优解为x1 0 x2 2 x3 2 最优值为2 此时f2 8 解普通线性规划问题 得最优解为x1 10 x2 0 x3 0 最优值为20 此时f1 10 线性规划问题 的最优解为x1 0 x2 2 x3 2 最优值为2 此时f2 8 线性规划问题 的最优解为x1 10