模糊控制03-模糊集合的其他运算

问题的引入 模糊集合A B是包含A和B的最小模糊集合 模糊集合A B是A和B所包含的最大模糊集 那么是否还存在不是最小的模糊并集和不是最大的模糊交集 如有 应如何表示 同样 除了基本模糊补集之外 是否还有其它形式的模糊补集 如有 如何表示 模糊补 由基本模糊补集推出两个公理用c 0 1 0 1 表示模糊集A的隶属度函数向其补集的隶属度函数转换的映射 按前述的模糊补集定义 映射c可以表示为 公理c1 c 0 1 c 1 0 模糊补 1 x x 公理c2 当a b 0 1 如a b 则c a c b 模糊补 1 x x a c a b c b 模糊补 模糊补集的定义 任意满足公理1和公理2的函数c 0 1 0 1 都叫模糊补集 Sugeno模糊补集 Yager模糊补集 模糊并 s 范数 由基本模糊并集推出四个公理用S 0 1 0 1 0 1 表示由模糊集A和模糊集B的隶属度函数向A和B的并集的隶属度函数的映射 按前述的模糊并集定义 映射s可以表示为 公理s1 s 1 1 1 s 0 a s a 0 a 模糊并 s 范数 a x x 1 x x 公理s2 s a b s b a 模糊并 s 范数 1 x x 公理s3 a a 且b b 则s a b s a b 模糊并 s 范数 a x x a b b 公理s4 s s a b c s a s b c 模糊并 s 范数 b x x c a b x x c a 模糊并 s 范数 定义3 2任意一个满足公理s1 s4的函数s 0 1 0 1 0 1 都叫s 范数常见的范数主要有7种 1 Dombi的s 范数2 Dubois Prade的s 范数3 Yager的s 范数 模糊并 s 范数 4 直和5 爱因斯坦和6 代数和7 最大 模糊并 s 范数 例3 1 通过图形的方式 表现出Yager的s 范数和代数和s 范数大于最大算子 定理3 1对任意一个s 范数 即满足公理s1 s4的函数s 0 1 0 1 0 1 当a b 0 1 时 下面不等式成立 max a b s a b sds a b 模糊并 s 范数 先证明max a b s a b 因a a且b 0 由公理s3 则s a b s a 0 由公理s1 有s a 0 a 所以s a b a 由公理s2 有s a b s b a s b 0 b 所以 s a b max a b 模糊并 s 范数 再证明s a b sds a b 在b 0时 由公理s1 则s a b s a 0 a 在b 0时 sds a b a 则s a b sds a b 在a 0时 由公理s2 则s a b sds a b 在a 0 b 0时 有sds a b 1 s a b 所以 s a b sds a b 模糊并 s 范数 引理3 1 对于Dombi的s 范数 存在即Dombi的s 范数覆盖了s 范数的整个空间 模糊并 s 范数 先证明Dombi的s 范数大于最大算子s 范数 1 如果a b 0 Dombi的s 范数为 模糊并 s 范数 由于a b 0 那么 因此 在a b 0 存在 模糊并 s 范数 2 如果a b 0 Dombi的s 范数为 模糊并 s 范数 由于a b 0 那么 因此 在a b 0 存在 模糊并 s 范数 3 如果a b 并且a b 则在Dombi的s 范数中 实际上是需要对分母的一个幂指函数求极限 由于 时 这个幂指数属于00型 是一个未定式 需要采用罗必塔法则来求取该幂指数的极限 模糊并 s 范数 令分别对上式取对数 可得 时 上式为 型 可用罗必塔法则 模糊并 s 范数 根据罗必塔法则 可得 模糊并 s 范数 对前式进行化简 可得 将分式的分子 分母同时除以 模糊并 s 范数 对前式进行等式变换 可得 模糊并 s 范数 那么 此时Dombi的s 范数为 由 1 2 3 三步 证明了最大算子的s 范数是Dombi的s 范数的下界 模糊并 s 范数 再证明Dombi的s 范数小于直和的s 范数 4 如果a 0 b 0 则Dombi的s 范数为 模糊并 s 范数 5 如果b 0 a 0 根据交换性 则Dombi的s 范数为 模糊并 s 范数 6 如果a 0 b 0 则Dombi的s 范数为 模糊并 s 范数 7 如果a b 0 则Dombi的s 范数为 在分母中 出现了未定式的幂指函数 需要采用罗必塔法则求解 可以直接借用第 3 步的结果 模糊并 s 范数 由 4 5 6 7 四步证明了Dombi的s 范数上界是直和的s 范数 根据前面的各个步骤 完整地证明了引理3 1 Dombi的s 范数下界是最大算子的s 范数 上界是直和的s 范数 模糊交 t 范数 由基本模糊交集推出四个公理用t 0 1 0 1 0 1 表示由模糊集A和模糊集B的隶属度函数向A和B的交集的隶属度函数的映射 按前述的模糊交集定义 映射t可以表示为 公理t1 t 0 0 0 t 1 a t a 1 a 模糊交 t 范数 1 x x 1 x x a 公理s2 t a b t b a 模糊交 t 范数 a x x b 公理s3 a a 且b b 则t a b t a b 模糊交 t 范数 a x x a b b 公理s4 t t a b c t a t b c 模糊交 t 范数 b x x c a b x x c a 模糊交 t 范数 定义3 3任意一个满足公理t1 t4的函数t 0 1 0 1 0 1 都叫t 范数常见的范数主要有7种 1 Dombi的t 范数2 Dubois Prade的t 范数3 Yager的t 范数 模糊交 t 范数 4 直积5 爱因斯坦积6 代数积7 最小 模糊交 t 范数 例3 2 通过图形的方式 表现出Yager的t 范数和代数积t 范数小于最大算子的t 范数 定理3 2对任意一个t 范数 即满足公理t1 t4的函数t 0 1 0 1 0 1 当a b 0 1 时 下面不等式成立 tdp a b t a b min a b 模糊交 t 范数 引理3 2 对于Dombi的t 范数 存在即Dombi的t 范数覆盖了t 范数的整个空间 模糊交 t 范数 存在一个模糊补 使得模糊补 并和交三个模糊集都满足德 摩根定律 即s 范数s a b t 范数t a b 和模糊补集c a 在下式成立的条件下形成关联组 模糊交 t 范数 例 利用一对Yager的s 范数和t 范数 加上基本模糊补集 就形成了一组关联组 首先 由Yager的s 范数和基本模糊补概念得 再由Yager的s 范数和基本模糊补概念得 得证 平均算子 覆