《量子力学基础》PPT课件VIP

第22章量子力学基础 22 1粒子的波动性 一 光的波粒二象性 光子的能量 动量 光电效应 康普顿散射 光的干涉和衍射 光具有波动性 光具有粒子性 光具有波粒二象性 从自然界的对称性出发 认为既然光 波 具有粒子性 那么实物粒子也应具有波动性 二 德布罗意假设 一个能量为E 动量为p的实物粒子 同时也具有波动性 它的波长 频率 和E p的关系与光子一样 与粒子相联系的波称为物质波 或德布罗意波 爱因斯坦 德布罗意关系式 德布罗意波长 例1m 0 01kg v 300m s的子弹 h极小 宏观物体的波长小得实验难以测量 宏观物体只表现出粒子性 波长 例2 在一束电子中 电子的动能为200eV 求此电子的德布罗意波长 解 此波长的数量级与X射线波长的数量级相当 三 德布罗意波的实验证明 戴维孙 革末电子衍射实验 1927年 2 G P 汤姆孙电子衍射实验 1927年 例4 如图 一束动量为P的电子 通过宽为a的狭缝 在距狭缝R处放置一荧光屏 屏上衍射图样中央最大宽度d等于 A 2a2 R B 2ha p C 2ha RP D 2Rh aP D 例3 如两不同质量的粒子 其德布罗意波长相同 则这两种粒子的 A 动量相同 B 能量相同 C 速度相同 D 动能相同 A 例4 写出实物粒子德布罗波长与粒子动能Ek 静止质量m0的关系 并证明 解 Ek m0c2时 Ek m0c2时 例4 写出实物粒子德布罗波长与粒子动能Ek 静止质量m0的关系 并证明 解 Ek m0c2时 Ek m0c2时 经典物理 由t 0时粒子坐标 动量 任意t时粒子坐标 动量 粒子的轨道 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法 坐标 动量 去描述微观粒子 但波动性使微观粒子的坐标和动量 或时间和能量 不能同时取确定值 如 电子经过缝时 经过缝后x方向动量也不确定 22 3不确定关系 位置不确定 海森伯于1927年提出不确定原理 或 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述 存在不确定关系的一对物理量互称共轭物理量 不确定关系是由微观粒子的固有属性决定的 与仪器精度和测量方法的缺陷无关 1 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量 它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 2 不确定的根源是 波粒二象性 这是自然界的根本属性 3 对宏观粒子 因很小 所以可视为位置和动量能同时准确测量 宏观现象中 不确定关系的影响可以忽略 4 对能量和时间 同样有 解子弹的动量 例1一颗质量为10g的子弹 具有200m s 1的速率 若其动量的不确定范围为动量的0 01 这在宏观范围是十分精确的 则该子弹位置的不确定量范围为多大 动量的不确定范围 位置的不确定量范围 宏观现象中 不确定关系的影响可以忽略 试证 若一个作一维运动的粒子的位置不确定量等于它的的德布罗意波长l 则同时测定它的速度时 其不确定量最小值等于该粒子的速度 答 用经典力学的物理量 例如坐标 动量等 只能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动 坐标x和动量Px存在不确定量 x和 Px 它们之间必须满足不确定性关系式 这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故 问题 用经典力学的物理量 例如坐标 动量等 描述微观粒子运动时 存在什么问题 为什么 一 对物质波的理解 概率波的概念 怎样理解物质波 德布罗意波 22 2波函数 观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验 70000 3000 20000 7个电子 100个电子 底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性 随着电子增多 逐渐形成衍射图样 来源于电子所具有的波动性 玻恩 德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动 而是描述粒子在空间的概率分布的 概率波 尽管单个电子的去向是概率性的 但其概率在一定条件下 如双缝 还是有确定的规律的 二 波函数 平面简谐波函数y x t Acos2 t x 复数表示式 物质波函数 一维 三维 要具体的应用物质波的概念 就要有物质波的波函数 实物粒子的波函数在给定时刻 在空间某点的模的平方 2与该点邻近体积元dV的乘积 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率P 二 波函数的物理意义 给出粒子概率密度分布 也称为概率幅 概率波波函数和经典波函数的区别 1 可测 有直接物理意义 1 不可测 无直接物理意义 2 和c 描述相同的概率分布 c是常数 经典波函数 2 和c 不同 概率波波函数 2才可测 三 波函数的性质 1 有限性 单值性 连续性 2 归一性 在空间各点的概率总和必须为1 归一化条件 根据波函数的统计解释 它应有以下性质 四 对波粒二象性的理解 粒子性 原子性 或 整体性 不是经典粒子 抛弃了 轨道 概念 波动性 不是经典波 不代表实在的物理量的波动 具有波长 和频率 干涉 衍射 偏振 少女 老妇 两种图象不会同时出现在你的视觉中 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 而两种性质虽寓于同一客体体中 却不能同时表现出来 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程 是波函数满足的微分方程 同牛顿定律一样 它是不能够由其它基本原理推导出来的 它最初只是一个假定 后来通过实验检验了它的正确性 1925年薛定谔在介绍德布罗意波的报告后 德拜指出 对于波 应该有一个波动方程 几周后薛定谔找到 提出 了波函数满足的微分方程 薛定谔方程 从而建立了描述微观粒子运动规律的学科 量子力学 22 4薛定谔方程 一 寻找粒子满足的微分方程的思路 在非相对论情况下 有 由一维自由粒子的波函数 又 比较上两式得 这就是一维自由粒子波函数满足的微分方程 1 一维自由粒子 即 一维自由粒子的薛定谔方程 若粒子在势场中 势能函数为U x t 则粒子总能量 于是有 又 比较上两式得 这就是一维势场中粒子的薛定谔方程 2 非自由粒子 二 一维定态薛定谔方程 则质量为m粒子在势场U x 中运动的波函数满足 一维定态薛定谔方程 若粒子在势场中运动 而势场只是坐标x的函数 与时间t无关 且系统能量E也是与t无关的常量 这种情况称为定态 一维势场中粒子的薛定谔方程 定态时 波函数可分离变量 粒子处在U的力场中作一维运动 粒子只能在宽为a的两个无限高势壁间运动 1 粒子的波函数 势阱内U 0 薛定谔方程 令 谐振方程 22 6薛定谔方程的应用 一 一维无限深势阱中的粒子 谐振方程 通解 由边界条件 波函数 由归一化条件 得 一维方势阱中粒子的波函数 势阱内粒子E只能取不连续值 能量是量子化的 n为量子数 2 粒子的能量 由 最低能级 基态 当 激发态 n很大时 势阱内粒子概率分布趋于均匀 量子经典 束缚态 3 物理意义 粒子从x 处以能量E入射 入射能量E U0 2 由薛定谔方程解得波函数 入射波 反射波 透射 1 2 二 矩形台阶势垒 一维散射问题 可见在U0 E U0 的区域粒子出现的概率 0 3 意义 U0 x 透入的概率 经典 粒子不能进入E U的区域 量子 粒子可透入势垒 II区 概率密度 三 有限宽势垒和隧道效应 x a 隧道效应 振幅为 2 a 波穿过后 将以平面波的形式继续前进 3 这称为势垒穿透或隧道效应 经典物理 量子物理 x a很小时 P很大 使 E也很大 以至可以有 2 怎样理解粒子通过势垒区 E E U0 粒子有波动性 遵从不确定关系 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度 x a不是无限大 粒子能量就有不确定量 E 从能量守恒的角度看是不可能的 STM是一项技术上的重大发明 用于观察表面的微观结构 不接触 不破坏样品 原理 利用量子力学的隧道效应 1986年 毕宁 G Binning 罗尔 Rohrer 发明STM 四 隧道效应的应用 扫描隧道显微镜 STM 用STM得到的神经细胞象 硅表面STM扫描图象 1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子 拼成了字母IBM 每个字母长5纳米 1991年2月IBM的 原子书法 小组用STM将吸附在铂片表面的一氧化碳分子 赶到 一起 排成了一个像大头娃娃一样的人形图案 称为 分子人 CO小人 CO分子的间距 0 5nm 分子人 身高 5nm堪称世界上最小的 小人图 移动分子实验的成功 表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步 其内在意义目前尚无法估量 22 7氢原子的量子理论 1 处理方法 假定原子核是静止的 氢原子的状态由核外电子的运动状态来决定 2 用波函数描述处于原子势场中的电子 3 写出波函数满足的薛定谔方程 在球坐标系中求解 4 得出结果 波函数 能量 角动量 概率密度等 氢原子中的电子在质子的库仑场内运动 处于束缚态 可用薛定谔方程求解氢原子 n 1的状态称基态 n 1的状态称激发态 2 主要结果 n 1 2 3 称为主量子数 1 氢原子能量是量子化的 与玻尔氢原子理论相同 类氢离子的能量 Z 原子序数 l 0 1 2 n 1 l称为轨道角量子数 简称角量子数 角动量也是量子化 2 角动量量子化 3 角动量空间取向量子化 角动量的方向是量子化的 设外磁场方向为z方向 则L在z方向的分量为 ml 0 1 2 l ml为轨道角动量磁量子数 简称磁量子数 具有确定能量的电子角动量可有若干个 角动量大小 与玻尔氢原子理论不同 例1 根据量子力学理论 氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为 当角量子数l 2时 Lz的可能值为 2 能量为15eV的光子从处于基态的氢原子中打出一光电子 试问电子脱离原子核时最大的速度是多少 其德布罗意波长是多少 解 打出来的光电子的最大动能为 ms为自旋磁量子数 ms 1 2 原子中的电子除绕核运动外 还要绕自身的轴旋转 电子的自旋时也有自旋角动量 如 z轴上的分量也是量子化的 一 电子的自旋角动量 22 8电子的自旋泡利不相容原理 电子自旋角动量在特定方向的分量也是量子化的 二 施特恩 格拉赫实验 现象 将银原子加热 使其发出蒸汽 当无外磁场时 板上仅出现一条正对缝的线状痕迹 当有外磁场时 原子射线分裂成两束 结论 银原子在磁场中分裂成两束的现象 说明电子自旋取向一个平行于磁场 一个与磁场相反 即电子 自旋 角动量是量子化 1 原子中电子的四个量子数 角量子数l 0 1 2 n 1 三 多电子原子中的电子分布 原子是由多个电子与原子核组成系统 原子中每个电子的状态有四个量子数来表示 磁量子数 自旋磁量子数 决定电子轨道角动量 决定轨道角动量的空间取向 决定自旋角动量的空间取向 在多电子原子中 电子的分布是分层次的 电子壳层 每一壳层只能容纳一定数量的电子 同一个n组成一个壳层 K L M N O P 相同n l组成一个支壳层 s p d f g h n 1 K壳层 n 2 L壳层 l 0 s支壳层 l 1 p支壳层 2 多电子原子中的电子分布 原子核外电子的排布规律满足 1 泡利不相容原理 2 能级最低原理 一个原子内不可能有四个量子数完全相同的电子 四 泡利不相容原理 例如 基态氢原子有 n l ml ms 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 即任何两个电子 不可能有完全相同的一组量子数 n l ml ms 量子态 第一激发态氢原子有8个量子态 n l ml ms 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2个量子态 当n一定时 l的可能值为0 1 2 n 1 共有n个值 当l一定时 ml的可能值为0 1 l 共有2l 1个值 当n l ml给定时 ms的取值为 1 2和1 2 有两个值 具有同一能级的量子态数 一支壳层内电子可有 2l 1 2种量子态 主量子数为n的壳层内可容纳的电子数为 n 1的K壳层上 最多容纳两个电子 n 2的L壳层上 最多容纳8个电子 l 0的电子有两个 l 1的电子有6个 五 能量最少原理 在原子系统内 每个电子趋向于占有最低的能级 当原子中电子的能量最小时 整个原子的能量最低 这时原子处于最稳定的状态 即基态 电子优先占据最低能态 3d103p63s2 2p62s2 1s2 n 1 n 2 n 3 电子不完全是按照K M L 等主壳层次序排列 而是按下列次序在各个分壳层上排列 经验规律 n 0 7l 大 E大 E3 2 3d态 E4 0 4s态 例如 一般 能级高低由n决定 但由于角量子数l对能级也有一定影响 有些情况下 能级的高低次序与n的次序不一致 原子量子态的次序图 多电子原子的状态由各电子的状态 电子组态 决定 确定电子组态有以下规律 1 每个单电子用四个量子数 n l ml ms 来描述 3 按能量最小原理构成原子基态的电子组态 2 遵守泡利不相容原理 结论 例题 原子内电子的量子态由n l ml ms四个量子数表征 当n l ml一定时 不同的量子态数目为 当n l一定时 不同量子态数目为 当n一定时 不同量子态数目为 2 2 2l 1 2n2 例题 在氢原子的L壳层中 电子可能具有的量子数 n l ml ms 是 A 量子物理小结 一 光的粒子性 1 光子 2 光电效应 3 遏止电势差Uo h A e 3 康普顿效应 动量 能量 1 爱因斯坦方程 2 红限频率 0 A h 二 微观粒子的波动性 1 德布罗意波 2 不确定关系 或 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述 3 波函数 波函数必须是单值 有界 连续并满足归一化条件 找到粒子的概率密度为 2 4 描述微观粒子的基本方程 薛定谔方程 三 原子中的电子 1 氢原子光谱 里德