第二节 集合间的基本关系.doc

1.2集合的基本运算（理科）自主学习 要点回顾一、并集1.并集的概念 (1)记法:AB,读作:A并B;(2)符号语言表达为:AB=x|xA或xB; (3)图形语言:用Venn图表示,如图1-2-1所示表示AB. 2.用Venn图表示AB有以下五种图示:3.求AB必须掌握两个步骤 “AB”是所有属于A或属于B的元素并在一起构成的集合,为此:(1)把集合A、B的元素合在一起;(2)使A、B的公共元素在并集中只出现一次即可.4.并集的性质 (1)AB=BA;(2)AA=A;(3)若AB,则AB=B;(5)A(AB),B(AB).二、交集1.交集的定义 一般地,由所有属于A且属于B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作:AB,读作“A交B”,即AB=x|xA,且xB,用Venn图表示如图1-2-3的阴影部分.2.如何理解交集概念中“所有”二字的含义 对于“AB=x|xA,且xB”不能仅认为AB中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素属于AB的含义,这就是文字定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素,还有并不是任何两个集合总有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是AB=.3.用Venn图表示AB时有以五种图示: 由于“AB”是由集合A、B的所有公共元素组成的集合,故求“AB”的关键是找出它们的公共元素.为此:(1)首先要弄清集合A、B的代表元素是什么;(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来,写成“AB”的形式;(3)把化简后的集合A、B集合的公共元素写出来即可.5.交集的性质 (1)AB=BA;(2)AA=A;(3)A=;(4)若AB,则AB=A;(5)(AB)A,(AB)B.三、全集、补集 1.全集、补集的概念全集:一般地,如果一个集合含有所有研究问题中涉及的所有元素,就称这个集合为全集,常用符号U表示.补集:设U是全集,A是U的一个子集,由U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合U的补集,记作:,读作:“A在U中的补集”,即=x|xU,且xA.用Venn图表示如图1-2-5所示:2.如何求子集A在全集U中的补集 从全集U中去掉所有属于A中的元素,剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集,另外,若全集是无限数集,则可利用数轴法来求A在全集U中的补集.3.补集的性质 (1)=;=U;(2)A=U;(3)A=; (4)=A.基础自测1.若集合Mx|x|2，Nx|x23x0，则MN等于（ ）A3B0C0,2D0,32.设集合Ix|x|3，xZ，A1,2，B2，1，2，则A(CIB)等于（ ）A1B1,2C2D0,1,23.已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(CRB)R，则实数a的取值范围是（ ）Aa1Ba1Ca2Da24.设I1，2，3，4，A与B是I的子集，若AB2,1，则称(A,B)为一个“理想配集”，规定(A,B)和(B,A)是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是( )A4B8C9D165.已知集合A=-1,5,m2,集合B=5,2m-1,若AB=A,则实数m=_.典例剖析题型1 集合的运算【例1】设UR，Ax|x2x60Bx|x|y2，yA,求AB,CU(AB).变式拓展1.已知A2,4，a32a2a7，B4，a3，a2-2a+2，a3+a2+3a7，若AB2,5，求实数a的值，并求AB.【例2】 已知集合A=（x，y）|x2+mxy+2=0，B=（x，y）|xy+1=0，0x2，如果AB，求实数m的取值范围.变式拓展2. 设mR，A=（x，y）|y=x+m，B=（x，y）|x=cos，y=sin，02，且AB=（cos1，sin1），（cos2，sin2）（12），求m的取值范围.题型2 集合的综合问题【例3】已知集合A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+a0,若AB=A，求实数a的取值范围. 变式拓展3.已知P=(x,y)|(x+2)2+(y-3)24,Q=(x,y)|(x+1)2+(y-m)2,且PQ=Q,求m的取值范围.【例4】某班50名学生报名参加羽毛球和乒乓球两个体育活动小组，报名参加羽毛球小组的人数是全体学生人数的，报名参加乒乓小组的人数比报名参加羽毛球小组的人数多3人，两组都没有报名参加的人数是同时报名参加两组人数的多1人，求同时报名参加羽毛球小组和乒乓球小组的人数和两组都没报名的人数.变式拓展4某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数学与物理593人，数学与化学371人，物理现化学267人；三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数. 方法提炼 1.在集合的交、并、补的运算中,要充分利用韦恩图和数轴的直观性,优化解题过程,重视集合运算的等价条件转化,如ABAB=AAA=B.对于集合的应用,要注意各类知识的融会贯通.2.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.3.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.考点过关一、选择题1设集合A(x,y)|+|1，B(x,y) |y3x，则AB的子集的个数是（ ）A4 B3 C2 D12设集合Ax|xa|1，xR，Bx|xb|2，xR.若AB，则实数a，b必满足（ ）A|a+b|3 B|a+b|3 C|ab|3 D|ab|3 3已知全集UR，Ax|2x3，Bx|x1或x4，则集合（CUA）（CUB）等于（ ）Ax|2x4 Bx|2x1或x4Cx|3x4 Dx|2x14已知MyR|yx2，NxR|x2+y24，则MN等于（ ）A（1，1），（1,1） B1C0，1 D0，25.已知集合，则实数a的取值范围是（ ） A.a1 B.0a1 C.a0 D.-4a1二、填空题6.设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b.若AB=2，则AB=_7.设集合A=(x,y)|a1x+b1y+c1=0,B=(x,y)|a2x+b2y+c2=0,则方程组的解集是_.;方程(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0的解集是_.8.已知P=（x，y）|（x+2)2+（y3)24，Q=（x，y）|（x+1)2+（ym)2，且PQ=Q，求m的取值范围为_.9.设，若CUA=，则实数m=_.三、解答题10已知全集UR，集合Ax |0x+16，xR，Bx | x22xm0.（1）当m3时，求A(CUB)；（2）若ABx|1x4，求实数m的值.11已知集合Ax| x2 +2x71，Bx | x254x，Cx | |xm|1，mR.（1）求AB；（2）若ABC，求m的取值范围.12. 集合，求a的值使，且同时成立.1.2答案与提示基础自测1. 解析：Mx|2x2，N0,3，MN0.答案：B2. 解析：Ix|x|3，xZ2，1,0,1,2，CIB0,1，又A1,2A(CIB)0,1,2.答案：D3. 解析：CRB(,12, )，又A(CRB)R，则a2.答案：C4. 解析：由A与B是集合I的子集，且AB2,1，得A,B应为1，2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4中的一个.若A1，2，则集合B可以取以上4个集合中的任何一个，共有4种不同的情形；若A1,2,3，则集合B可以取1，2，1，2，4中的任何一个，共有2种不同的情形；若A1,2,4，则集合B可以取1，2，1，2，3中的任何一个，共有2种不同的情形；若A1,2,3,4，则集合B可以取1，2这一种情形.综上可知，适合题意的情形共有42219种答案：C5.0或1例1解析：由|x|y2，得2x3，Ax|2x3.由，yA，得0y25.0|x|5， 解得5x5且x0Bx|5x5且x0.ABx|2x0或0x3，ABx|5x5 CU(AB)x|x5或x5【解题反思】集合运算主要指并、交、补三种，要能定义进行准确运算，本题也可根据CU(AB) （CUA)（CUB)变式拓展1. 解析AB=2,5，5A，即A=2,4,5.则a3-2a2-a+7=5，(a2-1)(a-2)=0a=2或a=1.当a=2时，B=-4,5,2,25，AB=2,5与题设相符.当a=-1时，B=-4,2,5,4，AB=2,4,5与题设矛盾.当a=1时，B=-4,4,1,12，AB=4与题设矛盾.a=2时，这时AB=2，4，5-4,5,2,25=-4,2,4,5,25.例2 解析 由得x2+（m1）x+1=0. AB，方程在区间0，2上至少有一个实数解.首先，由=（m1）240，得m3或m1.当m3时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=1知，方程只有负根，不符合要求；当m1时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=10知，方程有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内.综上所述，所求m的取值范围是（，1.【解题反思】 上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mxy+2=0与线段xy+1=0（0x2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比的取值范围建立关于m的不等式来解.变式拓展2.解析 根据题意，直线y=x+m与圆x2+y2=1（x1）交于两点，1且01+m.2m2且m，2m2且m.例3解析：AB=AAB ，圆x2+（y-1）2=1总在平面区域x+y+a0内.如图.当x=y=0时，x+y+a0中a0，直线y=-x-a的截距小于0.当直线y=-x-a的图中l的位置向左下方平移时，均满足条件，故只需求出临界状态的截距.由直线x+y+a=0与x2+(y-1)2=1相切，得=1,解得a=1或a=-1(舍去).a的范围是a1变式拓展3解析 点集P表示平面上以O1(-2,3)为圆心,2为半径的圆所围成的区域(包括圆周),点集Q表示平面上以O2(-1,m)为圆心,为半径的圆的内部,要使PQ=Q,等价于QP. O2内含或内切于O1,故有|O1O2|2(R1-R2)2.即(-1+2)2+(m-3)2(2- )2,3- m3+ .m的取值范围为3- ,3+ .例4分析：设出某一个量，可设两组都参加的人数，也可设两组均未参加的人数，利用Venn图求解.解：设同时报名参加两组的人数为x，则两组没报名的人数为x+1，根据Venn图可得，(30-x)+(33-x)+x+x+1=50,解得x=21，x+1=8.所以同时报名参加羽毛球小组和乒乓球小组的人数为21人，两组都没报名的人数为8人.【解题反思】借助于Venn图得出的结论：Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)是具有一般性的，card(A)表示集合A中元素的个数.变式拓展4解析 设A，B，C分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生的集合，全体学生的集合中U，U被划分为8个彼此交集为空集的集合ABC：三种竞赛均参加的学生集合的213人；AB（CUC）：只参加数学、物理竞赛的学生的集合的593213380人；（CUA）（BC）：只参加物理、化学竞赛的学生集合有26721354人；（AC）（CUB）：只参加数学、化学竞赛的学生集合有371213158人；ACU（BC）：只参加数学竞赛的学生集合的80738021315856人；BCU（AC）：只参加物理竞赛的学生集合有7392133805492人；CCU（AB）：只参加化学竞赛的学生集合有4372135415812人；（CUA）（CUB）（CUC）：三科竞赛雹不参加的学生集合为0。故参赛总人数为21338054158569212965人。1.2考点过关1.解析：由于点（0，1）在椭圆内部，易知指数函数y3x的图像与椭+1恰好有两个交点，故AB的子集的个数是4个. 答案：A2.解析：由题意可得：Ax|a1xa+1，Bx|xb2或xb+2因为A B，所以b2a+1或b+2a1，解得ab3或ab3，即|ab|3 答案：D 3.解析：CUAx|x2或x3，CUBx|1x4，（CUA）（CUB）x|3x4.答案：C4.解析：M0，+，N2，2MN0，2答案：D 5.B6.解析：AB=2，log2（a+3）=2.a=1.b=2.A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5.答案：1，2，5 7.解析方程组的解既要满足第一个方程又要满足第二个方程,即既属于A又属于B,所以解集为AB.对于方程(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0的解,满足方程(a1x+b1y+c1)=0或(a2x+b2y+c2)=0都可以,所以解集为AB.8. 解析 点集P表示平面上以O1（2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集Q表示平面上以O2（1，m）为圆心，为半径的圆的内部.要使PQQ，应使O2内含或内切于O1.故有O1O22（R1R2）2，即（12）2（m3）2（2）2.解得3m3.9. m=-310. 解：0x+16，x+10，x+16 1x5，Ax|1x5.（1）当m3时，Bx|1x3，则CUBx|x1或x3，A(CUB)x|3x5.（2）由ABx|1x4可知x4是方程x22xm0的根.有4224m0成立，解得m8，此时Bx|2x4，符合题意.11.解：（1）Ax | x2+2x71，x2+2x71 ，(x+4)(x2)0，Ax