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二 曲面的切平面与法线 三 小结 设空间曲线的方程 假定上式中的三个函数均可导 且三个导数不同时为零 一 空间曲线的切线与法平面 对应于 设 为曲线上的另一点 且对应于 则割线方向向量为 或 割线方程为 切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 法平面方程为 过点且与切线垂直的平面 切线方程为 又可导 割线的极限位置即为切线 解 切线方程 法平面方程 这时 对应的曲线的切向量为 例1 在点 处的切线和法平面方程 求曲线 在点 2 5 2 处所对应的参数t 2 即 空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地 曲线的切线方程为 在点 处 例2 在点 处的切线及法平面方程 求曲线 方程两边在点 1 1 1 分别对x求偏导数 得 解 解之 得 所求切线方程为 法平面方程为 简化 得 即 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 二 曲面的切平面与法线 图9 5 2 切平面方程 法线方程为 曲面在M处的法向量 即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 通过点 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线 特殊地 空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 若 并假定法向量的方向是向上的 即使得它与 z 轴 的正向所成的角 g 表示曲面的法向量的方向角 是锐角 则法向量的方向余弦 为 解 令 切平面方程 法线方程 例3 求曲面 在点 切平面及法线方程 处的 解 设为曲面上的切点 切平面方程为 依题意 切平面方程平行于已知平面 得 例4 求曲面 平行于平面 的切平面方程 即 所求切点为 切平面方程为 法线方程为 1 空间曲线的切线与法平面 2 曲面的切平面与法线 空间曲线的点及切向量 1 求法向量的方向余弦时注意符号 2 曲面上的点及法向量 三 小结 思考题 如果平面 与椭
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