[全解析]2015届广州二模理科数学

第 1 页 共 9 页 y x O 1 5 3 3 图 1 2015 年广州二模理科数学年广州二模理科数学全解析全解析 详解提供 详解提供 佛山市南海区南海中学 钱耀周 参考公式 参考公式 球的表面积公式 2 4 SR 其中R 是球的半径 一一 选择题 选择题 本大题共 本大题共 8 8 小题 每小题 小题 每小题 5 5 分 满分 分 满分 40 40 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 命题 若 2 x 则 2 320 xx 的逆否命题是 A 若 2 x 则 2 320 xx B 若 2 320 xx 则 2 x C 若 2 320 xx 则 2 x D 若 2 x 则 2 320 xx 解析解析 C 逆否命题先逆再否 若 2 320 xx 则 2 x 2 已知 0 ab 则下列不等关系式中正确的是 A sinsin ab B 22 loglog ab C 11 22 ab D 11 33 ab 解析解析 D 考查函数在 0 上的单调性 因为 1 3 x y 在 0 上递减 故选 D 3 已知函数 4 0 1 0 xx f x xx x 的图象的一部分如图1所示 则此函数的解析式为 A 3sin yx 44 B 3sin yx 3 44 C 3sin yx 24 D 3sin yx 3 24 解析解析 A 由图像可得 3 A 4 2 T 2 8 T 4 又 1 3 为五点法中的第二点 故 1 4 2 解得 4 故选 A 5 已知函数 2 23 fxxx 若在区间 4 4 上任取一个实数 0 x 则使 0 0 fx 成立的概率为 A 4 25 B 1 2 C 2 3 D 1 解析解析 B 2 0000 023013 fxxxx 故所求概率为 4 1 82 第 2 页 共 9 页 A V C B 图 2 V B A1 C yz 开始 1 2 xy zxy 输出z 否 是 图 3 20 z 否决 8 设 P x y 是函数 yfx 的图象上一点 向量 5 1 2 x a 1 2 yx b 且 ab 数列 n a 是公差不为0的等差数列 且 129 36 f af af a 则 129 aaa A 0 B 9 C 18 D 36 解析解析 C 由 ab 得 5 22 yxx 即 5 22 fxxx 又 5 242 g xfxxx 为奇 函数且为增函数 129 36 f af af a 所以 129 2220 g ag ag a 又数列 n a 是公差不为0的等差数列 所以 5 20 g a 5 20 a 5 2 a 所求为 5 918 a 类题类题 设 3 31 f xxx 若数列 n a 是公差不为0的等差数列 且 12 f af a 7 f a 14 则 127 aaa 解析解析 21 依题意 333 112277 31313114 aaaaaa 又 3 233 fxxx 关于 3 0 对称 所以 127 222 f af af a 14 2 70 所以 4 3 a 所以 1274 721 aaaa 二 二 填空题 本填空题 本大题共 大题共 7 7 小题 考生作答 小题 考生作答 6 6 小题 每小题 小题 每小题 5 5 分 满分 分 满分 30 30 分 分 一 一 必做题 9 13 必做题 9 13 题 题 9 已知i为虚数单位 复数 1 i 1i z 则 z 解析解析 1 1 i i 1i z 所以 1 z 4 执行如图3所示的程序框图 则输出的z 的值是 第 3 页 共 9 页 B A C D F G 图 3 E x y A B C D 解析 解析 32 第一次运行时 2 2 2 zxy 第二次运行时 4 2 4 zxy 第三次运行时 8 z 4 8 xy 第四次运行时 3220 z 故输出z 的值是32 11 已知 sin 6 fxx 若 3 cos 5 0 2 2 分 第 4 页 共 9 页 年龄 20 30 40 50 60 0 010 c 0 035 0 025 0 频率 组距 由余弦定理得 222 cos 2 bca A bc 222 537 2 53 kkk kk 1 2 4 分 由 知 1 cos 2 A 因为 A是 ABC 的内角 所以 2 sin1cos AA 3 2 6 分 由 知 5 bk 3 ck 因为 ABC 的面积为45 3 所以 1 sin45 3 2 bc A 8 分 即 1 3 5345 3 22 kk 解得 2 3 k 10 分 由正弦定理 2 sin a R A 即 714 3 2 sin 3 2 k R A 11 分 解得 14 R 所以 ABC 外接圆半径的大小为14 12 分 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某市为了宣传环保知识 举办了一次 环保知识知多少 的问卷调查活动 一人答一份 现从回收的年龄 在20 60岁的问卷中随机抽取了n份 统计结果如下面的图表所示 组号 年龄 分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 20 30 28 b 2 30 40 27 0 9 3 40 50 5 0 5 4 50 60 a 0 4 分别求出a b c n的值 从第3 4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6 人 在所抽取的6 人中随机抽取2人授予 环保之星 记X 为抽取到第3组被授予 环保之星 的人数 求X 的分布列与数学期望 解析解析 根据频率直方分布图 得 0 0100 0250 035101 c 解得 0 03 c 1 分 第3组人数为 10 5 0 5 所以 100 1 0 10 n 2 分 第1组人数为100 0 3535 所以 28350 8 b 3 分 第4组人数为 25 25 0 100 所以 25 0 410 a 4 分 因为第3 4组答对全卷的人的比为5 101 2 所以第3 4组应依次抽取 2 人 4 人 5 分 依题意X 的取值为0 1 2 6 分 02 24 2 6 C C 2 0 C5 P X 11 24 2 6 C C 8 1 C15 P X 20 24 2 6 C C 1 2 C15 P X 9 分 所以X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 所以 2812 012 515153 EX 12 分 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 第 5 页 共 9 页 C1 A B A1 B1 D1 C D M N E F E1 F1 图 5 如图5 在正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F 中 侧棱长与底面 边长都为3 M N 分别是棱AB 1 AA 上的点 且 1 AMAN 证明 M N 1 E D四点共面 求直线BC 与平面 1 MNE D所成角的正弦值 解析解析 证明 连接 1 AB 11 B D BD 11 AE 在四边形 1111 AB D E 中 1111 AEB D 且 1111 AEB D 在四边形 11 BB D D中 11 BDB D 且 11 BD B D 所以 11 AEBD 且 11 AEBD 所以四边形 11 ABDE 是平行四边形 所以 11 ABE D 2分 在 1 ABA 中 1 AMAN 1 3 ABAA 所以 1 AMAN ABAA 所以 1 MNBA 4分 所以 1 MNDE 所以M N 1 E D四点共面 6分 以点E 为原点 建立空间直角坐标系Exyz 如图所示 则 3 3 3 0 B 3 3 9 0 22 C 0 3 0 D 1 0 0 3 E 3 3 1 0 M 8分 所以 3 3 3 0 22 BC 1 0 3 3 DE 3 3 2 0 DM 10分 设平面 1 MNE D的法向量为 x y z n 则 1 0 0 DE DM n n 即 330 3 320 yz xy 解得 2 3 3 z x yz 令 3 3 z 得 2 3 3 3 3 n 12分 设直线BC 与平面 1 MNE D所成的角为 则sin BC BC n n 2 2 22 22 3 33 23 33 30 22 174 116 3 33 23 33 30 22 故直线BC 与平面 1 MNE D所成角的正弦值为 174 116 14分 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知点 nnn P a b n N 在直线l 31 yx 上 1 P 是直线l与 y 轴的交点 数列 n a 是公差为1的 等差数列 求数列 n a n b 的通项公式 求证 222 121311 1111 6 n PPPPPP C1 A B A1 B1 D1 C D M N E F E1 F1 x z 第 6 页 共 9 页 解析解析 因为 111 P a b 是直线l 31 yx 与 y 轴的交点 0 1 所以 1 0 a 1 1 b 2分 因为数列 n a 是公差为1的等差数列 所以 1 n an 4分 因为点 nnn P a b 在直线l 31 yx 上 所以 31 nn ba 32 n 所以数列 n a n b 的通项公式分别为 1 n an 32 n bn n N 6分 证明 因为 1 0 1 P 1 32 n P nn 所以 1 31 n Pnn 所以 2 2 22 11 310 n PPnnn 7分 所以 222 121311 111 n PPPPPP 222 1111 10 12 n 8分 因为 22 2 114411 2 1 4121212121 4 nnnnnn n 10分 所以 当 2 n 时 222 121311 111 n PPPPPP 11111 12 10352121 nn 11分 151 10 321 n 1 6 12分 又当 1 n 时 2 12 111 106 PP 13分 所以 222 12131 1 1111 6 n PPPPPP 1 分 因为圆C 过点 0 0 和 1 1 所以 22 2 22 11 ar ar 3 分 解得 1 a 1 r 所以圆C 的方程为 2 2 11 xy 4 分 方法二方法二 设 0 0 O 1 1 A 依题意 圆C 的圆心为线段OA的垂直平分线l与x轴的交点C 1 分 因为直线l的方程为 11 22 yx 即 1 yx 2 分 所以圆心C 的坐标为 1 0 3 分 所以圆C 的方程为 2 2 11 xy 4 分 方法一方法一 设圆D上的动点P 的坐标为 00 xy 则 2 2 00 44 xy 即 2 2 00 440 yx 解得 0 26 x 5 分 由圆C 与圆D的方程可知 过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在 第 7 页 共 9 页 设PA的方程为 010 yykxx PB的方程为 020 yykxx 则点A的坐标为 010 0 yk x 点B 的坐标为 020 0 yk x 所以 120 ABkk x 因为PA PB是圆C 的切线 所以 1 k 2 k 满足 00 2 1 1 kykx k 即 1 k 2 k 是方程 222 00000 22110 xxkyxky 的两根 7 分 即 00 12 2 00 2 0 12 2 00 21 2 1 2 yx kk xx y k k xx 所以 120 ABkk x 2 2 0 00 0 22 0000 41 21 22 y yx x xxxx 9 分 因为 2 2 00 44 yx 所以 0 2 0 56 2 2 2 x AB x 10 分 设 0 0 2 0 56 2 x fx x 则 0 0 3 0 522 2 x fx x 11 分 由 0 26 x 可知 0 fx 在 22 2 5 上是增函数 在 22 6 5 上是减函数 12 分 所以 0 max 2225 564 fxf min 0 1 31 min2 6min 4 84 fxff 所以 AB 的取值范围为 5 2 2 4 14 分 方法二方法二 设圆D上的动点P 的坐标为 00 xy 则 2 2 00 44 xy 即 2 2 00 440 yx 解得 0 26 x 5 分 设点 0 Aa 0 Bb 则直线PA 0 0 ya yax x 即 000 0 ya xx yax 因为直线PA与圆C 相切 所以 00 2 2 00 1 ayax yax 化简得 2 000 220 xay ax 同理得 2 000 220 xby bx 由 知a b 为方程 2 000 220 xxy xx 的两根 7 分 即 0 0 0 0 2 2 2 y ab x x ab x 所以 2 4 ABababab 2 00 00 24 22 yx xx 2 000 2 0 442 2 yxx x 9 分 因为 2 2 00 44 yx 所以 0 2 0 56 2 2 2 x AB x 2 0 0 165 2 2 2 2 x x 11 分 第 8 页 共 9 页 令 0 1 2 t x 因为 0 26 x 所以 1 1 84 t 所以 2 2 2165 ABtt 2 525 2 216 3264 t 12 分 当 5 32 t 时 max 5 2 4 AB 当 1 4 t 时 min 2 AB 所以 AB 的取值范围为 5 2 2 4 14 分 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 ln fxax 1 1 x x e x g x 其中e为自然对数的底数 若函数 fx 在区间 0 1 内是增函数 求实数a的取值范围 当 0 b 时 函数 g x 的图象C 上有两点 e b P b e b Qb 过点P Q作图象C 的切线分 别记为 1 l 2 l 设 1 l 与 2 l 的交点为 00 M xy 证明 0 0 x 解析解析 解法一解法一 因为函数 ln fxax 1 1 x x 在区间 0 1 内是增函数 所以 2 2 0 1 a fx x x 在 0 1 上恒成立 1 分 即 2 120 a xx 01 x 即 2 2 1 x a x 2 1 2 x x 01 x 2分 因为 21 1 2 2 x x 在 0 1 x 内恒成立 所以 1 2 a 故实数a的取值范围为 1 2 4 分 解法二解法二 因为函数 ln fxax 1 1 x x 在区间 0 1 内是增函数 所以 2 2 0 1 a fx x x 在 0 1 上恒成立 1 分 即 2 120 a xx 01 x 即 2 210 axaxa 01 x 2 分 设 2 21 g xaxaxa 当 0 a 时 得 20 x 此时不合题意 当 0 a 时 需满足 2 2 2140 aa 或 00 10 1 0 g g a a 解得 1 2 a 或 1 a 即 1 2 a 第 9 页 共 9 页 综上所述 实数a的取值范围为 1 2 4 分 证明 因为函数 e x g x 所以 e x gx 过点 e b P b e b Qb 作曲线C 的切线方程为 1 l ee bb yxb 2 l ee bb yx