实用工测(5测量误差的基本知识)

实用工程测量 5 1测量误差概述5 2衡量观测值精度的标准5 3误差传播定律5 4等精度观测值的平差5 5不等精度观测值的平差 第5章测量误差的基本知识 实用工程测量 5 1测量误差概述 何谓误差 误差就是某未知量的观测值与其真值的差数 该差数称为真误差 即 式中 i为真误差 Li为观测值 X表示真值 实用工程测量 1 仪器误差 测量工作中要使用测量仪器 任何仪器只具有一定限度的精密度 使观测值的精密度受到限制 2 观测者误差 由于观测者的视觉 听觉等感官的鉴别能力有一定的局限 所以在仪器的安置 使用中会产生误差 如整平误差 照准误差 读数误差等 5 1 1测量误差的来源产生测量误差的原因很多 其来源概括起来有以下三个方面 3 外界条件的影响 测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的 如温度 风力 大气折光等因素 这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响 必然给观测结果带来误差 实用工程测量 通常把仪器条件 观测者的技术条件 包括使用的方法 及外界条件这三方面因素综合起来 称为观测条件 观测条件相同的各次观测称为等精度观测 相反 观测条件之中 只要有一个不相同的各次观测称为不等精度观测 实用工程测量 5 1 2测量误差的分类 按测量误差对观测结果影响性质的不同 可将测量误差分为系统误差和偶然误差两大类 1 系统误差定义 在相同的观测条件下 对某量进行的一系列观测中 数值大小和正负符号固定不变 或按一定规律变化的误差 称为系统误差 实用工程测量 系统误差具有累积性 对观测结果的影响很大 但它们的符号和大小有一定的规律 因此 系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响 通常可采用以下三种方法 1 观测前对仪器进行检校 2 采用适当的观测方法 例如正倒镜观测法 3 研究系统误差的大小 事后对观测值加以改正 实用工程测量 定义 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测 误差的出现的符号和大小都不一定 表现出偶然性 这种误差称为偶然误差 又称随机误差 例如 水准尺读数时的估读误差 经纬仪测角的瞄准误差等等 对于单个偶然误差没有什么规律 但大量偶然误差则具有一定的统计规律 2 偶然误差 实用工程测量 偶然误差特性 设某个量的真值为X 对此量进行n观测 得到的观测值为l1 l2 ln 每次观测发生的偶然误差 即真差 为 1 2 n 则 i 1 2 n 在观测过程中 不可避免会产生偶然误差 偶然误差是测量误差理论主要讨研究对象 根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理 求出最接近于未知量真值的估值 称为最或然值 或称最或是值 对于单个偶然误差没有什么规律 但大量偶然误差则具有一定的统计规律 下面举一实例加以说明 实用工程测量 例1 在相同的观测条件下 观测365个三角形的三个内角 由于存在偶然误差 使得每个三角形内角之和不等于真值180 用下式计算真差 i 把这365个真误差按其绝对值的大小排列 列于下表 实用工程测量 实用工程测量 对称性 绝对值相等的正负误差出现的机会相等 抵偿性 偶然误差的算术平均值趋近于零 即 1 有界性 在一定的条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限度 2 集中性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 实用工程测量 5 1 3多余观测 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量 测量工作中进行多于必要观测的观测 称为多余观测 例如 一段距离往返观测 如果往测必要的观测 则返测称多余观测 一个三角形观测3个角度 观测其中2个角为必要观测 观测第3个角度称多余观测 有了多余观测 观测值之间或与理论值比较必产生差值 不符值 闭合差 因此可以根据差值大小评是测量的精度 精确程度 当差值超过某一数值 就可认为观测值有错误 称为误差超限 差值不超限 这些误差认为是偶然误差 进行某种数学处理称为平差 最后求得观测值的最或然值 即求得未知量的最后结果 实用工程测量 5 1 4 观测值的精度与数字精度 观测值接近真值的程度 称为准确度 愈接近真值 其准确度愈高 系统误差对观测值的准确度影响极大 因此 在观测前 应认真检校仪器 观测时采用适当的观测法 观测后对观测的结果加以计算改正 从而消除系统误差或减弱至最低可以接受的程度 一组观测值之间相互符合的程度 或其离散程度 称为精密度 一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度 准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值 所谓精度包含准确度和精密度 实用工程测量 打靶实例说明准确度与精密度两概念 实用工程测量 数字的精度是取决于小数点后的位数 相同单位的两个数 小数点后位数越多 表示精度越高 因此 小数点后位数不可随意取舍 例如 17 62m与17 621m 后者准确到mm 前者只准确到cm 从这里可知 17 62m与17 620m 这两个数并不相等 17 620m准确至毫米 毫米位为0 因此 对一个数字既不能随意添加0 也不能随意消去0 实用工程测量 1 中误差根据数理统计推导中误差m为 5 2衡量观测值精度的标准 式中 各偶然误差平方和 n 偶然误差的个数 m表示该组观测值的中误差 它代表该组观测值中任一个观测值的误差 根据推导可知偶然误差分布曲线拐点的横坐标 拐 m这就是中误差的几何意义 实用工程测量 例2 甲 乙两组 各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角观测10次 算得三角形闭合差 i如下 甲组 30 20 40 20 0 40 30 20 30 10 乙组 10 10 60 20 20 30 50 0 30 10 试问哪一组观测值精度高 试解 计算甲乙两组的平均误差进行比较 用平均误差衡量结果是 甲 乙 但是 乙组观测列中有较大的观测误差 乙组观测精度应该低于甲组 计算平均误差 反映不出来 所以平均误差 衡量观测值的精度是不可靠的 实用工程测量 正确解法 用中误差公式计算得 实用工程测量 对于衡量精度来说 有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量 例如 测得某两段距离 一段长100m 另一段长200m 观测值的中误差均为 0 02m 从表面上看 似乎二者精度相同 但就单位长度来说 二者的精度并不相同 这时应采用另一种衡量精度的标准 即相对误差 3 相对误差 相对误差是误差的绝对值与观测值之比 在测量上通常将其分子化为1的分子式 即 式中 K为相对误差 第1段 第2段 因此第2段精度高于第1段 实用工程测量 相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中 角度误差不用相对中误差 因角度误差与角度本身大小无关 常用几种相对误差计算式 实用工程测量 2 极限误差 容许误差 定义 由偶然误差的第一个特性可知 在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值不会超出一定的限值 这个限值就是极限误差 y P m m 68 3 P 2m 2m 95 4 P 3m 3m 99 7 实用工程测量 在区间 m m 内偶然误差出现的概率值为68 3 说明大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31 7 在区间 2m 2m 内偶然误差的概率值为95 4 说明大于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为4 6 在实际测量中观测次数很有限 绝对值大于2m或2m的误差出现机会很小 故取二倍或三倍中误差作为容许误差 多采用2m 即 容 2m或 容 3m 在区间 3m 3m 内偶然误差的概率值为99 7 说明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0 3 实用工程测量 5 3误差传播定律 在实际测量工作中 某些量的大小往往不是直接观测到的 而是间接观测到的 即观测其它未知量 并通过一定的函数关系间接计算求得的 非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律 例如 h a b线性函数 误差传播定律 实用工程测量 倍数函数 y Kx 则 例4 在1 500地形图上量得某两点间的距离dAB 51 2mm 其中误差md 0 2mm 求该两点的地面水平距离DAB的值及其中误差mD 1 倍数函数 DAB 25 6m 0 1m 实用工程测量 1 和差函数y x1 x2且x1 x2独立 则 例3 已知当水准仪距标尺75m时 一次读数中误差为 包括照准误差 气泡置中误差及水准标尺刻划中误差 若以二倍中误差为容许误差 试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差 2 和差函数 实用工程测量 解 水准测量每一站高差 则每站高差中误差 观测n站所得总高差 则n站总高差h的总误差 若以二倍中误差为容许误差 则高差闭合差容许误差为 实用工程测量 例4 DJ6型光学经纬仪观测角度 瞄准误差为m瞄 读数误差为m读 求 1 观测一个方向的中误差m方 2 半测回的测角中误差m半 3 两个半测回较差的容许值 容 1 观测一个方向的中误差m方观测一个方向包含瞄准误差m瞄与读数误差m读 2 半测回的测角中误差m半 3 两个半测回较差的容许值 容 容 3 12 36 考虑到其他因素 测回法规定两个半测回较差的容许值 容 40 实用工程测量 2 当和差函数为y x1 x2 xn设x1 x2 xn的中误差分别为m1 m2 mn时 则 即函数y的中误差的平方等于各观测值xi中误差的平方和 当x1 x2 xn为等精度观测值时 则m1 m2 m3 mn m此时上式改变为 实用工程测量 线性函数y K1x1 K2x2 Knxn 3 线性函数 即线性函数中误差的平方 等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和 例5 对某量等精度观测n次 观测值为l1 l2 ln 设已知各观测值的中误差m1 m2 mn m 求等精度观测值算术平均值x及其中误差mx 解 等精度观测值算术平均值x 实用工程测量 上式表明 算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n倍 即算术平均值的精度比观测值精度提高n倍 测量工作中进行多余观测 取多次观测值的平均值作为最后的结果 就是这个道理 但是 当n增加到一定程度后 例如n 6 mx值的减小的速度变得十分很慢 所以为了达到提高观测成果精度的目的 不能单靠无限制地增加观测次数 应综合采用提高仪器精度等级 选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施 才是正确的途径 上式可改写为 算术平均值x的中误差mx 实用工程测量 例6 经纬仪一测回测角中误差为m 9 求5测回平均值中误差为多少 欲使角度平均值中误差不大于 3 5 问至少要测几个测回 按公式 上式作一些变换得 n 7测回 实用工程测量 一般函数 4 一般函数 例7 测得两点地面斜距L 225 85 0 06m 地面的倾斜角 17 30 1 求两点间的高差h及其中误差mh 实用工程测量 解 根据题意可写出计算高差h公式为h Lsin 将上式微分转为中误差 上式可写成 实用工程测量 现举2实例说明解题步骤 例1 量得圆半径R 31 3mm 其中误差mR 0 3mm 求圆面积的中误差 例2 某房屋 长边量得结果 80 0 02m 短边量得结果 40 0 01m求房屋面积中误差 误差传播定律应用总结 第一步 列出数学方程 例1 S R2例2 S a b 第二步 将方程进行微分 例2有2个变量则须全微分 例1 dS 2 RdR例2 dS a db b da 第三步 将微分转为中误差 例1 mS 2 R mR 2 3 1416 31 3 0 3 59mm例2 实用工程测量 5 4 1求未知量的最或然值对某个未知量进行n次等精度的观测 其观测值分别为l1 l2 l3 ln 将这些观测值取算术平均值x作该未知量的最可靠值 称为最或然值 或称最或是值 即 设某量的真值为X 观测值分别为l1 l2 l3 ln 其相应的真差为 1 2 3 n 则 1 l1 X 2 l2 X n ln X 5 4等精度观测值的平差 实用工程测量 将上式取和再除以观测次数n便得 式中x为算术平均值 显然 即当观测次数n无限多时 算术平均值x就趋向于未知量的真值X 当观测次数有限时 可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值 称为最或是值或最或然值 以它作为未知量的最后结果 实用工程测量 2 观测值中误差 当真值巳知时 真差 可求得 则等精度观测值中误差m为 通常未知量的真值无法求得 真误差 也是未知数 故不能直接用上式求出中误差 实际工作中 可利用各观测值的似真误差vi来计算观测值的中误差 观测值中误差 li为观测值x为观测值的算术平均值 实用工程测量 例8 设对某角进行了5次同精度观测 观测结果如下表 试求其观测值的中误差 及最或然值的中误差 观测值 3 0 1 3 1 9 0 1 9 1 观测值中误差 最或然值中误差为 实用工程测量 5 4 3等精度双观测值的较差计算中误差 在边长观测中 一般采用往返观测 因此出现等精度双观测列 例如 相应双观测列之差 如果观测是绝对正确的 那么每个差d都等于0 即d的真值为0 因此 d1 d2 dn可以认为是各差的真误差 按真差求中误差公式得 实用工程测量 例9 6条边长往返观测成果列于下表 求边长观测值的中误差为多少 边长观测值的中误差m 表5 3边长观测值的中误差计算表 实用工程测量 5 5不等精度观测值的平差 在对某量进行不等精度观测时 各观测结果的中误差不同 在不等精度观测中 因各观测的条件不同 所以各观测值具有不同的可靠程度 各不等精度观测值的不同可靠程度 可用一个数值来表示 该数值称为权 用P表示 权 是权衡轻重的意思 观测值的精度高 可靠性也强 则权也大 5 5 1权的概念 设第一组观测了4次 观测值为l1 l2 l3 l4 第二组观测了2次 观测值为l1 l2 这些观测值的可靠程度度相同 则每组分别取算术平均值作为最后观测值 即 实用工程测量 两组观测合并 相当于等精度观测6次 故两组观测值的最后结果应为 但对x1 x2来说 彼此是不等精度观测 如果用x1 x2来计算 则上式计算实际是 从不等精度观点来看 观测值x1是4次观测值的平均值 x2是2次观测值的平均值 x1和x2的可靠性是不一样的 用4 2表示x1和x2相应的权 也可用用2 1表示x1和x2相应的权 分别代入上面公式 计算x结果是相同的 因此 权 可看作是一组比例数字 用比例数值大小来表示观测值的可靠程度 实用工程测量 设一组不同精度观测值为li 相应的中误差为mi 中误差愈小 可靠度愈大 即权愈大 故定义权为 5 5 2权与中误差的关系 式中m为任意常数 式中看出权与中误差的平方成反比 例如 不等精度观测值l1 l2 l3 其相应的中误差为m1 2 m2 4 m3 6 按上式计算各观测值的权为 实用工程测量 由此可见 权是一组比例数字