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第一节大数定律 一 问题的引入 二 基本定理 三 典型例题 四 小结 一 问题的引入 实例频率的稳定性 随着试验次数的增加 事件发生的频率逐渐稳定于某个常数 启示 从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性 单击图形播放 暂停ESC键退出 二 基本定理 定理一 契比雪夫定理的特殊情况 契比雪夫 定理一 契比雪夫定理的特殊情况 表达式的意义 二 基本定理 证明 由契比雪夫不等式可得 并注意到概率不能大于1 则 关于定理一的说明 这个接近是概率意义下的接近 即在定理条件下 n个随机变量的算术平均 当n无限增加时 几乎变成一个常数 定理一的另一种叙述 依概率收敛序列的性质 证明 证毕 证明 引入随机变量 伯努利 定理二 伯努利大数定理 显然 根据定理一有 关于伯努利定理的说明 故而当n很大时 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小 在实际应用中 当试验次数很大时 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率 关于辛钦定理的说明 1 与定理一相比 不要求方差存在 2 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况 辛钦资料 定理三 辛钦定理 三 典型例题 解 独立性依题意可知 检验是否具有数学期望 例1 说明每一个随机变量都有数学期望 检验是否具有有限方差 说明离散型随机变量有有限方差 故满足契比雪夫定理的条件 解 由辛钦定理知 例2 四 小结 三个大数定理 契比雪夫定理的特殊情况 伯努利大数定理 辛钦定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性 契比雪夫资料 PafnutyChebyshev Born 16May 1821inOkatovo RussiaDied 8Dec 1894InStPetersburg Russia 伯努利资料 JacobBernoulli Born 27Dec 1654inBasel SwitzerlandDied 16Aug 1705inBasel Switzerland 辛钦资料 AleksandrYakovlevichKhinchin Born 19Jul 1894inKondrovo Kaluzhskayaguberniya RussiaDied 18Nov 1959inMosc
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