鱼群捕捞问题数学建模.doc

问题一 鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。 假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。 渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。2、 问题的假设与分析1. 问题假设（1） 鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。（2） 查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。（3） 龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。（4） 4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。（5） 连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。2. 问题分析（1） 符号说明 xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n：每年的产卵量； k：4龄鱼捕捞强度系数； 2ai0：每年初i龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；（2） 对死亡率的理解 题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足： = -0.8x（t），i = 1，2，3，4（3） 对捕捞强度系数的理解 单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即是捕捞强度系数k，它是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，一方面捕捞强度系数k决定了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化规律为： = -（0.8+0.42k）x（t） = -（0.8+k）x（t） 另一方面决定了t时刻捕捞的3，4龄鱼的数量为：0.42kx3（t）和kx4（t）。（4） 对成活率的理解 只有3，4龄鱼在每年的8月一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为： 题目中已经说明了成活率为：，所以每年初1龄鱼的数量为： x1（0）= n 3、 模型的建立 可持续捕捞要求每年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，既要求x1（0）= x0（1），x2（0）= x1（1），x3（0）= x2（1），x4（0）= x3（1）。在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量。要得到最高年收获量，考虑到前面的方程，可以得到以下的优化模型： max（total（k）=17.86 t0，1，x1（0）= n t0，1，x2（0）= x1（1） t0，2/3，x3（0）= x2（1） s.t. t2/3，1，x3（-）= x3（+） t0，2/3，x4（0）= x3（1） t2/3，1，x4（-）= x4（+） 4、 模型的求解Modulex1，x2，x31，x32，x41，x42，t，a10，a20，a30，a31，a40，a41， nn，k，t3，t4，total，tdd，aa， x1t_ =x1t / . DSolvex1t= = - 0.8x1t，x10= =a10，x1t，t，1； a20=x11； x2t_ =x2t / . DSolvex2t= = - 0.8x2t，x20= =a20，x2t，t，1； a30=x21； aa= DSolvex31t= = -（0.8+0.42k）x31t，x310= =a30，x31t，t，； x31t_ =x31t/aa1； a31=x312/3； x32t_ =x32t / . DSolvex32t= = -0.8x32t，x322/3= =a31，x32t，t，1； a40=x321； x41t_ =x41t /.DSolvex41t= =-(0.8+k)x41t,x410= =a40,x41t，t,1； a41=x412/3； x42t_ =x42t /.DSolvex42t= =-0.8x42t，x422/3= =a41，x42t，t,1； nn=1.109*105*（0.5a31+a41）； a10=a10 / . Solvenn*1.22*1011/(1.22*1011+nn)= =a10，a10，2； t3=Integrate0.42*k*x31t，t，0，2/3； t4=Integratek*x41t，t，0，2/3； totalk_ ：= 17.86*t3+22.99*t4； Plottotalk，k，0，35；ans=FindMinimum-totalk，k，17； k=k / . ans2；Printk=，Nk，16，total=，N-ans1，16； PrintNa10，16；PrintNa20，16；PrintNa30，16；PrintNa40，16；5、 结果分析 用Mathematica软件编程解微分方程组，先求得一元函数total（k）的表达式，画出total（k）函数的图形。然后求出：k=17.3629时，最高年收获量为total=3.8870755177934421011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：1.1959937618180510115.37394638088363510102.41466976054393510108.39551912331377107参考文献1、徐全智等 数学建模入门 四川 电子科技大学出版社 1996年2、寿纪麟 数学建模方法与范例 西安 西安交通大学出版社 1993年3、李本亭 鯷鱼 海洋世界 1997年第1期 问题二 生产计划一、问题的提出已知某工厂计划生产I 、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C设备上加工，有关数据如下：I IIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058400C21310420单位产品利润（千元）322.9试回答：(1) 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？ (2) 若为了增加产量，可租用别的工厂设备B，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B设备是否划算？ (3) 若另有二种新产品IV、V，其中新产品IV需要设备A为12台时、B为5台时、C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需要A为4台时、B为4台时、C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如果A、B、C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？ (4) 对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I需要设备A为9台时、设备B为12台时、设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？2、 问题的分析对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题。根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件。对于该问题，首先要确定决策变量，要求如何生产三种产品使得利润最大。其次，根据约束条件，利用工具求解。最后，确定问题的目标函数，由题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大。3、 基本假设(1) 在已知条件下该问题存在可行解。(2) 生产产品是设备部损坏。4、 定义符号的说明 每月生产产品I的台数 每月生产产品II的台数 每月生产产品III的台数 每月生产产品IV的台数 每月生产产品V的台数 z 每月最大的总盈利5、 模型的分析、建立以及结果分析5.1模型的分析对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。5.2 模型的建立以及结果分析该问题完整的线性规划模型如下：(1)目标函数 max z = 3 + 2 + 2.9约束条件为 8 + 2 + 10 300 10 + 5 + 8 400 S.t 2 + 13 + 10 420 0, i = 1,2,3;以下是lingo中下的代码：model:max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3 = 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 = 400;2*X1 + 13*X2 + 10*X3 = 420;gin(X1);gin(X2);gin(X3);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知每月生产I 产品24台，II产品24台，III产品5台，可使生产盈利最大，最大利润为134.5千元(2)I IIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058460C21310420单位产品利润（千元）322.9目标函数 max z = 3 + 2 + 2.9- 18则此时的约束条件为 8 + 2 + 10 300 10 + 5+ 8 460 S.t. 2 + 13 + 10 420 0, i = 1, 2, 3;以下是lingo中下的代码：model:max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3-18; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3 = 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 = 460;2*X1 + 13*X2 + 10*X3 = 420;gin(X1);gin(X2);gin(X3);end以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知最大盈利为127千元 小于（1）中的134.5千元，故租用B设备不划算。(3) I IIIIIIVV设备有效台数（每月）A8210124300B105854400C213101012420单位产品利润（千元）322.92.11.87目标函数 max z = 3 + 2+ 2.9 + 2.1 + 1.87则此时的约束条件为 8 + 2+ 10 + 12 + 4 300 10 + 5 + 8 + 5 + 4 400S.t. 2 + 13 + 10 + 10 + 12 420 0, i = 1, 2, 3, 4, 5;以下是lingo中下的代码：model:max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3+2.1*X4+1.87*X5; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3+12*X4+4*X5 = 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 +5*X4+4*X5 = 400;2*X1 + 13*X2 + 10*X3+10*X4+12*X5 = 420;gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(X4);gin(X5);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知此时的最大盈利为135.96千元大于（1）中的134.5千元，故这两种新产品投产在经济上划算。(4)I IIIII设备有效台数（每月）A9210300B1258400C41310420单位产品利润（千元）4.522.9目标函数 max z = 4.5 + 2 + 2.9 则此时的约束条件为 9 + 2+ 10 30 12 + 5 + 8 400S.t. 4 + 13+ 10 420 0, i = 1, 2, 3; 以下是lingo中下的代码：model:max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3; 9*X1 + 2*X2 + 10*X3 = 300;12*X1 + 5*X2 + 8*X3 =400;13*X1 + 13*X2 + 10*X3= 420;gin(X