10.函数中易混易错的十个问题.doc

函数中易混易错的十个问题函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。下面就几个易混易错的问题举例说明。一、复合函数的定义域与复合函数的外层函数的定义域复合函数的定义域受函数的定义域的制约，如“已知的定义域为，求的定义域”是指求满足的的取值范围；而“已知复合函数的定义域为”就是指，则的定义域为在上的值域例1.（1）设函数的定义域为0,2，求函数的定义域： 解： 由解得x.从而的定义域为.（2）设函数)的定义域为0,2，则的定义域为_.解：的定义域即在0,2上的值域. 由0x2得-12x-13，从而0|2x-1|3.所以的定义域为0,3.练习：1已知函数的定义域为0，1，值域为1，2，求函数的定义域和值域。答案：-2，-1 ，1，22已知函数的定义域是0，2，求f（-3x）的定义域由函数的定义域是0，2，可得，有，故f（x）的定义域为2，2二、函数的定义域为A与函数在A上恒有意义 “函数在A上恒有意义”中的A是的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A”中的A是使函数有意义的自变量取值范围。例2已知函数 (1)若此函数在上有意义，求的取值范围.(2)若此函数的定义域为 ，求的取值范围.解：（1）因为函数在 上有意义，即对恒成立， 令则在上单调递增又 （2）若函数的定义域为 ，则的解集从而有的解为易解得 即解得练习：已知函数，解答下列问题：（1）若函数在内有意义，求实数的取值范围；（2）若函数的定义域为，求实数的值；解：记。（1）“函数在内有意义”等价于“对恒成立”，或，解之得：。（2）“函数的定义域为”等价于“不等式的解为 或” 是方程的两根，则三、函数的值域为A与A “A ”说明的值域是A的一个子集；“函数的值域为A”中的A是的值域，其解法是先求出的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程.例3已知函数（1）若的值域为，求的值；（2）若函数的值均为非负值，求的取值范围。解：（1）= （2）函数的值均为非负值即练习：已知函数（1）若函数的值域为，求实数的值；（2）若的值不大于，求实数的取值范围。解：（1）由对数函数的性质易得：的值域为又 即（2）若的值不大于， 的值不小于2 即四、二次与对数的复合函数的定义域为与函数的值域为上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明.例4已知函数，解答下列问题：（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围；解：（1）由题意知：对一切，恒成立，即实数的取值范围是：。（2）“函数的值域为”等价于“能取遍的一切值”，的判别式。练习：已知函数（1）定义域是，求实数的取值范围；（2）值域是，求实数的取值范围。解：（1）因为函数的定义域是，故而对任意有 恒成立。.当时，不符合题意；.当时，由二次函数的性质可得：综上，实数的取值范围为；（2）因为函数的值域是等价于取遍的一切值.当时，符合题意；.当时，解的综上，实数的取值范围为五、函数的单调增（减）区间为A与在区间A 上为单调增（减）函数函数在某区间A上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数的单调增(减)区间为A，其解法是先求出的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比较系数建立含参数的方程.例5（1）函数的增区间是，求实数的取值范围。（2）设函数在上是增函数，求实数的取值范围。解：（1）函数的增区间是，则恰有，可知（2）函数的对称轴为，只需，解得，即练习：1、若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。解：令， 函数在定义域上为减函数，在区间上递减，且满足在区间上恒成立，解得，所以，的取值范围为2、是否存在实数a, 使函数f (x )在区间上是增函数? 如果存在,说明a可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.解： 设, 对称轴.(1) 当时, ; (2) 当时, . 综上所述: 六、复合函数的奇偶性与复合函数的外层函数的奇偶性若函数是偶函数，则即函数的图象关于直线对称；若函数是奇函数，则即，也就是函数的图象关于点中心对称；若函数是偶函数，则；若函数是奇函数，则例6已知函数是偶函数，且时，求时的解析式.解析：关键是理解“是偶函数”的意义为即函数的图象关于直线对称；然后利用对称性将上的解析式求解转化到上的解析式计算.解：设，则，由题，由函数是偶函数有即 故时的解析式为练习：已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则是( )A奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数C偶函数且周期函数 D.偶函数且非周期函数解析：关键抓住两个已知条件为偶函数有即为奇函数”即 在中令为得，在中令为得，于是，从而是奇函数.由得从而知函数是周期函数七、方程在A内有解与方程的解在A内方程f(x)0在A内有解，只要求方程在A内至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在A内；方程的解在A内要求方程的所有解均在A内.例7(1)关于的方程在区间(2,5)内有解，求的取值范围；(2)关于的方程的解在区间(2,5)内，求的取值范围.解：(1)易求得，由题意有或即或，故.(2)由题意有且，解得.练习：1、若关于 的方程的所有解都大于1，求的取值范围解：由原方程可化为 ，变形整理有 （*） ， ，由于方程（*）的根为正根，则解之得 ，从而 说明：方程（*）不是关于 的方程，而是关于 的一元二次方程，故求出 的范围，另外，解得 ，其中是真数，不要忽略 2、已知函数f(x)=logm(1)若的定义域为，（0），判断在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当时，使的值域为的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x3或x3.f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)0m1, f(x)为减函数.即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.八、不等式恒成立与有解解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下等价转化应细心思考，甄别差异，恰当使用，切不可混为一团。（1）不等式f(x)k在xI时恒成立xI. 或f(x)的上界小于或等于k；（2）不等式f(x)k在xI时恒成立xI. 或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式f(x)k在xI时有解xI. 或f(x)的上界大于k；例8已知两函数，其中为实数。（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围。解：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=-3x2-12x+k，问题转化为x-3，3时，h(x)0恒成立对恒成立，而 故（2）据题意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即为h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，在上有解，而 故（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的条件是： 又. 故得练习：1、（1）已知函数的定义域为，求实数a的取值范围。（2） 已知函数上有意义，求实数a的取值范围。解：（1）因函数f（x）的定义域为3，即不等式的解集为3，有。当a=0时，不合题意。当a0时，是不等式的解集，所以，即a=1为所求。综上可知实数a的取值范围是。（2）由题意知上有意义，即不等式上恒成立。当a0时，不等式上恒成立，令，从而，所以。当a=0时，显然不合题意。当a2时，。要使，显然有a=2。综上知实数a的取值范围是。解：（2）不等式恒成立，即恒成立。令，对于任意，要使恒成立，只需0即可。故，解得或x=1。因此实数x的取值范围是。点评：例12构造了函数f（a），它可以是一次函数也可以为常数函数，不必进行讨论。此题为a变化时不等式恒成立问题，此时a可以看作一个函数的自变量，把x看作参变量，通过转换“身份”，使问题得到解决。练习.已知函数，设关于的方程的两个非零实根为。试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。详细解答见阅读材料（4）含参不等式恒成立问题的化归策略例6十、函数与的图象的对称轴与满足的函数的对称轴结论“如果函数对于定义域内的任意x都有成立，那么函数的图象关于直线对称”阐述的是图象的自对称性，而前面说的是两个函数和图象的互对称性，这两者是有区别的。设函数与图象关于直线对称，由函数求得其图象关于直线对称图象对应的函数应为，所以有函数与函数为同一函数，即有，从而有，即它们的对称轴为。所以有结论：函数的图象与函数的图象关于直线对称。例10判断下列说法的正确性: 若函数f(x)满足f(1 - x) = f(1 + x),xR,则函数 f(x)的对称轴为直线x = 1; 若函数f(x)满足f(1 - x) = f(3+ x),xR,则函数f(x)的对称轴为直线x = 2; 函数y = f(1 - x)与函数y = f(1 + x)的图像关于直线x = 0对称; 函数y = f(1 - x)与函数y = f(x - 1)的图像关于直线x = 0 对称. 解析 ,是函数的自身的对称问题(自对称),而,是两个函数的对称关系(互对称). 现提供对,的一种解释. 因为函数f(x)满足f(1 - x) = f(3 + x),xR,即 f2 - (1 + x) = f2