导数应用精选50题(含有答案).doc

导数应用精选50题(含有答案)一、选择题1.曲线在点（1,0）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2.函数，若，则的值等于（ ）A B C D3.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有 A B C D4.曲线的最小值为 （ ）A. B. C. D. 5.设是函数的导函数， 的图象如图所示，则的图象最有可能的是 （ ）BC6.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）ABC D7. 将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（ ）A B C D8.已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是 A . B C D 9.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立， 若,，则的大小关系是 ( )A. B. C. D.10.的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 11.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）下面四个图象中，的图象大致是（）12.已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（ ） A.3 B. C.2 D.13.对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数的“拐点”有同学发现:“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，若函数，则=（ ）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）201314.已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。当1af(b) Bf(a)f(b) Cf(a)f(b) Df(|a|)f(b)16.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为二、填空题17.若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则 18.函数在定义域R内可导，若，且当时，设，则从小到大排列的顺序为 19.已知函数f (x)(ax2x)xlnx在1,)上单调递增，则实数a的取值范围是 三、解答题20.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围21.（本小题满分14分） 已知其中是自然对数的底 .(1)若在处取得极值，求的值；(2)求的单调区间；(3)设，存在，使得成立，求 的取值范围.22.（本小题满分16分）已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数。（1）求在上的最大值；（2）若对及恒成立,求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数。23.(本小题满分15分)已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.24.(本小题满分13分)已知函数 y = f (x) 的定义域为 R，其导数 f (x) 满足 0 f (x) a 时，总有 x f (x) 成立；(2)对任意 x1、x2若满足| x1a | 1,| x2a | 1,求证：| f (x1)f (x2)| 0)上的最小值；（2）若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1，x2（xl 1n2，求实数a的取值范围28.（本题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知对定义域内的任意恒成立，求实数的范围.29.(本大题满分12分)已知函数f（x）= ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线斜率为2.（1）求a、b的值（2）若关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0在区间，2上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.30.(本大题满分14分) 设x=3是函数f（x）=（x2+a+b）e3-x(xR)的一个极值点 (1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f（x）的单调区间；(2)a0，g(x)=( a+) ex若存在x1、x20，4使得| f（x1）- g(x2)|1成立，求a的取值范围31.（本小题满分14分）已知函数（a0）.（1）若，求在上的最小值；（2）若，求函数的单调区间；（3）当a1时，函数在区间上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；32.（本小题满分12分）已知函数. （1）求在处的切线方程 （2）若函数的图像有公共点，且在公共点P处有相同的切线，求实数的值和P的坐标；33.（本小题满分12分）已知函数（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（）当时，求证：34.（本小题满分12分）已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.35.（本小题满分14分）已知函数 （I）求函数的单调区间； （II）若函数的取值范围；（III）当36.（本小题满分14分）已知函数（）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当时，恒成立，求整数的最大值；（）试证明：.37.（满分5分）设函数，（其中为自然底数）； （）求（）的最小值； （）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （）数列中，求证：。38.（满分分）定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足：函数f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称；函数f(x)的图象过点P（3，6）；函数f(x)在点x1，x2处取得极值，且|x1x2|=4（1）求f(x)表达式；（2）求曲线y=f(x)在点P处的切线方程；（3）求证：、R，39.(本小题满分12分)已知函数(1) 当时, 求函数的单调增区间；(2) 求函数在区间上的最小值；(3) 在(1)的条件下，设,证明：.参考数据：40.(本题满分12分)已知函数（1）求的单调区间；（2）如果当且时，恒成立，求实数的范围.41.（本小题满分13分）已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）对,不等式恒成立，求的取值范围42.(本小题满分12分)已知函数，.(1)如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；(2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由43.（本小题满分13分）已知函数. ()当时，求函数在，上的最大值、最小值；()令，若在上单调递增，求实数的取值范围.44.（本题满分8分）已知函数，（1）若函数在点处的切线斜率为1，求的值；（2）在（1）的条件下，对任意，函数在区间总存在极值，求的取值范围；（3）若，对于函数在上至少存在一个使得成立，求实数的取值范围。45.（满分12分）设函数（）求函数的单调递增区间；（II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围46.（本小题满分16分）设t0，已知函数f (x)x2(xt)的图象与x轴交于A、B两点（）求函数f (x)的单调区间；（）设函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0(0，1时，k恒成立，求t的最大值；（）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数yf(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值47.（本小题满分16分）已知函数（）若在上的最大值为，求实数的值；（）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由48.已知在处都取得极值（1）求、的值；（2）若对时，恒成立，求实数的取值范围49.若函数在处的导数为，则称点为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“11驻点性”.（1）设函数f(x)=，其中.求证：函数f(x)不具有“11驻点性”；求函数f(x)的单调区间.（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“11驻点性”，给定x1，x2R，x1x2，设为实数，且，=，=，若|g()g()|g(x1)g(x2)|，求的取值范围.50.(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间；（2）记函数的图像为曲线.设点是曲线上不同两点. 如果在曲线上存在点使得：；曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.试卷答案1.C 2.D3.C4.D5.B6.B7.B8.A9.C10.D 11.C由条件可知当时，函数递减，当时，函数递增，所以当时，函数取得极小值.当时，所以，函数递增，当，所以，函数递减，所以当时，函数取得极大值.所以选C.12.C13.A14.C15.A16.A17. 18. 19.,)20.解: （1）当时，令，则，、和的变化情况如下表+00+递增极大值递减极小值递增即函数的极大值为1，极小值为； （2），若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零，若，这不可能，若，则符合条件，若，则由二次函数的性质知，即，这也不可能，综上a=0时,在区间上单调递增，21.解： () . 由已知, 解得. 经检验, 符合题意. 4分() .1) 当时，在上是减函数.2)当时，. 若，即， 则在上是减函数，在上是增函数； 若，即，则在上是减函数. 综上所述，当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是. 9分(III)当时,由()知的最小值是； 易知在上的最大值是； 注意到,故由题设知 解得.故的取值范围是. 14分22.解：（1）是奇函数，则恒成立. 又在1，1上单调递减， 5分（2）在上恒成立,令则. 10分 （3）由（1）知令，当上为增函数；上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如图所示，当时，方程无解. 当时，方程有一个根. 当时，方程有两个根. 16分23.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对（0,+）恒成立，则 的取值范围是. 7分 （II）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即 则 设则，点R不存在.15分24.(1)证明：令 g(x) = xf (x)则 g (x) = 1f (x)0 f (x) 0函数 g(x) = xf (x)为R增函数当 x a时 g(x) = xf (x) af (a) = 0当 x a时，总有 x f (x) 成立 -6分(2)证明： | x1a | 1,| x2a | 1a1 x1 a + 1;a1 x2 a + 1 又 0 f (x) 1f (x) 在 R 是增函数f (a1) f (x1) f (a + 1); f (a1) f (x2) f (a + 1)f (a1)f (a + 1) f (x1)f (x2) f (a + 1)f (a1)| f (x1)f (x2) | f (a + 1)f (a1)由 (1) 知： f (a + 1) a + 1 ； f (a1) (a1) | f (x1)f (x2) | f (a + 1)f (a1) 2| f (x1)f (x2) | 2. -13分25.（1） （2）时略26.所以，在上为减函数，在上为增函数又故所以实数的取值范围是27.28.-2分（）当时，的变化情况如下表：1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是6分（）由于，显然时，此时对定义域内的任意不是恒成立的， -9分当时，易得函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，实数的取值范围是.-14分29.(1)解：1分3分解得：5分(2)解：由(1)知，即6分设，则7分g (x)在上递增，在上递减9分，为使方程在区间上恰有两个不相等的实数根，则11分解得：12分30.(1)解：由得：，即b = 32a，2分故令，得x1 = 3或x2 = a1，由于x = 3是极值点，所以，那么a4当a 3 = x1，则在区间(，3)上，f (x)为减函数；在区间(3，a1)上，f (x)为增函数；在区间(a1，)上，f (x)为减函数4分当a 4时，x2 0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是minf (0)，f (4) ，f (3)，而f (0) =(2a + 3)e3 0，f (3) = a + 6，那么f (x)在区间0，4上的值域是(2a + 3)e3，a + 68分又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2 + ，(a2 + )e4，10分由于(a2 + )(a + 6) = a2a = ()20，所以只须仅须(a2)(a6) 0，解得0 a 故a的取值范围是(0，). 14分31.略32.略33.解：（1），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 4分（2）函数在处取得极值， 5分， 令，可得在上递减，在上递增，即 8分（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，9分又，显然函数在上单调递增，即，在上单调递增，即，当时，有 12分34.的定义域为， 的导数. 2分令，解得；令，解得. 4分从而在单调递减，在单调递增. 所以，当时，取得最小值. 6分（）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是. 12分35.解：（I）函数 1分 2分 当 列表如下：+0极大值 综上所述，当； 当 5分 （II）若函数 当， 当，故不成立。 7分 当由（I）知，且是极大值，同时也是最大值。 从而 故函数 10分 （III）由（II）知，当36.解：（）由题2分故在区间上是减函数;3分（）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，5分再取则故在上单调递增，而，7分故在上存在唯一实数根，故时，时，故故8分（）由（）知：令，10分又12分即：14分37.（）时，易知时、时；所以时求取最小值等于0；-4分 （）由题易知，所以；-6分 所以可设，代入得 恒成立，所以，所以，；-8分此时设，则，易知，即对一切恒成立；综上，存在符合题目要求，它恰好是图象的公切线。-10分 （）先证递减且； 由题（）知，所以，即为递减数列； 又，所以，因为当时总有，所以；- -13分 所以 。-15分38.（1）的图象关于点(-2,0)对称，即图象关于原点对称,d=0,b=0. 又过(3, 6), 9a+c=2f/(x)=3ax2+2bx+c=0两根为x1,x2，且|x1x2|=43分又|x1x2|2=，c=12a f(x)= Ks5u6分（2）f/(x)=2x28, f/(3)=10.切线方程10xy36=0. 10分（3）当时,f/(x)=2x280, f(x)在2,2递减.又,。13分, . 15分39.()当时，或。函数的单调增区间为 3分() ，当，单调增。当，单调减. 单调增。当，单调减， 8分（）令， , 即， 12分40.（1）定义域为 设 当时，对称轴，所以在上是增函数 当时，所以在上是增函数 当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间（2）可化为设，由（1）知： 当时，在上是增函数若时，；所以 若时，。所以 所以，当时，式成立 当时，在是减函数，所以式不成立综上，实数的取值范围是41.解：（1）2分当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。8分（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（）可知，当时，在单调递增，则，成立，故。当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。当，在上单调递减，上单调递增，则，即，。综上所述，。 13分法二、当时，；当时，由得，对恒成立。设，则由，得或-0+递减极小递增，所以，。 13分42.解：（）当时，在上是单调增函数，符合题意1分 当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，所以，解得或，所以 3分 当时，不符合题意 综上，的取值范围是 4分 （）把方程整理为，即为方程. 5分 设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. 6分7分 令，因为，解得或（舍） 8分当时, , 是减函数；当时, ，是增函数.10分在()内有且只有两个不相等的零点, 只需13分即 解得, 所以的取值范围是() 43.解: ()时, ，由 ，可以看出在取得极小值,在取得极大值5分而由此, 在上,在处取得最小值,在处取得最小值6分()7分在上恒有考察的对称轴为(i)当,即时，应有解得:，所以时成立9分(ii)当,即时，应有即: ks5u解得12分综上：实数的取值范围是13分44.解：.1分（2）由（1）知，故.4分则，.5分若，由于，所以不存在使得6分若，此时，所以在上是增函数，只要即可，解得，即.8分45.解：（1）函数的定义域为，1分， 2分，则使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为 4分（2）方法1：， 6分令，且，由在区间内单调递减，在区间内单调递增， 8分故在区间内恰有两个相异实根 10分即解得：综上所述，的取值范围是 12分方法2：， 6分即，令， ，且，由在区间内单调递增，在区间内单调递减8分，又，故在区间内恰有两个相异实根 10分即综上所述，的取值范围是 12分46.解：（）f (x)3x22txx(3x2t)0，因为t0，所以当x或x0时，f (x)0，所以(，0)和(，)为函数f (x)的单调增区间；当0x时，f (x)0，所以(0，)为函数f (x)的单调减区间 4分（）因为k3x022tx0恒成立，所以2t3x0恒成立， 6分因为x0（0，1，所以3x02，即3x0，当且仅当x0时取等号所以2t，即t的最大值为 8分（）由（）可得，函数f (x)在x0处取得极大值0，在x处取得极小值因为平行于x轴的直线l恰好与函数yf (x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y 10分令f (x)，所以x2(xt)，解得x或x所以C（，），D（，） 12分因为A（0，0），B（t，0）易知四边形ABCD为平行四边形AD，且ADABt，所以t，解得：t 16分47.解：（）由，得，令，得或 2分列表如下：000极小值极大值由，即最大值为， 4分（）由，得，且等号不能同时取，恒成立，即 6分令，求导得，当时，从而，在上为增函数， 8分（）由条件，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， ，是否存在等价于方程在且时是否有解 10分若时，方程为，化简得，此方程无解； 12分若时，方程为，即，设，则，显然，当时，即在上为增函数，的值域为，即，当时