圆与比例乘积式.doc

圆内等积式 证明方法多解2007数学中考25题日期：2007-08-07来源：每日新报 作者：实验中学 刘红英字体：大 中 小 作为告别旧教材的此次中考数学试题，以基础题为主，多是直接取材于教材的例题、习题，或在此基础上稍加改造，或做拼合，使常规题型、常见思路、常用方法在试卷中占了主体地位，体现了注重基础的命题指导思想，解决问题的方法也是通性、通法。 2007年天津市中考数学25题：如图，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。（）AEAB=AFAC；（）如果将图中的直线BC向上平移与圆O相交得图，或向下平移得图，此时，AEAB=AFAC是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。等积式的证明是初中几何中重要的一类证明题。它的证明往往涉及许多重要的定理和概念。探讨这类题目的证明方法，对掌握、理解和应用有关定理和概念都是有极大的益处。而一道几何题能否证出，又和掌握概念、熟悉图形、运用规律、分析综合能力有关。（）方法1：解决此题可从条件出发，本着结论提供的导向去沟通。连结DE、DF AD是圆O直径AED=AFD=90又BC是圆O的切线ADBC在RtADB和RtADC中，根据射影定理得AEAB=AD2 AFAC=AD2AEAB=AFAC分析从题目中“AD是圆O的直径”这个条件入手，根据圆中添加辅助线的常用方法“遇直径作直角”，因此可以构造两个直角三角形。又已知BC是圆O的切线，根据切线的性质可得ADBC，此时便呈现出两个双垂直图形，借助射影定理便可沟通结论AEAB=AFAC。方法2： 可从结论出发，探索使结论成立的条件，直至追溯到已知的条件为止。连结EF、DFAD是圆O直径AFD=90DAF+ADF=90BC是圆O的切线ADBC ADC=90DAF+C=90ADF=C又AEF=ADFAEF=C在BAC和FAE中 BAC=FAE C=AEFBACFAE =AEAB=AFAC分析 先从结论出发，通常遇到证明等积式的问题需要将其转化为比例式，然后再通过“三点定形”寻找两个三角形相似便可使问题得以解决。而在寻找相似的过程中，需从已知要条件借助互余角、圆周角的知识实现两个角等的证明。解题中掌握证明题添加辅助线的规律，可以培养同学们的逻辑推理能力，提高同学们解题的技能技巧。作辅助线是解几何题的一个重要手段，辅助线的添加是观察、分析、综合、判断的结果，要能准确作出辅助线需要明确添加辅助线的目的和规律。方法3：借助常用结论、常见图形的规律解决问题连结EF，并过点A作圆O的切线MNBC也是圆O的切线MNBCMAB=B MN是圆O的切线MAB=AFEB=AFE在EAF和CAB中EAF=CABB=AFEEAFCAB =AEAB=AFAC 分析 可借助结论来添加辅助线：经过直径两个端点的切线平行。进而运用平行、弦切角的知识为证明相似提供了角等的保障。方法4：过O点作OMAB ONAC 垂足分别为M、N根据垂径定理 AM= AE AN=AFAD是圆O的直径，BC是圆O的切线ADBC在RtOAM和RtBAD中 OAM=BADRtOAMRtBAD=即AMAB=AOAD同理可证 RtOANRtCAD=即ANAC=AOADAMAB=ANAC2AMAB=2ANAC即AEAB=AFAC 分析由于证明的结论是AEAB=AFAC，而AE、AF都是圆O中的弦，根据圆中添加辅助线的常用方法“见弦要想弦心距”，因此可过O点作两条弦的弦心距，借助相似和垂径定理同样可使问题得以解决。方法5：利用“分解法”将一条线段分成两条线段的和（或差）。BC切圆O于点D，根据切割线定理BD2=BEAB而ABAE=AB（AB-BE）=AB2-ABBEABAE=AB2-BD2AD是圆O的直径，BC是圆O的切线ADBC在RtABD中AB2-BD2=AD2ABAE= AD2同理可证 ACAF=