备战2020年高考数学考点一遍过考点08对数与对数函数理（含解析）.docx

考点08对数与对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.一、对数与对数运算1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d0).二、对数函数及其性质1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”3对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.考向一 对数式的化简与求值对数运算的一般思路：（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.注意：（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性（2）注意利用等式.典例1 化简：（）；（）【答案】（1）5；（2）3.【解析】（）（）【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.典例2 已知函数,若,则ABCD【答案】D【解析】根据题意有，解得.故选D【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.1若点在函数的图象上，则的零点为A1BC2D2方程的解为_考向二 对数函数的图象1对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.2当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小3对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解特别地，要注意底数和的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现4一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例3若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【答案】B【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.A项，在上为减函数，错误；B项，符合；C项，在上为减函数，错误；D项，在(，0)上为减函数，错误故选B.典例4 已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A1，) B(1，)C(，1) D(，1【答案】B【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点故选B3在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是ABCD考向三 对数函数性质的应用对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：（1）比较对数式的大小：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较（2）解对数不等式：形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解典例5 已知，则，的大小关系是ABCD【答案】B【解析】，又，且对数函数在上单调递增，.故选B【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.典例6 求不等式的解集.【解析】，原不等式等价于，当1时，解得0x2当时，解得2x4不等式的解集为4已知，则的大小关系为ABCD考向四 对数函数的复合函数问题与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足的x的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数及；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.典例7 已知，则是A偶函数，且在是增函数B奇函数，且在是增函数C偶函数，且在是减函数D奇函数，且在是减函数【答案】C【解析】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减.故选C典例8 已知函数（1）判断的奇偶性并加以证明；（2）判断的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3）.【解析】（1）由，得，函数的定义域为函数的定义域关于原点对称，且，函数为偶函数（2）, 为增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.（3）即，则，得.关于m的不等式的解集为.5若函数f(x)=loga(5-ax)（a0，a1）在(1,3)上是减函数，则a的取值范围是ABCD6已知函数是对数函数.（1）若函数，讨论的单调性；（2）在（1）的条件下，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围.1的值为AB0C1D22函数的定义域为A(，2 )BCD3设函数，则A9B11C13D154已知正实数，满足，则ABCD5已知“”，：“”，则是的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6函数f(x)=lg(6x-x2)的单调递减区间为A(0,6)B(0,3C3,+)D3,6)7若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为ABCD38若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2,4)，则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为A(-2,+)B(1,+)C(-1,+)D(2,+)9若函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为A1,+)B(0,1)C-1,1D0,110已知函数，则使得f(2x)f(x+3)成立的x的取值范围是ABCD11已知，则，的大小关系是ABCD12奇函数满足，当时，则A2 BCD213若函数fx=ax-a-xa0且a1在R上为减函数，则函数y=logax-1的图象可以是ABCD14已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是ABCD15已知函数fx=lgx-1，若1a0,a1).（1）当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围22已知函数f(x)=log2(2x+k)(kR)的图象过点P(0,1)（1）求k的值并求函数f(x)的值域；（2）若关于x的方程f(x)=x+m,x0,1有实根，求实数m的取值范围.23设函数，且.（1）求实数的值及函数的定义域；（2）求函数在区间上的最小值.24已知函数的图象过点.（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；（3）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1（2019年高考全国卷理数）已知，则ABCD2（2019年高考天津理数）已知，则的大小关系为ABCD3（2019年高考全国卷理数）若ab，则Aln(ab)0 B3a0 Dab4（2019年高考北京理数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A1010.1B10.1Clg10.1 D1010.15（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a0，且a1)的图象可能是6（2019年高考全国卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（）B（log3）（）（）C（）（）（log3）D（）（）（log3）7（2018年高考天津卷理科）已知，则a，b，c的大小关系为ABCD8（2018年高考新课标卷理科）设，则ABCD9（2017年高考北京卷理科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D109310（2017年高考新课标全国卷理科）设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0，即0x0，解得：x1，故g(x)在(1,+)上单调递增.故选B9【答案】D【解析】若函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则函数yax2+2x+a能取遍所有的正数当a0时符合条件；当a0时，应有，解得06.【解析】（1）当a=10时，f(x)=lg(-x2+10x-9)=lg-(x-5)2+16，设t=-x2+10x-9=-(x-5)2+16，由-x2+10x-90，得x2-10x+90，得1x1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式=a2-360，得a6或a-6（舍），当0a0，得a6或a622【答案】（1）0，+；（2）（log23-1，1）.【解析】（1）因为函数的图象过点，所以，解得.则，因为，所以，所以函数的值域为.（2）方程有实根，即有实根，构造函数，则，因为函数在R上单调递减，而在（0，1）上单调递增，所以复合函数是R上的单调递减函数，所以在上的最小值为，最大值为，即，所以当（）时，方程有实根.23【答案】（1），；（2）1.【解析】（1），.由得，函数的定义域为.（2）.当时，是增函数；当时，是减函数，故函数在区间上的最小值是.【思路点拨】（1）根据题设，由，可求出参数的值，根据对数函数的定义，由且，解此不等式，从而求出函数的定义域；（2）由（1）可确定函数的解析式，经化简整理得，再根据函数的单调性可知该函数的最小值为.24【答案】（1），；（2）；（3）存在使得函数的最大值为0.【解析】（1）因为函数的图象过点，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，即函数的图象与函数的图象有交点，令，则函数的图象与直线有交点，又，任取，则，所以，所以，所以，所以，所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减函数也可），因为，所以，所以实数的取值范围是.（3）由题意知，令，则，当时，所以，当时，所以（舍去），综上，存在使得函数的最大值为0.【思路点拨】（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据，转化为二次函数的最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.直通高考1【答案】B【解析】即则故选B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2【答案】A【解析】因为，即，所以.故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，所以，即a3b30，C正确.故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而. 故选A. 【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及对数的运算.5【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.6【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案7【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择D选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数