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文档简介

5第二类曲面积分 对坐标的曲面积分 有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程z z x y 表示的曲面分为上侧与下侧 设n cos cos cos 为曲面上的法向量 在曲面的上侧cos 0 在曲面的下侧cos 0 闭曲面有内侧与外侧之分 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 一 对坐标的曲面积分的概念和性质 类似地 如果曲面的方程为y y z x 则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧cos 0 在曲面的左侧cos 0 如果曲面的方程为x x y z 则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧cos 0 在曲面的后侧cos 0 设 是有向曲面 在 上取一小块曲面 S 把 S投影到xOy面上得一投影区域 这投影区域的面积记为 xy 假定 S上各点处的法向量与z轴的夹角 的余弦cos 有相同的符号 即cos 都是正的或都是负的 我们规定 S在xOy面上的投影 S xy为 其中cos 0也就是 xy 0的情形 类似地可以定义 S在yOz面及在zOx面上的投影 S yz及 S zx 实例流向曲面一侧的流量 1 分割 则该点流速为 法向量为 3 取极限 2 求和 这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念 被积函数 积分曲面 类似可定义 存在条件 组合形式 物理意义 表示流向 指定的流量 注意 一个规定 如果是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在 上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和 对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分的性质 二 对坐标的曲面积分的计算 1 逐个投影法 将曲面积分化为二重积分 注意 对坐标的曲面积分 必须注意曲面所取的侧 逐个投影法思路清晰 计算量大 一般不多用 2 转换投影法 将曲面积分同应到别的坐标面 综合以上三式 有 类似地 投影转换到yoz平面时有 类似地 投影转换到zox平面时有 解法1 逐个投影法 所以 于是 故 解法2 转换投影法 解 1 z c 0 x a 0 y b 的上侧 2 z 0 0 x a 0 y b 的下侧 3 x a 0 y b 0 z c 的前侧 4 x 0 0 y b 0 z c 的后侧 5 y 0 0 x a 0 z c 的左侧 6 y b 0 x a 0 z c 的右侧 练习 解 解 1和 2在xoy面上的投影区域都是Dxy x2 y2 1 x 0 y 0 其中 是球面x2 y2 z2 1外侧在x 0 y 0的部分 解 解 1 z 0 2 x 0 3 y 0 4 x y z 1 当 取外侧时 1取下侧 2取后侧 3取左侧 4取正侧 解 如图 三 两类曲面积分之间的联系 曲面 取下侧 因为 综合起来有 其中cos cos cos 是有向曲面 上点 x y z 处的法向量的方
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