【高考前三个月复习数学理科 三角函数与平面向量】专题4 第17练

第17练三角函数的化简与求值题型分析高考展望三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.常考题型精析题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2cos21；tan .基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos 2cos2的值.点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos ”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2cos2代换“1”，变成分式后再化简.变式训练1(2015福建)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. B. C. D.题型二利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2(1)化简：；(2)求值：sin 690sin 150cos 930cos(570)tan 120tan 1 050.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练2(1)(2015四川)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_.(2)已知cosa (|a|1)，则cossin的值是_.题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例3(1)化简：(0)；(2)求值：sin 10(tan 5).(3)设f(x)sin xa2sin的最大值为3，则常数a_.点评(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.变式训练3(1)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan 的值为_.(2)的值是()A. B.C. D.高考题型精练1.(2015陕西)“sin cos ”是“cos 20”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知sin，那么cos 等于()A. B. C. D.3.若tan，且0，则等于()A. B.C. D.4.已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf(lg )，则()A.ab0 B.ab0C.ab1 D.ab15.若0，0，cos，cos，则cos等于()A. B. C. D.6.(2014课标全国)设(0，)，(0，)，且tan ，则()A.3 B.2C.3 D.27.(2015江苏)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.8.计算：_.9.(2015咸阳模拟)已知，且2sin2sin cos 3cos20，则_.10.(2015广东)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值.11.已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.12.(2014江苏)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值.答案精析专题4 三角函数与平面向量第17练三角函数的化简与求值常考题型精析例1解(1)方法一tan 2，cos 0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.变式训练1 D解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D.例2解(1)方法一原式1.方法二原式1.(2)原式sin(72030)sin(18030)cos(1 080150)cos(720150)tan(18060)tan(1 08030)sin 30sin 30cos 150cos 150tan 60tan 301.变式训练2答案(1)1(2)0解析(1)sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2，又2sin cos cos2，原式1.(2)coscoscosa.sinsincosa，cossin0.例3解(1)由(0，)，得00.因此 2cos .又(1sin cos )(sin cos )(2sin cos 2cos2)(sin cos )2cos (sin2cos2)2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10()sin 10sin 102cos 10.(3)解析f(x)sin xa2sincos xsin xa2sinsina2sin(a2)sin.依题意有a23，a.变式训练3(1)(2)C解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .(2)原式.高考题型精练1.A sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin sin cos ，故选A.2.C sincos .3.A 由tan，得tan .又0，所以sin .故2sin .4.C af(lg 5)sin2(lg 5)，bf(lg )sin2(lg )，则可得ab1.5.C cos，0，sin.又cos，0，sin，coscoscoscossinsin.6.B 方法一由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin().(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.方法二tan tan()，k()，kZ，22k，kZ.当k0时，满足2，故选B.7.3 tan 2，tan()，解得tan 3.8.4解析原式4.9.解析，且2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.10.解(1)tan3.(2)1.11.解(1)fcos2sin cos 2.(2)因为f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)s