第九章 薄板弯曲问题

第九章薄板弯曲问题 9 1有关概念及计算假定 9 2弹性曲面的微分方程 9 3薄板横截面上的内力 9 4边界条件 9 5四边简支矩形薄板的重三角形积数解 9 6矩形薄板的但三角形级数解 9 7矩形薄板的差分解 9 8圆形薄板的弯曲 9 9圆形薄板的轴对称弯曲 9 1有关概念及计算假定 板所承受的荷载 作用于中面的面内载荷 弹性力学平面问题垂直于中面的横向荷载 板将产生弯曲 板的中面将变形成为一个曲面 垂直于中面的位移称为挠度w 小挠度弯曲问题 薄板的小挠度弯曲理论 采用了弹性力学的5个基本假设外 还补充了3个计算假设 1 垂直于中面方向的线应变 即 可以不计 取 由几何方程的第三式得 结论 中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移 也就等于挠度 2 应力分量 远小于其余的3个应力分量 所引起的形变可以忽略不计 从而有 可见 中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩 并且成为弹性曲面的法线 薄板的物理方程 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移 即 由几何方程知 可知 中间的任意一部分 虽然弯曲成为弹性曲面的一部分 但它在xy面上的投影形状却保持不变 9 2弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解 取挠度作为基本未知函数 1 将纵向位移用挠度表示 纵向位移表示为 2 将主要应变分量 用 表示 a 3 将主要应力分量 用 9 4 4 将次要应力分量 用 其中 9 5 5 将更次要应力分量 用 表示 6 导出微分方程 根据薄板的上板面的边界条件 将 的表达式代入上式 得到薄板的弹性曲面微分方程 或 其中 称为薄板的弯曲刚度 9 3薄板横截面上的内力 薄板内力 指薄板横截面的每单位宽度上 由应力合成的主矢量和主矩 注意 由于在板的侧面 很难使应力分量精确地满足应力边界条件 但板的侧面是板的次要边界 可应用圣维南原理 用内力的边界条件来代替应力的边界条件 从薄板内取出一个平行六面体 它的三边长度分别为和板的厚度 图 9 2 在x为常量的横截面上 作用着 在该截面的每单位宽度上 应力分量 对中面合成为弯矩 将式 9 4 中的第一式代入并对z进行积分 得 a 同理 b c 同样 在y为常数的横截面上 d e f 将式 9 9 代入式 a 至 f 薄板的内力可简写成 9 10 薄板内力正负方向的规定 是从应力的正负的方向的规定来得出的 正的应力合成的主矢量为正 正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正 反之为负 所有内力的正方向 如图 9 3 所示 图 9 3 9 11 各应力分量与内力的关系 由内力表示的平衡微分方程 侧边边界条件由圣维南原理满足将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力 9 4扭矩的等效剪力边界条件 可用2个大小相等为Myx 方向相反 相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 方向相反 相距dx的垂直力代替 此外 还有两端未抵消的集中剪力RA Myx A RB Myx B 最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB Myx B Mxy B 2 Myx B 及两端的集中力RB Mxy B RC Mxy C 1 自由边弯矩和合成剪力为零 因此 在x a上 Mx 0 Vx 0 在y b上 My 0 Vy 0 2 简支边在y 0的简支边界上 挠度和弯矩应为零 即 w y 0 0 My y 0 由于 w y 0 0表示沿x轴 w无变化 必然有 所以 简支边的边界条件可写成 w y 0 0 3 固定边在x 0的固定边上 挠度和转角为零 故边界条件可写成 w x 0 0 4 角点条件板边的分布扭矩代换为分布剪力后 在角点将出现一个集中力 这个集中力就是支座对板角点的集中反力 在求得挠度后 这个集中力可由式求得对于无支座支撑的角点 例如图中的两自由边界的交点B 则要求RB 2 Myx x a y b 0 即 例题 假定矩形扳支承与承受荷载如图7 10 试写出挠度表示的各边边界条件 解 1 固定边OA的边界条件是 2 简支边OC的边界条件是 w y 0 0 My y 0 3 自由边BC Mx x a 0 Vx x a 0 4 两自由边的交点B w x a y b 0 2Mxy x a y b RB是B点支座的被动反力 自由边AB My y b 0 Vy y b q 9 5 受均匀分布荷载四边简支板的Navier解解 设挠度为三角级数形式 它能满足所有的边界条件 即 w x a 0 w y 0 0 w y