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文档简介

命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数关键词：初等函数，定义区间，连续函数相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限一6个基本初等函数：常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数形式： f（x）C（C为常数） f（x） f（x）（） f（x）x（） f（x）sinx f（x）cosx f（x）tanx f（x）arcsinx f（x）arccosx f（x）arctanx二函数连续的定义： 设函数在的某个邻域U（）上有定义，若，则称函数在处连续 注：定义中涉及“”即为函数之极限三函数极限的定义： 由此也可用定义在处的连续性：四初等函数的定义： 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数要证明原命题，先解决以下几个问题： （）复合函数的连续性 定义：若函数在点处连续，函数g（u）在点连续，则复合函数g（f（x）在点连续 证明： g（u）在点连续 而在点处连续， 取 即 故： 综上： 即：g（f（x）在处连续 证毕！ （）反函数的连续性定义：若函数在上严格单调且连续，则其反函数在其定义域或上连续且单调性与原函数相同证明：不妨设在上严格单增且连续，下证x在上单增且连续 （1） 不妨设 若 则 矛盾！ 故 即，x单增 （2）任取 证明x在处连续 令 令 取 则： 有 故 在处连续类似可证x在左右端点分别左，右连续 证毕！ （）证明几个基本初等函数的连续性 证明： 故在处连续 1） 证明： 取 2） 证明：即证：亦即：而 （等式解释：第一个等号用到复合函数的连续性第二个等号用到1）的结论） 证明： 证明： 证明：时， 故 即 在处连续 证明：时， 故 即 在处连续 根据 极限的四则运算原则并结合（）
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