第八章-正弦交流电路

第八章 正弦交流电路 第八章正弦交流电路 教学重点1 掌握电阻 电感 电容元件的交流特性 2 掌握RLC串联电路与并联电路的分析计算方法 理解阻抗与阻抗角的物理意义 3 了解RLC串联谐振电路与并联谐振电路的特性 4 理解交流电路中有功功率 无功功率 视在功率以及功率因数的概念 教学难点1 熟练掌握分析 计算交流电路电压 电流 阻抗 阻抗角 功率等方法 2 理解谐振电路选频特性的原理 第八章正弦交流电路 第一节纯电阻电路 第二节纯电感电路 第三节纯电容电路 第四节电阻 电感 电容的串联电路 第五节串联谐振电路 第六节电阻 电感 电容的并联电路 第七节电感线圈和电容器的并联谐振电路 第八节交流电路的功率 本章小结 第一节纯电阻电路 一 电压 电流的瞬时值关系 二 电压 电流的有效值关系 三 相位关系 只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路 如含有白炽灯 电炉 电烙铁等的电路 一 电压 电流的瞬时值关系 电阻与电压 电流的瞬时值之间的关系服从欧姆定律 设加在电阻R上的正弦交流电压瞬时值为u Umsin t 则通过该电阻的电流瞬时值为 其中 是正弦交流电流的最大值 这说明 正弦交流电压和电流的最大值之间满足欧姆定律 二 电压 电流的有效值关系 电压 电流的有效值关系又叫做大小关系 由于纯电阻电路中正弦交流电压和电流的最大值之间满足欧姆定律 因此把等式两边同时除以 即得到有效值关系 即 这说明 正弦交流电压和电流的有效值之间也满足欧姆定律 三 相位关系 电阻的两端电压u与通过它的电流i同相 其波形图和相量图如图8 1所示 图8 1电阻电压u与电流i的波形图和相量图 例8 1 在纯电阻电路中 已知电阻R 44 交流电压u 311sin 314t 30 V 求通过该电阻的电流大小 并写出电流的解析式 解 解析式sin 314t 30 A 大小 有效值 为 第二节纯电感电路 一 电感对交流电的阻碍作用 二 电感电流与电压的关系 1 感抗的概念 反映电感对交流电流阻碍作用程度的参数叫做感抗 一 电感对交流电的阻碍作用 2 感抗的因素 纯电感电路中通过正弦交流电流的时候 所呈现的感抗为XL L 2 fL 式中 自感系数L的国际单位制是亨利 H 常用的单位还有毫亨 mH 微亨 H 纳亨 nH 等 它们与H的换算关系为1mH 10 3H 1 H 10 6H 1nH 10 9H 如果线圈中不含有导磁介质 则叫作空心电感或线性电感 线性电感L在电路中是一常数 与外加电压或通电电流无关 如果线圈中含有导磁介质时 则电感L将不是常数 而是与外加电压或通电电流有关的量 这样的电感叫做非线性电感 例如铁心电感 3 线圈在电路中的作用用于 通直流 阻交流 的电感线圈叫做低频扼流圈 用于 通低频 阻高频 的电感线圈叫做高频扼流圈 显然 感抗与电阻的单位相同 都是欧姆 1 电感电流与电压的大小关系 电感电流与电压的大小关系 二 电感电流与电压的关系 2 电感电流与电压的相位关系 电感电压比电流超前90 或 2 即电感电流比电压滞后90 如图8 2所示 图8 2电感电压与电流的波形图与相量图 解 1 电路中的感抗为XL L 314 0 08 25 2 3 电感电流iL比电压uL滞后90 则 例8 2 已知一电感L 80mH 外加电压uL 50sin 314t 65 V 试求 1 感抗XL 2 电感中的电流IL 3 电流瞬时值iL 第三节纯电容电路 一 电容对交流电的阻碍作用 二 电流与电压的关系 一 电容对交流电的阻碍作用 1 容抗的概念 反映电容对交流电流阻碍作用程度的参数叫做容抗 容抗按下式计算 容抗和电阻 电感的单位一样 也是欧姆 2 电容在电路中的作用 在电路中 用于 通交流 隔直流 的电容叫做隔直电容器 用于 通高频 阻低频 将高频电流成分滤除的电容叫做高频旁路电容器 1 电容电流与电压的大小关系 电容电流与电压的大小关系为 二 电流与电压的关系 2 电容电流与电压的相位关系 电容电流比电压超前90 或 2 即电容电压比电流滞后90 如图8 3所示 图8 3电容电压与电流的波形图与相量图 解 1 2 3 电容电流比电压超前90 则 例8 3 已知一电容C 127 F 外加正弦交流电压 试求 1 容抗XC 2 电流大小IC 3 电流瞬时值 第四节电阻 电感 电容的串联电路 一 RLC串联电路的电压关系 二 RLC串联电路的阻抗 三 RLC串联电路的性质 四 RL串联与RC串联电路 一 RLC串联电路的电压关系 由电阻 电感 电容相串联构成的电路叫做RLC串联电路 图8 4RLC串联电路 设电路中电流为i Imsin t 则根据R L C的基本特性可得各元件的两端电压 uR RImsin t uL XLImsin t 90 uC XCImsin t 90 根据基尔霍夫电压定律 KVL 在任一时刻总电压u的瞬时值为u uR uL uC 作出相量图 如图8 5所示 并得到各电压之间的大小关系为 上式又称为电压三角形关系式 图8 5RLC串联电路的相量图 由于UR RI UL XLI UC XCI 可得 令 上式称为阻抗三角形关系式 Z 叫做RLC串联电路的阻抗 其中X XL XC叫做电抗 阻抗和电抗的单位均是欧姆 二 RLC串联电路的阻抗 阻抗三角形的关系如图8 6所示 由相量图可以看出总电压与电流的相位差为 上式中 叫做阻抗角 图8 6RLC串联电路的阻抗三角形 根据总电压与电流的相位差 即阻抗角 为正 为负 为零三种情况 将电路分为三种性质 1 感性电路 当X 0时 即XL XC 0 电压u比电流i超前 称电路呈感性 2 容性电路 当X 0时 即XL XC 0 电压u比电流i滞后 称电路呈容性 3 谐振电路 当X 0时 即XL XC 0 电压u与电流i同相 称电路呈电阻性 电路处于这种状态时 叫做谐振状态 见本章第五节 三 RLC串联电路的性质 例8 4 在RLC串联电路中 交流电源电压U 220V 频率f 50Hz R 30 L 445mH C 32 F 试求 1 电路中的电流大小I 2 总电压与电流的相位差 3 各元件上的电压UR UL UC 解 1 XL 2 fL 140 XC 100 则 2 即总电压比电流超前53 1 电路呈感性 3 UR RI 132V UL XLI 616V UC XCI 440V 本例题中电感电压 电容电压都比电源电压大 在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大 这是交流电路与直流电路特性不同之处 四 RL串联与RC串联电路 1 RL串联电路 只要将RLC串联电路中的电容C短路去掉 即令XC 0 UC 0 则有关RLC串联电路的公式完全适用于RL串联电路 例8 5 在RL串联电路中 已知电阻R 40 电感L 95 5mH 外加频率为f 50Hz U 200V的交流电压源 试求 1 电路中的电流I 2 各元件电压UR UL 3 总电压与电流的相位差 解 1 XL 2 fL 30 则 2 UR RI 160V UL XLI 120V 显然 3 即总电压u比电流i超前36 9 电路呈感性 2 RC串联电路 只要将RLC串联电路中的电感L短路去掉 即令XL 0 UL 0 则有关RLC串联电路的公式完全适用于RC串联电路 例8 6 在RC串联电路中 已知电阻R 60 电容C 20 F 外加电压为u 141 2sin628tV 试求 1 电路中的电流I 2 各元件电压UR UC 3 总电压与电流的相位差 解 1 由 则电流为 2 UR RI 60V UC XCI 80V 显然 3 即总电压比电流滞后53 1 电路呈容性 第五节串联谐振电路 一 谐振频率与特性阻抗 二 串联谐振电路的特点 三 串联谐振的应用 工作在谐振状态下的电路称为谐振电路 谐振电路在电子技术与工程技术中有着广泛的应用 谐振电路最为明显的特征是整个电路呈电阻性 即电路的等效阻抗为Z0 R 总电压与总电流同相 一 谐振频率与特性阻抗 RLC串联电路呈谐振状态时 感抗与容抗相等 即XL XC 设谐振角频率为 0 则于是谐振角频率为 由于 0 2 f0 所以谐振频率为 由此可见 谐振频率f0只由电路中的电感L与电容C决定 是电路中的固有参数 所以通常将谐振频率f0叫做固有频率 电路发生谐振时的感抗或容抗叫做特性阻抗 用符号 表示 单位为欧姆 1 电路呈电阻性当外加电源uS的频率f f0时 电路发生谐振 由于XL XC 则此时电路的阻抗达到最小值 称为谐振阻抗Z0或谐振电阻R 即Z0 Z max R 2 电流呈现最大谐振时电路中的电流则达到了最大值 叫做谐振电流I0 即 二 串联谐振电路的特点 3 电感L与电容C上的电压串联谐振时 电感L与电容C上的电压大小相等 即UL UC XLI0 XCI0 QUS式中Q叫做串联谐振电路的品质因数 即 RLC串联电路发生谐振时 电感L与电容C上的电压大小都是外加电源电压US的Q倍 所以串联谐振电路又叫做电压谐振 一般情况下串联谐振电路都符合Q 1的条件 串联谐振电路常用来对交流信号进行选择 例如接收机中选择电台信号 即调谐 三 串联谐振的应用 如果以角频率C或f做为自变量 把回路电流做它的函数 电流大小I随频率f变化的曲线 叫做谐振特性曲线 如图8 7所示 图8 7RLC串联电路的谐振特性曲线 当外加电源uS的频率f f0时 电路处于谐振状态 当f f0时 称为电路处于失谐状态 若ff0 则XL XC 电路呈感性 在实际应用中 规定把电流I范围在 0 7071I0 I I0 所对应的频率范围 f1 f2 叫做串联谐振电路的通频带 又叫做频带宽度 用符号B或 f表示 其单位也是频率的单位 理论分析表明 串联谐振电路的通频带为 频率f在通频带以内 即f1 f f2 的信号 可以在串联谐振电路中产生较大的电流 而频率f在通频带以外 即f f1或f f2 的信号 仅在串联谐振电路中产生很小的电流 因此谐振电路具有选频特性 Q值越大说明电路的选择性越好 但频带较窄 反之 若频带越宽 则要求Q值越小 而选择性越差 即选择性与频带宽度是相互矛盾的两个物理量 例8 7 设在RLC串联电路中 L 30 H C 211pF R 9 4 外加电源电压为u sin 2 ft mV 试求 1 该电路的固有谐振频率f0与通频带B 2 当电源频率f f0时 即电路处于谐振状态 电路中的谐振电流I0 电感L与电容C元件上的电压UL0 UC0 3 如果电源频率与谐振频率偏差 f f f0 10 f0 电路中的电流I为多少 解 1 2 I0 U R 1 9 4mA 0 106mA UL0 UC0 QU 40mV 3 当f f0 f 2 2MHz时 13 816 106rad s 仅为谐振电流I0的13 2 第六节电阻 电感 电容的并联电路 一 RLC并联电路的电流关系 二 RLC并联电路的导纳与阻抗 三 RLC并联电路的性质 四 RL并联与RC并联电路 一 RLC并联电路的电流关系 图8 8RLC并联电路由电阻 电感 电容相并联构成的电路叫做RLC并联电路 图8 8RLC并联电路 设电路中电压为u Umsin t 则根据R L C的基本特性可得各元件中的电流 根据基尔霍夫电流定律 KCL 在任一时刻总电流i的瞬时值为 i iR iL iC 图8 9RLC并联电路的相量图 作出相量图 如图8 9所示 并得到各电流之间的大小关系 从相量图中不难得到 上式称为电流三角形关系式 二 RLC并联电路的导纳与阻抗 在RLC并联电路中 有 于是 其中叫做感纳 叫做容纳 单位均为西门子 S 则 令 导纳三角形的关系如图8 10所示 图8 10RLC并联电路的导纳三角形 电路的等效阻抗为 由相量图可以看出总电流I与电压u的相位差为 式中 叫做导纳角 由于阻抗角 是电压与电流的相位差 因此有 三 RLC并联电路的性质 同样是根据电压与电流的相位差 即阻抗角 为正 为负 为零三种情况 将电路分为三种性质 1 感性电路 当BXL 0 电压u比电流i超前 称电路呈感性 2 容性电路 当B 0时 即BC BL 或XC XL 0 电压u比电流i滞后 称电路呈容性 3 谐振电路 当B 0时 即BL BC 或XC XL 0 电压u与电流i同相 称电路呈电阻性 值得注意 在RLC串联电路中 当感抗大于容抗时电路呈感性 而在RLC并联电路中 当感抗大于容抗时电路却呈容性 当感抗与容抗相等时 XC XL 两种电路都处于谐振状态 例8 8 在RLC并联电路中 已知 电源电压U 120V 频率f 50Hz R 50 L 0 19H C 80 F 试求 1 各支路电流IR IL IC 2 总电流I 并说明该电路成何性质 3 等效阻抗 Z 解 1 2 f 314rad s XL L 60 XC 1 C 40 IR U R 120 50A 2 4A IL U XL 2A IC U XC 3A 2 因XL XC 则电路呈容性 3 Z U IR 120 2 6 46 四 RL并联与RC并联电路 在讨论RLC并联电路的基础上 容易分析RL并联和RC并联电路的电流情况 只需将RLC并联电路中的电容开路去掉 IC 0 即可获得RL并联电路 若将RLC并联电路中的电感开路去掉 IL 0 即可获得RC并联电路 有关RLC并联电路的公式对这两种电路也完全适用 例8 9 已知在RL并联电路中 R 50 L 0 318H 工频电源f 50Hz 电压U 220V 试求 1 求各支路电流IR IL 总电流I 2 等效阻抗大小 Z 3 电路呈何性质 解 1 由IR U R 220 50A 4 4A XL 2 fL 100 IL U XL 2 2A可得 2 Z U I 220 4 92 44 7 3 在RL并联电路中 BC 0 BL 0 则B BC BL 0电路呈感性 例8 10 已知在RC并联电路中 电阻R 40 电容C 21 23 F 工频电源f 50Hz 电压U 220V 试求 1 各支路电流IR IC 总电流I 2 等效阻抗大小 Z 3 电路呈何性质 解 1 由IR U R 220 40A 5 5A XC 1 2 fC 150 IC U XC 1 47A 得 2 Z U I 220 5 69 38 7 3 在RC并联电路中 BC 0 BL 0 则B BC BL 0电路呈容性 第七节电感线圈和电容器的并联谐振电路 一 电感线圈和电容的并联电路 二 并联谐振电路的特点 一 电感线圈和电容的并联电路 实际电感与电容并联 可以构成LC并联谐振电路 通常称为LC并联谐振回路 由于实际电感可以看成一只电阻R 叫做线圈导线铜损电阻 与一理想电感L相串联 所以LC并联谐振回路为RL串联再与电容C并联 如图8 11所示 图8 11电感线圈和电容的并联电路 电容C支路的电流为 电感线圈RL支路的电流为 其中I1R是I1中与路端电压同相的分量 I1L是I1中与路端电压正交 垂直 的分量 如图8 12所示 图8 12电感线圈和电容并联电路的相量图 由相量图可求得电路中的总电流为 路端电压与总电流的相位差 即阻抗角 为 由此可知 如果当电源频率为某一数值f0 使得I1L IC 则阻抗角 0 路端电压与总电流同相 即电路处于谐振状态 动画M8 9并联谐振电路 1 谐振频率 对LC并联谐振是建立在条件下的 即电路的感抗XL R Q0叫做谐振回路的空载Q值 实际电路一般都满足该条件 2 谐振阻抗 谐振时电路阻抗达到最大值 且呈电阻性 谐振阻抗为 理论上可以证明LC并联谐振角频率 0与频率f0分别为 二 并联谐振电路的特点 3 谐振电流 电路处于谐振状态 总电流为最小值 谐振时XL0 XC0 则电感L支路电流IL0与电容C支路电流IC0为 即谐振时各支路电流为总电流的Q0倍 所以LC并联谐振又叫做电流谐振 当f f0时 称为电路处于失谐状态 对于LC并联电路来说 若ff0 则XL XC 电路呈容性 4 通频带 理论分析表明 并联谐振电路的通频带为 频率f在通频带以内 即f1 f f2 的信号 可以在并联谐振回路两端产生较大的电压 而频率f在通频带以外 即ff2 的信号 在并联谐振回路两端产生很小的电压 因此并联谐振回路也具有选频特性 例8 11 如图8 11所示电感线圈与电容器构成的LC并联谐振电路 已知R 10 L 80 H C 320pF 试求 1 该电路的固有谐振频率f0 通频带B与谐振阻抗 Z0 2 若已知谐振状态下总电流I 100 A 则电感L支路与电容C支路中的电流IL0 IC0为多少 解 1 2 IL0 IC0 Q0I 5mA 第八节交流电路的功率 一 正弦交流电路功率的基本概念 二 电阻 电感 电容电路的功率 三 功率因数的提高 一 正弦交流电路功率的基本概念 1 瞬时功率p 设正弦交流电路的总电压u与总电流i的相位差 即阻抗角 为 则电压与电流的瞬时值表达式为 u Umsin t i Imsin t 瞬时功率为 p ui UmImsin t sin t 利用三角函数关系式sin t sin t cos cos t sin 可得 式中为电压有效值 为电流有效值 2 有功功率P与功率因数 瞬时功率在一个周期内的平均值叫做平均功率 它反映了交流电路中实际消耗的功率 所以又叫做有功功率 用P表示 单位是瓦特 W 在瞬时功率P UIcos 1 cos 2 t UIsin sin 2 t 中 第一项与电压 电流相位差 的余弦值cos 有关 在一个周期内的平均值为UIcos 第二项与电压电流相位差 的正弦值sin 有关 在一个周期内的平均值为零 则瞬时功率在一个周期内的平均值 即有功功率 为P UIcos UI 其中 cos 叫做正弦交流电路的功率因数 3 视在功率S 定义 在交流电路中 电源电压有效值与总电流有效值的乘积 UI 叫做视在功率 用S表示 即S UI 单位是伏安 V A S代表了交流电源可以向电路提供的最大功率 又称为电源的功率容量 于是交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值 即 所以电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量的百分比 4 无功功率Q 在瞬时功率p UIcos 1 cos 2 t UIsin sin 2 t 中 第二项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率 UIsin 是这种能量交换的最大功率 并不代表电路实际消耗的功率 定义 Q UIsin 把它叫做交流电路的无功功率 用Q表示 单位是乏尔 简称乏 var 图8 13功率三角形 当 0时 Q 0 电路呈感性 当 0时 Q 0 电路呈容性 当 0时 Q 0 电路呈电阻性 显然 有功功率P 无功功率Q和视在功率S三者之间成三角形关系 即 这一关系称为功率三角形 如图8 13所示 二 电阻 电感 电容电路的功率 1 纯电阻电路的功率 在纯电阻电路中 由于电压与电流同相 即相位差 0 则瞬时功率pR UIcos 1 cos 2 t UIsin sin 2 t UIcos 1 cos 2 t 有功功率PR UIcos UI I2R 无功功率QR UIsin 0 视在功率 即纯电阻电路消耗功率 能量 2 纯电感电路的功率 在纯电感电路中 由于电压比电流超前90 即电压与电流的相位差 90 则瞬时功率 pL UIcos 1 cos 2 t UIsin sin 2 t UIsin 2 t 有功功率PL UIcos 0 无功功率QL UI I2XL 视在功率 即纯电感电路不消耗功率 能量 电感与电源之间进行着可逆的能量转换 3 纯电容电路的功率 在纯电容电路中 由于电压比电流滞后90 即电压与电流的相位差 90 则瞬时功率 pC UIcos 1 cos 2 t UIsin sin 2 t UIsin 2 t 有功功率PC UIcos 0 无功功率QC UI I2XC 视在功率 即纯电容电路也不消耗功率 能量 电容与电源之间进行着可逆的能量转换 三 功率因数的提高 1 提高功率因数的意义 在交流电力系统中 负载多为感性负载 例如常用的感应电动机 接上电源时要建立磁场 所以它除了需要从电源取得有功功率外 还要由电源取得磁场的能量 并与电源作周期性的能量交换 在交流电路中 负载从电源接受的有功功率P UIcos 显然与功率因数有关 功率因数低会引起下列不良后果 1 负载的功率因数低 使电源设备的容量不能充分利用 因为电源设备 发电机 变压器等 是依照它的额定电压与额定电流设计的 例如一台容量为S 100kV A的变压器 若负载的功率因数 时 则此变压器就能输出100kW的有功功率 若 0 6时 则此变压器只能输出60kW了 也就是说变压器的容量未能充分利用 2 在一定的电压U下 向负载输送一定的有功功率P时 负载的功率因数越低 输电线路的电压降和功率损失越大 这是因为输电线路电流I P Ucos 当 cos 较小时 I必然较大 从而输电线路上的电压降也要增加 因电源电压一定 所以负载的端电压将减少 这要影响负载的正常工作 从另一方面看 电流I增加 输电线路中的功率损耗也要增加 因此 提高负载的功率因数对合理科学地使用电能以及国民经济都有着重要的意义 常用的感应电动机在空载时的功率因数约为0 2 0 3 而在额定负载时约为0 83 0 85 不装电容器的日光灯 功率因数为0 45 0 6 应设法提高这类感性负载的功率因数 以降低输电线路电压降