不等式关系与不等式.doc

3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣.教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题; 2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差变形判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过km/h,写成不等式就是:引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于,写成不等式组就是用不等式组来表示问题1: 设点与平面的距离为,为平面上的任意一点,则.问题2: 某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出万本.据市场调查,若单价每提高元,销售量就可能相应减少本.若把提价后杂志的定价设为 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于万元呢？解: 设杂志社的定价为元,则销售的总收入为万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于万元”可以表示为不等式问题3: 某钢铁厂要把长度为mm的钢管截成mm和mm两种.按照生产的要求,mm的数量不能超过mm钢管的倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解: 假设截得mm的钢管根,截得mm的钢管根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过mm;(2)截得mm钢管的数量不能超过mm钢管数量的倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数,在三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集.3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：如果,那么,如果,那么.(对称性)即证明: 由正数的相反数是负数,得即(定理的后半部分略)点评：定理1即 定理2：如果且,那么.(传递性)即证明：根据两个正数的和仍是正数得即点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为;(2)不等式的传递性可以推广到个的情形.定理3：如果,那么.即(加法性质)证明：即点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果,那么,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从边移到另一边.推论：如果且,那么(相加法则) 即证法一：证法二：点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果且,那么;如果且,那么.(乘法性质)证明：当时,即当时,即推论1: 如果且,那么.(相乘法则)证明： 又 由、可得.说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出 的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意的条件,如果,那么(且).定理5: 若,则(且).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即和,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定不大于,这有两种情况或者由推论2和定理1,当时,有;当时,显然有这些都同已知条件矛盾所以.点评：反证法证题思路是:反设结论找出矛盾肯定结论.定理6：若且,则(倒数性质) 证明：5.不等式的基本性质小结(1);(定理1,对称性)(2)(定理2,传递性)(3)(定理3,加法单调性)(4)(定理3推论,同向不等式相加)(5)(异向不等式相减)(6);(定理4,乘法单调性)(7)(定理4推论1,同向不等式相乘)(8)(异向不等式相除)(9)(倒数关系)(10)(定理4推论2,平方法则)(11)(开方法则)(*)(*),则三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数反映了某公司产品的销售收入万元与销售量吨的函数关系,反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问: (1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本); (2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为元,元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过元,根据需要,软件至少买片,磁盘至少买盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件?解: 略例3 某厂使用两种零件,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多件,月产量乙最多件,而组装一件产品,甲需要个,个;乙需要个,个.某个月,该厂能用的最多有个,最多有个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为mm的圆钢上,截出长为mm和mm两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知,比较与的大小.解: 略引伸: 在例中,如果没有这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差变形判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知,试比较与的大小.解: 略例3 已知,求证:证明: 略例4 已知且,比较与的大小.解: 略思考题:1.设且,比较与的大小.2.比较与的大小.3.已知均为正数,设,试比较和的大小.例5 若,求的范围.解: 略类型题: 已知,如果.求证:.分析: 利用与设法表示然后再代入的表达式中,从而用 与来表示, 最后运用已知条件确定的取值范围.证明: 略思考题:1.若,求不等式同时成立的条件.2.,比较与的大小.3.若,求证:.4.设函数的图象为一条开口向上的抛物线.已知均为不等正数,且,求证:四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号:(1) ; (2) ;(3) ; (4)当时, .2.选择题:(1)若,则有( )A. B. C. D. (2)成立当且仅当( )A或 BC或或 D3.比较大小：(1)与 (2)与4.如果,比较与的大小.5.已知,比较与的大小.6.已知,比较与的大小.7.比较与的大小().8.设且,比较与的大小.9.设且,比较与的大小.10.如果,求证:3.2 一元二次不等式及其解法教学目的：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质.教学重点：1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;2.熟练掌握一元二次不等式的解法; 3.利用分类讨论的思想解简单的含参一元二次不等式.教学难点：1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系;2.分类讨论的数学思想.教学过程：一、引入新课：让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家ISP公司可供选择,收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念,并逐步讨论其解法.二、讲解新课：1.一元二次不等式的解法 (1)一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式或的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程的根,再根据函数图像与轴的相应位置确定一元二次不等式的解集.利用“二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先要明确“二次函数”的开口方向及其在轴上的截距.下表给出“三个二次”之间的关系,这是解一元二次不等式的核心:判别式二次函数()的图像一元二次方程()的根有两相异实数根有两个相等实数根没有实数根()的解集()的解集口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间.(3)解一元二次不等式的一般步骤 利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中): 或或或计算判别式的值当时,解方程得两不等的实根,不妨设,则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为当时,解方程得两相等的实根, 则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为当时,解方程没有实根,则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为2.简单的分式不等式解法 (1) (2)3.简单的绝对值不等式解法 (1) (2)4.含参不等式解法分类讨论在处理系数含有参数的二次不等式问题时,务必注意对参数进行讨论.(1)二次项系数含参时,一般要分三种情况讨论:(2)对判别式也分三种情况讨论:(3)对不等式对应方程的根也分三种情况讨论:三、讲解范例：例1 解下列不等式 解：二次方程,方程无解.又函数的图像开口向上,与x轴无交点,故不等式的解集为.法1:注意到二次项系数小于,函数图像开口向下又方程的解为由图像可得,不等式的解集为法2:第一步“系数化正”（同解变换）,不等式可化为第二步“求出零点”,方程的解为第三步“大于取两边,小于取中间”（分类讨论）,不等式的解集为评注:利用“二次函数”图像,结合上表固然可以灵活的解决各种一元二次不等式问题,但第小题法2所用的“口诀”方法在解决一元二次不等式、一元高次不等式及一元分式不等式中都有着非常广泛的应用,其中所包含的同解变换思想、分类讨论思想值得同学们认真体会;另外,它的算法“步骤”更适合初学者掌握.练习1:解下列不等式：答案: 例2 解下列不等式： 解：通分、移项(同解变换),不等式可化为,它的同解不等式为解得不等式解集为分类讨论：1,原不等式可化为,解得或,故2,原不等式可化为,解得,故综上,不等式得解集为评注:解简单的分式不等式及高次不等式其实跟解二次不等式的道理是相通的,无外乎将其尽量化成一次式的乘积,然后通过讨论求解.其等价性类似此例：第2小题还有一种解法比较普遍,即先通分,将不等式一边化为,然后“系数化正”、“求出零点”、“穿线求值”,此法谓“穿根法”.练习2:解下列不等式： 答案: 例3 已知不等式的解集为,试求实数的值;若不等式的解集为,求实数的取值范围.解: 由题意知是方程的二实根,由韦达定理得分两种情况:1,原不等式可化为,显然成立2,则,得练习3:(1)已知关于的不等式的解集是,求不等式的解集; (2)已知关于的不等式的解集为, 求实数的取值范围.答案: (1) (2)例4 解关于的不等式().解: 方程的两个根为且当或时,原不等式的解集为当或时,原不等式的解集为当时,原不等式的解集为例5 解关于的不等式解: 当时,不等式解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为例6 解关于的不等式解: 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为练习4:(1)解关于的不等式 (2)解关于的不等式答案: (1)当时,有当时,即,得当时,即当时,得当时,得当时,得 (2)当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为例7 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离m和汽车的速度km/h有如下的关系:在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少？(精确到km/h)解: 设这辆汽车刹车前的速度至少为 km/h根据题意,我们得到移项整理得：显然,方程有两个实数根即所以不等式的解集为在这个实际问题中,所以这辆汽车刹车前的车速至少为km/h.例8 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量(辆)与创造的价值(元)之间有如下的关系若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解: 设在一个星期内大约应该生产辆摩托车,根据题意,我们得到移项整理得因为,所以方程有两个实数根由二次函数的图象,得不等式的解为因为只能取正整数所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在辆之间时,这家工厂能够获得元以上的收益.3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学目标：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;3.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;4.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;5.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想,理解如何用“形”去研究“数”,如何用“数去解释“形”.教学重点：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.用图解法解决简单的线性规划问题;3.根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解即线性规划在实际生活中的应用.教学难点：1.二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式(或)表示得哪一区域;2.准确求得线性规划问题的最优解及最优解是整数解;3.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.教学过程：一、讲授新课 1.二元一次不等式表示平面区域:先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式0的解为坐标的点的集合所在的平面区域.由得,令,则点在直线,即上,点在点的上方,即在直线的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线右上方的平面区域.一般地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.说明:二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上, 作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法1:记住下列一般性结论:(1)若,则表示直线上方的平面区域. 表示直线下方的平面区域.(2)若,则表示直线下方的平面区域. 表示直线上方的平面区域.(3)若,则表示直线右侧的平面区域. 表示直线左侧的平面区域.若,则表示直线左侧的平面区域. 表示直线右侧的平面区域.方法2:取特殊点检验;原因:由于对在直线的同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当时,常取原点检验.对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤:先依不等式作直线,注意虚实;取点:在直线的某一侧取一点;确定符号,即确定直线某一侧的符号;若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.3.线性规划问题：引例: 已知且,求的取值范围.错解: 由 而利用不等式性质得.正解: 由 而 所以错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习-线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了.(1)基本概念：设,式中变量满足下列条件:,求的最大值和最小值.线性规划的基本概念:线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量的约束条件,这组约束条件都是关于的一次不等式,故又称线性约束条件.线性目标函数：(关于变量达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式,叫线性目标函数.(例如关于的解析式：等等的叫做目标函数).线性规划问题：一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：a. 满足约束条件的解叫可行解b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线的斜率为，而且目标函数的直线的斜率为,则当时，直线与相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行()时,其最优解可能有无数个.c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.(2)用图解法解决线性规划的一般步骤：画: 画出约束条件表示的可行域;移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;求: 根据直线方程求解出最优解;算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值);特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.4.实际问题中的线性规划： (1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型; (2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义).二、例题解析：(一)平面区域的表示：例1 画出不等式表示的平面区域.解: 略例2 作出表示的平面区域.解: 略例3 画出不等式组表示的平面区域解: 略例4 (1)画出不等式组 所表示的平面区域; (2)求由不等式及 所表示的平面区域.解: 略例5 已知直线的方程为,点为直线异侧的任意两点,为直线同侧的任意两点.求证: (1)与异号;(2)与同号.证明: (1)在直线的异侧,则必交于 设分之比为,则 易得 所以与异号;(2)在直线的同侧,而在直线异侧所以在异侧由(1)得与异号;所以与同号(二)线性规划的基本概念：例1 已知满足不等式,求的最小值.解: 略评述: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解目标函数的最优解.例2 已知满足不等式组,试求的最大值时的点的坐标,及相应的的最大值.解: 略例3 求的最大值,使式中的满足约束条件的整数值.解: 略例4 在约束条件:下,求的最大值.解: 略小结:用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:画: 画出约束条件表示的可行域;移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;求: 根据直线方程求解出最优解;算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值);特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.(三)线性规划的应用：例1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t,需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t;生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元,每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t,甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t),能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表： 产品消耗量资源甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t)49360利润（元）6001000例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少？例3 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本为1500元,运费400元,可得产品100千克,如果每月原料的总成本不超过6000元,运费不超过2000元,那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？例4 某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张,才能获得利润最大？简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，其求解的格式与步骤是：（1）寻找线性约束条件,线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解目标函数的最优解（四）整数解的问题：例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?例2 设实数满足不等式组（1）求点所在的平面区域;（2）设,在（1）所求的区域内,求函数的最值.例3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?例4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示： 规格类型钢管类型A规格B规格C规格甲种钢管214乙种钢管231今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?例5 有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种毛坯数量之比按大于配套,怎样截取最合理？3.4 基本不等式:教学目的：1.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理;2.理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;3.会应用此定理求某些函数的最值;4.能够解决一些简单的实际问题;5.通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力.教学重点：1.用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程; 2.均值不等式定理的应用.教学难点：1.用基本不等式求最大值和最小值及等号成立条件; 2.解题中的转化技巧;3.应用基本不等式解决实际问题.教学过程：一、复习引入-不等式的基本性质: 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民人情好客,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?二、讲解新课：1.重要不等式:如果,那么(当且仅当取等号)2.定理:如果是正数,那么(当且仅当取等号)说明:)我们称的算术平均数,称的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数,而后者要求都是正实数.)“当且仅当”的含义是充要条件.推论:如果都是正数,那么(当且当时等号成立)如果,那么(当且当时等号成立)3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为的线段为直径作圆,在直径上