数学分析之微分中值定理及其应用.doc

数学分析教案第六章 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点： 系统讲解法。一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课第六章 微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课： （一）极值概念： 1极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二） 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. 2.Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅1P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 )Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于与 之间的任一实数, 则 设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理: Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 证 分析引出辅助函数 . 验证 在 上满足Rolle定理的条件, 必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. （三）中值定理的简单应用: 1. 证明中值点的存在性 例1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得 . 证 在Cauchy中值定理中取 . 例2 设函数在区间上连续,在内可导,且有 .试证明: . 2.证明恒等式: 原理. 例3 证明: 对 , 有 .例4 设函数 和 可导且 又 则.证明 . 例5 设对 , 有 , 其中 是正常数. 则函数 是常值函数. (证明 ). 3.证明不等式: 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对 ，有 . 4. 证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根. 例8 证明方程 在 内有实根. 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握LHospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。教学要求：1. 熟练掌握LHospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。教学重点：利用函数的单调性，LHospital法则教学难点：LHospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。教学方法：问题教学法，结合练习。 一. 型: Th 1 ( Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 例2 .例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 ) 二. 型: Th 2 ( Hospital法则 ) ( 证略 ) 例5 .例6 . 註: 关于 当 时的阶. 例7 . ( Hospital法则失效的例 ) 三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. 例8 例9 .例10 . 例11 . 例12 . 例13 . 例14 设且求解 . 3 Taylor公式（2学时） 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学要求：1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。3. 会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用。教学方法：系统讲授法。一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 16851731 )多项式: 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义 Taylor 多项式 及Maclaurin多项式 例1 求函数在点的Taylor多项式. 1P174.( 留作阅读 ) 三. Taylor公式和误差估计: 称为余项.称给出的定量或定性描述的式 为函数的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理: Th 1 设函数 满足条件: 在闭区间 上有直到阶连续导数; 在开区间内有阶导数.则对使 . 证 1P175176. 称这种形式的余项 为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为 . 时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为 . 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano型余项: Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在,则,. 证 设 , . 应用 Hospital法则 次,并注意到 存在, 就有 = . 称 为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为 . 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 1. 直接展开: 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函数 的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 . .例5 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . ( 1P179 E5, 留为阅读. ) 2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式. 例6 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , . 例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , 注意, . 例8 先把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 . 利用得到的展开式, 把函数 在点 展开成具Peano型余项的Taylor公式.解 . = + 例9 把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并与 的相应展开式进行比较. 解 ; .而 . 五.Taylor公式应用举例: 1. 证明 是无理数: 例10 证明 是无理数.证 把 展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有 .反设 是有理数, 即 和 为整数), 就有 整数 + .对 也是整数. 于是, 整数 = 整数整数 = 整数.但由因而当时，不可能是整数. 矛盾.2.计算函数的近似值: 例11 求 精确到 的近似值.解 .注意到 有. 为使 ,只要取 . 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为 . 3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例12 求极限 .解 , ; .4.证明不等式： 原理. 例13 证明: 时, 有不等式 . 3P130 E33. 4 函数的极值与最大（小）值 （2学时）教学目的：会求函数的极值和最值。教学要求：1. 会求函数的极值与最值；2. 弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。教学重点：利用导数求极值的方法教学难点：极值的判定教学方法： 讲授法演示例题 一可微函数单调性判别法： 1单调性判法： Th 1 设函数 在区间 内可导. 则在 内 (或) 在 内 ( 或 ).证 ) ) 证 . Th 2 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ( 或) 对 有 ( 或 ; 在 内任子区间上 2.单调区间的分离:的升、降区间分别对应的非负、非正值区间.例1 分离函数 的单调区间.更一般的例可参阅4P147148 E13，14. 二.可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少.1.可微极值点的必要条件: Fermat定理( 表述为Th3 ). 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法. 2.极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. Th 4 (充分条件) 设函数 在点 连续, 在邻域 和 内可导. 则 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点; 在 内 在 内 时, 为 的一个极大值点; 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点.Th 5 (充分条件“雨水法则”)设点 为函数 的驻点且 存在.则 当 时, 为 的一个极大值点; 当 时, 为 的一个极小值点. 证法一 当 时, 在点 的某空心邻域内 与 异号, 证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项. Th 6 (充分条件 ) 设 ,而 .则 为奇数时, 不是极值点; 为偶数时,是极值点.且对应极小;对应极大. 例2 求函数 的极值. 1P190 E3 例3 求函数 的极值. 1P190 E43.函数的最值: 设函数 在闭区间 上连续且仅有有限个可疑点. 则 = ; . 函数最值的几个特例: 单调函数的最值: 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, 亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点. 若函数 在 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点. 对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 三.最值应用问题: 例4 、 两村距输电线（直线）分别为 和 （如图）， 长 . 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 最小. 解 设 如图，并设输电线总长为 .则有 , , 解得 和 ( 捨去 ). 答： 四.利用导数证明不等式: 我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅3P112142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理. 1. 利用单调性证明不等式: 原理: 若 , 则对 , 有不等式 . 例5 证明: 对任意实数 和 , 成立不等式 证 取 在 内 . 于是, 由 , 就有 , 即 . 2.不等式原理: 4P169171. 不等式原理: 设函数 在区间 上连续,在区间 内可导,且 ; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.) 例6 证明: 时, . 例7 证明: 时, .2.利用极值证明不等式: 例8 证明: 时, . 5 函数的凸性与拐点（2学时）教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学重点：利用导数研究函数的凸性教学难点：利用凸性证明相关命题教学方法：系统讲授法演示例题一凸性的定义及判定： 1凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数在区间上连续. 若对, 恒有 , 或 . 则称曲线 在区间 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸. 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 设函数 在区间 内存在二阶导数, 则在 内 在 内严格上凸; 在 内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设 , 把 在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有上式中,即严格上凸. 若有上式中,即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有 , 不妨设 ,并设 ,分别在区间 和 上应用Lagrange中值定理, 有, .有 又由 ， 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、和 都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四 Cauchy收敛准则 数列收敛的充要条件 : 1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1验证以下两数列为Cauchy列 : . . 解 ; 对 ，为使 ，易见只要 . 于是取 . . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 .当 为奇数时 , , . 综上 , 对任何自然数 , 有 . Cauchy列的否定: 例2 . 验证数列 不是Cauchy列. 证 对 , 取 , 有 . 因此, 取 , 2. Cauchy收敛原理: Th 4 数列 收敛 是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 数集的聚点定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点. 数集 = 有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 . 1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 六. HeineBorel 有限复盖定理: 1.复盖: 先介绍区间族 . 定义( 复盖 ) 设 是一个数集 , 是区间族 . 若对 ,则称区间族 复盖了 , 或称区间族 是数集 的一个复盖. 记为 若每个 都是开区间, 则称区间族 是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集 的一个开区间族复盖称为 的一个开复盖, 简称为 的一个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例3 复盖了区间 , 但不能复盖 ;复盖 , 但不能复盖 .2. HeineBorel 有限复盖定理: Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. 2 实数基本定理等价性的证明（4学时）证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: : 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ; : 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ; : 区间套定理 HeineBorel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 . 证 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 证 系1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 , 当 时, 总有 . 系2 若 是区间套 确定的公共点, 则有 , , . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: Th 4 数列 收敛 是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 证 ) Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217218上的证明留作阅读 . 现采用3P7071例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观. 4 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列. 验证 为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 . 设 .有 .下证 .用反证法验证 的上界性和最小性. 二.“” 的证明: 1.用“区间套定理”证明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 证 （ 用对分法 ） 2用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限. 三.“” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“HeineBorel 有限复盖定理”: 证 2.用“HeineBorel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: 证 采用3P72例4的证明. 3 闭区间上连续函数性质的证明（4学时） 教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：基本定理的应用。 一. 有界性: 命题1 , 在 上 . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二.最值性: 命题2 , 在 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅1P226 证法 二 后半段. 三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 . 令 , 则 非空有界, 有上确界. 设 ,有 . 现证 , ( 为此证明 且 ). 取 且. 由 在点 连续和 , , .于是.由在点连续和, . 因此只能有 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 四. 一致连续性: 命题4 ( Cantor定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅1P229230 证法一 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅1P229230 证法二 习 题 课（2学时） 一实数基本定理互证举例： 例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上界, 是 的上界. 易见在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在 外仅含有 的有限项. 对分 , 取 使有 的性质.于是得区间套 ,有公共点 . 易见在点 的任何邻域内有数列 的无穷多项而在其外仅含有 的有限项, . 例2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列的上界. 由确 界原理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设 , . 易见有 和 . 由 ， . 例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集, . 反设 的每一点都不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 , 使在 内仅有 的有限个点. . 例4 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 为有界无限点集. 构造