超强GRE备考资料 GRE数学考前补遗.doc

2004爱我只对你说一次（续三）GRE数学考前补遗(序言爱情=汞蒸气)故事简介（不浪费考生读者的时间了，现在发表时被我砍了！以后归类时一并补全！）从默默无闻却拥有包揽NMET，CET-4，CET-6，TOEFL，TSE，PETS，KET，IELTS，GRE，GRE-SUB，GMAT，LAST，TOEIC，SAT，ACT等外语考试的满分或临近满分的惊人成绩的学习天才型能手到华东区亡命天涯，几经除名追逐的全职考试杀手SILVERLOVE，对于他而言，爱情和金钱，名望和尊严，物欲和解脱究竟孰轻孰重？面对同样遭受着爱情重创煎熬的一个起初只有初中英语水平不到的“民工”SILENTWING，从鄙视到相知到最后一起躲在同一个封号下患难与共，屏风挡雨，他忽然觉得人生原来如此诡谲。爱情？=汞蒸气。SILVERLOVE生命中唯一的一个扯不下的问号，一道解不出的逻辑题，一场赢不了的人生测试！（故事略）（正文）GRE数学部分考查的内容大多数是我们初中和高中的学习内容，除了一小部分的概率和统计，以及图表等内容，其他对于每一个经历高考洗礼的大学生来说都构不成主要困难，如果出错，只是语言理解和粗心马虎的问题，而对于大多数的在职人员来说，知识点的遗忘也构成了相当大的比例。当然，即使如此，这些东西都是可以轻易克服的，当然不会是我这里的讨论重点，我这里要做的是给临考的考生以一个方法梳理和数学历来的难点排列组合和概率的剖析，加上一些考试注意，毕竟现在ETS有数学增加难度和深度的趋势，现有的真题和相关备考资料很大程度可能上已经变得不再那么权威性和实际性了。下面是来自北美考生的心声：上周看见机经上一位女孩数学没有做完, 差6题没有完成, 没想到今天我成了她的翻版. 比她更惭愧的是, 我是学理的, 650分几乎不像中国人做的数学.我的第一个数学奇难, 做得我直发晕, 瞎蒙了几个,还是有2题没有做完. 第二个数学又简单得不敢相信, 以致我老以为自己看错了题目,浪费了许多时间, 竟然有大概6题没做完. 总的来说, 还是我锻炼做题做得比较少, 象那位女孩一样, 只看了猴哥112, 数学无忧, 钱昆强的GRE数学, 时间控制得很不好. 也不知道最后哪个数学算了分.I finish all the questions on the PP2, but it looks like no use at all. q感觉第一个比第二个难些，有一道实在想不出，看看都用2分钟了，马上随便选个。Math is difficult but be careful.I got 760 in Q and actually I didnt have enough time to finish the Q section so I guessed on the last 3 or 4 questions. I am thankful that I still got this okay score. In the test, it was much harder than the 112 hardest questions and PP3. I got 800 while I practiced with PP3 and feel those are easy. My advice is same as others suggested, PLEASE practice harder questions! 112 hardest and PP3 are not enough!说说数学,的确不可小看,我上次不得已取消成绩就是因为数学差7题没做,很是伤心,这次真是心惊胆战的答数学,可是还是差2题没打完,不过成绩还不错了.我想提醒大家,数学难度高于我们现有的所以练习题,我不知道别人怎么看,总之不可轻视,要仔细小心.Do not neglect the Math section during your preparing time!感觉惭愧，数学出身但是数学没做完。心得：对数学的复习不够重视，最后三天才看了一下112难题和词汇。考试时前面太粘糊，最后五分钟时竟然还有8道题，那时候感觉手在发抖，心率估计在150以上，想哭，就乱点了一通，考试后对要不要成绩犹豫了一下，最后还是决定死的壮烈点，成绩出来时先是不相信，想笑但是哭了，劫后重生。请吸取我的教训，毕竟决定考一次也不容易，不要因为数学难过。我真挚希望这分资料能给大家以一个有益的参考，同时唤起大家对GRE数学的重视！注：其中例题部分选自GRE 0001机考题库以及GMAT机考题库，同时参阅了相关书籍和网络资料，在此致谢！一、 GRE数学解题策略永远不要忘记GRE是逻辑考试，即使是冠上数学的帽子，逻辑的主旋律还是不变的，因此考试的策略也就应运而生，美国人注重思维的“巧”和“快”，他们不喜欢中国老师所秉持的那种“不算死你”誓不罢休的变态情怀，相反大多数美国考生包括命题者他们的运算能力本身都极其低能，远不如高考场上一个中国的“解题熟练工”，所以美国人不会在自己的伤口上撒盐，于是我们来看看用什么方法做题好。1 排除法：最原始而且最容易被习于解出结果来的学生所唾弃，问其原因，答曰；速度太慢，不保险。他们的错误意识在于武断的认为“解题速度一定大于排除速度”，而且“解题的正确率一定大于排除的正确率”，是这样吗？非也！比如有这样一个问题：EX1：Alice bought a box of rubbers that she judged to be 3/4 usable, in which the case the cost could be $0.80 per usable piece. If it was later found that only 2/3 of the rubbers could be usable, what was the actual cost per usable piece?A. $0.60B. $0.70C. $0.75D. 0.80E. 0.90ok!用排除法一看显然前四个都比原来的$0.80少，怎么可能？答案是E，根本不用算，所以大家要先看选项，再做决定。2 数形结合法：运动类题目一定要用，比如一个人在某一时刻在什么方位，然后到中午又是什么方位，告诉你运动速度和方位这类方位题，还有最容易错的“弹跳类”题目，一个球从窗口落下，弹跳N次，每次弹起高度是上一次的1/2，问落地前运动多少路程，许多人会忽略反弹过程，反弹后的落下过程而解错，注意看到“弹跳”不要懒，画图！一次反滩包括上和下，计算时别忘了乘以2！3 极值法：有些题目判断取值范围以及判断哪个区间符合，记住结合排除用极值法，速度反而快！如果一个过程可以拆分为几个阶段而且各个阶段相互独立，整个过程的最大值等于各个阶段的最大值之和，最小值也一样，根据这个基本原理去运用，相信不难。速度是关键！4 列举法：有些题目用列举反而简单，许多考生害怕列举，把列举一棒子打死，这是不必要的。有些人总结列举在排列中不要用，未必如此，请看：EX2：Six man of different heights standing in two rows with each three men, and each row is arranged as the rule that taller man is standing at the right hand side from left to right, and also the man standing at the back row is much taller than the one standing just in front of him in the front row, so how many ways can these six men be arranged?解析：首先根据条件确定如下（假设6个人A，B，C，D，E，F身高依次增高）1 2 3A4 5 6 E F这个是必须推理得出的，然后我们根据条件排列，D只能 在3和4号位，如果在2号位那么就会违背从低到高的基本原则，所以分别固定D在3和4，然后排B和C的位置，应该就不难了。5 代入法：对于某些极值问题和一些新颖问题，可以用代入来解决，这个方法和上面的极值和排除有交集，这里从略了！6 设“1”法：谈到工作效率几天完成一个工作，或者存款利率的问题，都可以用这个方法，即把总量设为“1”，然后去列方程和等式求解。这比设未知数来求解简洁快捷的多。7 特殊值法：检验选项的论断是否正确特殊值法是很有效的，它避免了复杂的推导，在诸如数列问题和其他数论问题中往往显得快捷方便。8 归纳法：主要是数列问题中的应用。比如A1=8，An=(An-1)/(An-1-1),A5=?(分母是A的N-1个数减1)。这类问题不难，稍微复杂的就是自己来判断数列类型并归纳出表达式。或者像这样的：10的100次方需要用的最少数字是多少，（1）如果用十进制表示，（2）用2进制表示？二、 GRE数学常错之处：1 英文表达：EX3：On a certain number line, if -7 is a distance 4from n and 7 is a distance of 18 from n, then n=?解析：前半个表达是4是-7到n的distance,后面半个表达是18是7到11的distance，所以from后面的是起点，列出式子：-7-n=4, 7-n=18，两个都解出来n=-11。注意体会表达，a distance 4=a distance of 4。EX4：A is as twice the price as B解析：上式代表A=2B。类似的表达很容易理解错误，请大家多多在解题时注意总结。2 错误理解：在概率问题中只有独立事件才可以用P（AB）=P（A）*P（B），比如下面：EX5：The probability of the occurrence of matter A is 0.6 while that of matter B is 0.7, what s the probability of the coincidence of A and B?解析：A和B是否为独立事件，不知道，所以无法判断。EX6：如果上题问A和B都不发生的概率呢？解析：A不发生的概率是0.4,B是0.3，所以他们的交集是0.3，所以答案应该是0.3。EX7：如果我告诉你上面的A和B成功发生的概率都是他们各自独立的，那么还是问AB一起成功的概率？解析：答案还是不确定。因为A和B虽然独立，但是他们加起来是否相互影响，是促进还是遏制，不清楚，所以答案不是大家理想的0.42.EX8：小于100的整数中有多少可被6整除？解析：无穷多个，别忘了整数包括负数。EX9：有300个人，A，B，C是三个俱乐部，分别有180，170，160个人，已知A交B有90，B交C有80，A交C有85，那么问A，B，C都交的人数。解析：不确定。题目中并不是每一个人都必然会出现在A，B，C三个俱乐部里，所以有人会不在这个范围内而无法计算，所以不能用公式求解。EX10：上题如果是这样呢：A交B是8，B交C是70，A交C是60，那么问A，B，C都交的有多少人？解析：注意不再是无法求解了，实际上题目的数字比较特殊，如果代入公式：I=A+B+C-AB-AC-BC+ABC=300+ABC，由于I=300，所以不可能 有人未参加，所以这时ABC=0。注：从这里我们要看到：定势思维的害处！3计算错误：考试时草稿要打的慢而谨慎，许多考生一心要跨区，所以做的特快，反而在容易题上失分，所以对于数学，尽管简单，但你不可以忽视它，ETS知道你中国人牛，但不能取消它，有它的作用，而这也提出了严酷的要求，只要失分一点都会对你产生远远超过同样失分的VERBAL的危险。所以不要想着跨区，快中求稳！三、 GRE数学难点分析这里主要是再简单讲讲大家普遍感到困难的概率和排列组合。对于四分位数，我从来没有看见考过，尽管有人宣称在机考年代出现，但是我觉得出现可能性不大，如果要参考可以去看专著或者数学无忧之最终幻想版，另外还有正态分布，我这里不做引申，仅仅拿一位牛人网友的讲解给大家看看而不再做自己过分逻辑和专业化的引申和推导了。另外还可以参考上述提到的一些作品，但个人认为出到这种题的几率且难到作不出的机率几乎等于0，因此不必想的太复杂，即使在GMAT（根据最近一些时候的华东区战友汇报）也没有这么变态，所以不用紧张。但是既然是难点归类，这里就放一些个人认为还是值得拓宽一下思路的东西。而概率和组合确是不能忽视的，因为这个考点是明确列在ETS的官方指导手册（第10版）里的。（正态分布难题选自正态分布解密（GRE数学满分比备良药）27说人们的题中通常是服从正态分布，标准差为1之内的有多少a(给了，忘了)percent，标准差为2内的为95percent。问一个调查mean为18.6，则在6.8到12.6之间为多少percent. 答(95-a)/2From presented conditions, I guess a = 68.97%, Right? Anyone remembers - please confirmed? Because: For Normal Distribution we talking about, it has certain statistical characteristics: : P(Probability) =mean-stdev X mean+stdev = 68.27% : P(Probability) =mean-2stdev X mean+2stdev = 95.45% : P(Probability) =mean-3stdev X mean+3stdev = 99.73% This property indicates that for a specified Normal Distribution, the area from mean-3stdev to mean+3stdev covers 99.73% probability. Understand? (you must have learned fromlecture) For this case, mean=18.6, stdev? Suppose the stdev=1, then, according to the conclusion from above, if a point has 99.73% probability falls in 15.6(18.6-3*1) to 21.6 (18.6+3*1); in other words, if a is within 1012, we say a is not a member of this Normal Distribution, or, a isjust a small probability(=0.7%) case. Right? In general, if you wanna know the P(aXb), you calculate it from Phi (b-mean)/stdev - Phi(a-mean)/stdev that is the correct solution, but virtually, it is impossible for you without aNormal Distribution Function Table. :Conclusion- This question may not be accurate, because for one Normal Distribution, it has only one stdev, while this question presented two? At the same time, 95% is so close to 95.45%, a ? Hence, I prefer to my guess. - On the other hand, suppose the question is correct. The answer MUST be not correct. Anyway, (a-b)/2 cannot connect with 6.812.6? - My comments are just from personal point of view. I have no rightto force you to select this explanation.（排列组合和概率部分）排列组合和概率的基础部分我不详细说了，这些在各大论坛上的精华帖里都有，我的2004爱我只对你说一次GRE数学全攻略（真爱无敌版）里都说的也很清楚，读者如果对下面摘引的部分基础性内容存在疑问可以借助参考，这里我要补充重点说的是以前都没有涉及的解题思维和熟练运用！下面我们开始：（基础部分选自数学无忧之最终幻想版）1.排列(permutation):从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,.4.，那么第三个位置3所以总共的排列为5*4*3=60同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=1252组合(combination):从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式性质:C(M,N)=C( (N-M), N )即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=103概率概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量概率的性质 ：0=P0,称P（B|A）=P（A*B）/P（A）.公式3为事件A已发生的条件下事件B发生的概率理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合）理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比。4）独立事件与概率两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是：P（A U B）P（A）P（B）.公式4（进阶部分解题思维和技巧）排列组合题永远有两个主要方向：一个是顺势推导，一个是逆势推导。所谓的“顺势推导”就是直接按照题目给出的思路来排，所谓“逆势推导”就是从大的集群中去反推出结果来。下面我们看一题来看看如何运用这两个思维来推导解决排列组合的难题：EX11： A，B，C，D，E，F排在1，2，3，4，5，6，问A不在1，B不在2，C不在3的排列种数。解析：（1）我们运用顺势推导，A不在1那么可以在其他5个任意一个位置吧，好，B，C分别也类似，其实质上没有什么区别！三个限制加在一起同时考虑时，我们就要思考互相约束了。主要约束就在1，2，3位置上，因此我们分步考虑：好，我们先考虑A在2的时候，这时B没有限制了，因为B不能在2了，而C有限制，不能在3，于是我们再分：当B在3的时候，C就没有限制了，此时N21=P（4，4）=24；而B不在3的时候，则B可以在剩下的四个位置，而C不能在2和3，也不能在B的位置，因此只在剩下的3个位置里，所以N22=P（4，1）*P（3，1）*P（3，3）=72。因此A在2共有N2=N21+N22=96。然后考虑A在3时，此时B有限制，C没有，聪明的读者马上发现其实B与C本质上是“同性元素，所以这里的排列数目应该和上面A在2一样，所以N3=N2=96。然后A到4的时候，形势就不同了，为什么？对，B和C都有约束了，好，复杂了吧，来，思路放清晰就不会有问题，好，还是跟刚才的一样，只是多了一个步骤：我们仍然考虑B，B肯定不在2，那么假设B在3呢，好C就没限制了吧，好，N41=P（4，1）*P（3，3）=24；然后假如B不在3，好，那么B就不在2和3，它可以在其余3个位置，而C呢，它不在3，4和B占的位置，也有三个选择，所以N42=P（3，1）*P（3，1）*P（3，3）=54。好，从而N4=N41+N42=24+54=78。好，下面A在5和6的情况读者可以从上面的推导发现是和A在4时完全一样的，所以N5=N6=N4=78。因此排列总数=N2+N3+N4+N5+N6=96*2+78*3=192+234=426。（2）接下来我们来逆推，从总数里去减去不符合的情况：如果A在1，B，C我们不考虑，那么有P（5，5）=120的种数。同理B，C也是，所以排除第一类N1=3*P（5，5）=360这里面存在的问题就是其中有重复减去同时违背规则的情况，好，我们先来看两种共存违背的情况，把他们加上去就可以了。A在1且B在2的情况P（4，4）=24，同理其他B在2，C在3以及A在1和C在3的情况也一样，所以加上第二类的多排除一遍的N2=3*P（4，4）=3*24=72。然后问题没完，这里由于加了3个交集，所以势必有一个A，B，C共同违反的情况被多加了一次，这个道理就可以直观的像A+B，B+C，C+A它们三者的和等于2*（A+B+C），所以我们还要再把多余的一个违反情况A在1，B在2，C在3排除掉，即N3=P（，3）=6。好，我们确定集合无任何约束的种类为P（6，6）=720，然后我们可以根据上述分析得出排列总数=720-N1+N2-N3=720-360+72-6=426。注：从这里我们看到对于排列组合的较复杂的难题而言，无论是顺势还是逆势，一定要注意“分布走”，条理要清晰，思路要审慎，这样才不会挂一漏万，不会手忙脚乱。只要这点认识有，那么什么难题也难不倒我们！EX12：5辆车排一排，1辆黄的，1辆蓝的，3辆红的且互相没有区别，问有多少种排列。解析：我们根据上面的例题分析，可以灵活注意选用合适的思路，无论“顺势”也好，“逆势”也罢，找到自己最容易上手，有突破点的地方下手是关键。这里我为了说明思考排列组合的题目的思维方式，还是从两方面着眼：（1） 顺势思维：三辆红的没有区别是这道题目唯一的限制条件，我们要把这个限制放进去才因而加大了解题难度，因此我们只有从这里去思考突破：没有区别主要是告诉我们排列不能对红车用，只能用组合，好题目告诉我们这样了，我们来吧，先把红车组合完了，剩下的再排列不就完了？好，三辆红车组合：N=C(5，3)=10,然后剩下两辆车排列啊：N=P(2,2)=2,因此排列总数N=N*N=10*2=20。（2） 逆式思维：先不管限制条件，我先来排出总数来N=P（5，5）=120。好，限制告诉我们三辆车是不区别的，那么三辆车在前面算总数时是排列出来的，即情况可能性多了个P（3，3）=6，根据我们在排列中的乘法原理，我们很容易得出N=N/P(3,3)=20。注：这里我主要向大家展示数学中的排列组合是如何思考的。许多考生在网上时常问的概率和组合题往往说是自己“想不到”如何去做，那个思路没有。其实，排列组合需要你去“想”吗？这是中国考生一直以来的误区，样样都要自己去想！我们刚才看到，根本不是我们去“想”如何做，是题目告诉我去如何做，我们只要把这个思路借助公式来表达计算不就完了。首先我们知道全排列总数，然后知道题目要我们把限制考虑进去去约束或者去排除不符合的，这个就是基本的思路，也是最有效的思路，按部就班的，不会出任何错！简单吧！不要什么理科思维，只要逻辑思维就可以。由于长期从LSAT考试起家，一直摆脱不了LSAT式的逻辑思维，所以对于GRE和GMAT数学总是带着这样那样的逻辑见解，我的直觉总认为其实数学和逻辑没什么两样，尤其在这里，其实就是简单的逻辑组题演变。怎么样？懂了吗？好，刚才的例题，如果再加两辆不可辨的白色的车呢？排列总数多少？读者自己算算！EX13： 33. Pat will walk from intersection X to intersection Y along a route that is confined to the square grid of four streets and three avenues shown in the map above. How many routes from X to Y can Pat take that have the minimum possible length?(A)Six (B)Eight (C)Ten (D)Fourteen (E)Sixteen解析：这是个变相的排列组合题。许多考生看到题目就晕了，或者埋头就去“穷举”，有必要吗？我们看最短路线不久5个单位线长吗？好，学过物理的读者更能形象体会，从X到Y的位移矢量我们可以按水平和垂直方向分解啊！好，水平方向移动两个单位，竖直方向一样3个单位，是吧？而且我们知道每次移动是一个单位！所以5个单位的路程就是两个单位水平位移和3个单位的竖直位移的叠加，而路线不同只是这5个单位位移的出现，也就是排列不同而已，哪个位置排水平位移，哪个位置排竖直位移，仅此而已！由于单位位移没有不同处，是“同性”的，所以N=C（5，2）=C（5，3）=10，选择（C）答案。好，我来给道练习给大家巩固一下上面介绍的思路和技巧：练习：3封不同的信A，B，C，4个邮筒1，2，3，4顺次排列：（1） 3封信分别投到4个邮筒里，问有多少种投递方法？（2） （变难）如果告诉你有个邮筒投了两封信，那么有多少种？（3） （再难）如果告诉你，A不能投在1，B不能投在2，C不能投在3，有多少种？（4） （再难）如果告诉你A只能投在1除非B投在4，此时A投在2，那么共有多少种？（5） （再难点，还行吗？）如果告诉你A总是投在和B相隔一个邮筒的邮筒里，而C不能和B投在一个邮筒里，那么又有多少种？（6） （我还能再出难的！）A和B只要不和C相隔一个或一个以上的邮筒，那么就必然投在一起，问总共有多少种？（7） （我还能再把它变难！估计有的说没必要了，是吧？我估计ETS也不会再变态成这样了，反正变难是没底的，幸好不是我出GRE数学，呵呵！如果出到这样，大家情愿蒙了，我想！所以分析也没有任何意义了！但是如果是情书的话，那么万一投错了，这个嘛我可不负责哦！）好，根据上面的操练，我想排列组合题目是没有问题了！JUST A PIECE OF CAKE！好，我们来解决概率问题，有了上面的基础，所谓概率就是把出来的排列再去和总数比一比就可以了。下面，套用李永的一句口头禅：“请看题！”EX14：5双不同颜色的袜子，任意取两只，是一对的概率有多大？解析：一看题目，马上知道关键是要挑一对袜子出来，是吧？那么挑一对的排列可能是多少，不太简单吗？N=C（5，1）=5嘛！好，那么总共取2只的可能是多少呢？简单啊，不就是C（10，2）=45嘛！好，然后一比，P=5/45=1/9，搞定了！注：许多考生不知道怎么去思考，盲目的按照思维中的症结去绕，比如先随便取一只C（10，1）=10，然后剩下一只要和它成为一对，就一定只能取特定的那个，再然后如果真要那么思考，也就是放弃组合上的，直接从概率上去思考，未尝不可，比如我们顺着思路来：首先任取一只，既然是任取，我们的概率就是1，因为任取一只，只要可以取到就满足了吧，能肯定取到吗？当然，有10只袜子等着你取呢！好，接下来，我们发现只有特定的一只等者我们取，而这只在剩下的9只袜子里，那么取到的概率是多少？当然是1/9了，这9只袜子被取到的概率都是相同的1/9，所以取到一对的概率是P=1*1/9=1/9。怎么样，我们看到其实很简单的问题，只要理清了思路和执行程序，直接用组合也可以，用概率比也可以，关键是弄清楚怎么取和接着怎么取！好，懂了？我们接下来把题目改改：EX15：把两只袜子放到有5只袜子的直线排列上，问它们相邻的概率？解析：把两只袜子看成一个整体求出排列总数就可以了，也就是用做逻辑组题时的“捆绑法”，因此N=C（6，1）*P（2，2）=12，注意思考其余的5只袜子的排列我们要考虑吗？注意题目问什么我们排什么，因为5只袜子根本没有条件约束，也就是说他们是“自由”的，所以无论在概率求解的分子和分母上要出现肯定是成对，所以我们不用考虑它们，眼光盯住这两只就可以了！所以，两只袜子的排列总数是P（7，2）=42，概率P=12/42=2/7。注：这里我特意选了一题有“虚拟”背景的题，看到好象加起来7只袜子，其实就是2只放到7个位置，在排列组合上“自由元素”永远等同于“没有元素”，这里的“没有”是说没有“元素限制”，不是真正意义上的没有，而“同性元素”永远是排列情况“镜象对称”。这两条原