篮球比赛中的技术指标和名次排列问题.doc

篮球比赛中的技术指标和名次排列问题 摘 要本文问题是一个涉及篮球比赛各项指标对球队成绩的影响和比赛名次排列的问题.对于问题1，通过引入灰色关联分析对所求的关联关系赋予了一个量化指标关联度 r运用灰色关联分析模型计算出各技术指标的关联度大小，然后通过对关联度的比较，得出各技术指标与该队成绩的关联关系；对于问题2，同样运用灰色关联模型，求出所有指标对本赛季成绩的关联度，通过比较它们的大小来确定各指标对成绩的贡献大小关系；对于问题3，我们认为所谓关键场次即为影响球队排名的场次，依据模型假设，我们仅仅考虑与那些与自己球队实力相近的比赛场次.关于问题4，考虑到数据的不对称性和残缺性，以及评判者的思维有大量的模糊信息，我们引入模糊聚类分析方法，对所有球队进行了分类，并以此为据进行了排序.对于问题5，我们双管齐下，结合关联度与排序，我们先判别出r值较大的技术指标对成绩的贡献是正面还是负面的，然后对症施治.在模型的求解过程中，我们首先使用EXCEL对数据进行了统计分析和归类，根据灰色关联分析模型和模糊聚类分析模型，用C语言编写了程序，由此对各问题给出了各自的数值解.在结果的分析中，我们对结果的合理性和稳定性进行了定性分析，分析结果表明用灰色关联分析模型和模糊聚类分析模型来解决问题是有效的.部分重要结果汇总为：二分球投中/投出次数、罚球投中/投出次数、防守篮板数、盖帽数、失误数、抢断数、三分球投中/投出次数、进攻篮板数、助攻次数、犯规次数.球队排名：数学，信电，化学，机电，物理，测绘，管理，生物，资源管理，能源，计算机，地质.一、问题重述（略）二、模型假设与符号说明（一）模型假设（1）各项统计数据是真实，准确的（2）假设每支球队的各项技术指标是稳定的（3）假设比赛的输赢主要由球队的实力决定，只有当两对实力相近时战术非静态因素才能比较明显地影响比赛结果（4）小组赛的胜出者就是个小组中的前两强（二）符号说明 -分辨系数 -关联度 -关联系数 .差数列表中i行j列元素Ti，i=1,2,12分别表示：数学学院队、物理学院队、化学学院队、生物学院队、计算机学院队、资源管理学院队、机电学院队、信电学院队、测绘学院队、管理学院队、能源学院对、地质学院队相似模糊矩阵.其他符号模型中运用时再作说明.三、问题分析和模型建立问题1对于一个代表队而言，它的整体实力由球队的各项技术指标（如：二分球投中与投出次数、三分球投中与投出次数、罚球等）来决定，且各项指标对球队整体成绩的影响程度也有所差异，为了确定各技术指标对球队成绩的关联关系的大小，我们需要引入一个可以反映各指标对成绩贡献大小的量化指标关联度.为此，我们采用灰色关联分析方法来解决如上问题.灰色关联模型灰色关联分析是灰色理论中的一种分析方法，这种分析方法的基本思想是根据研究的因素间变化的相似程度来判断关联程度.应用关联分析这一原理，通过代表队各技术指标对得失分率的关联系数和关联度，研究影响代表队各技术指标与整体成绩间的关联度（可以正相关亦可负相关）.（1）将代表队的各项技术指标视为一个总体，即一个灰色系统，设第一场比赛数据为基准点，以得失球率为参考数列，2分球命中率、3分球命中率、罚球命中率、进攻拦板、防守拦板、助攻、犯规、失误、抢断、盖帽分别为比较数列，将分析结果列入表1： 表1：某代表队5场比赛各项技术指标统计表 场次技术指标第一场第二场第三场第四场第五场得分率()2分球命中率()3分球命中()盖帽()（2）以第一场为基准将表1数据无量纲化，具体操作如下：将第一场比赛数据单位化，其他各场次数据除以第一场的相应数据，从而得到一个第一列全为1的矩阵，对应列表2: 表2：无量纲化后的统计表 场次技术指标第一场第二场第三场第四场第五场得分率()2分球命中率()3分球命中()盖帽()（3）再根据标准化列表可得到其对应的差数列表如表3，并求出各技术指标中的最小差值和最大差值表3：差数列表 场次 差值第一场第二场第三场第四场第五场0此行最小值此行最大值0此行最小值此行最大值0此行最小值此行最大值0此行最小值此行最大值其中（4）由上表分别求出二级最小差值和二级最大差值，运用关联系数公式：(其中，为分辨系数，取0到1之间的数),求得各比较数列对参考数列之间的关联系数.（5）由求出各技术指标与得失球率之间的关联度分别为，并进行由大到小排序.在关联分析中，因素的重要性用关联度表示，关联度越大，表示因素越重要，因素对总体成绩的影响程度越大，从而就得到代表队各指标对其成绩的关联关系越大.问题2对于每个代表队而言，各技术指标对其整体球队成绩的关联关系可以由灰色关联分析模型得到很好的解决，而且各项指标对整体球队成绩的影响程度大小也同样可以由问题1灰色关联分析模型求出的关联度的大小来比较, 越大，表明指标i影响代表队成绩的程度就越大，反之越小.而要确定本赛季（30场、12支代表队）的成绩与各技术指标之间的关联关系及技术指标对赛季成绩的影响程度，则需将所有队和所有场次综合起来考虑.同样的我们可以用灰色关联分析模型来求得整赛季各技术指标对成绩的影响，但在此之前得将需要的数据进行统计和处理.根据成绩表，我们首先对各代表队在其参加的五场比赛中的二分球进/投数、三分球进/投数、罚球进/投数、进攻/防守篮板数、助攻、犯规、失误、抢断、盖帽得失球数进行累加，得到各代表对的二分球进/投总数、三分球进/投总数、罚球进/投总数、进攻/防守篮板总数、助攻总数、犯规总数、失误总数、抢断总数、盖帽总数、得失球总数，并算出其2分球总投中百分比、三分球总投中百分比、罚球投中百分比、总得失球百分比（具体表格见附录）.继而将所有代表队看作一整体，即灰色系统，以数学学院各项指标为基准点，以总得失球率为参考数列，2分球总命中率、3分球总命中率、罚球总命中率、进攻篮板总数、防守篮板总数、助攻总数、犯规总数、失误总数、抢断总数、盖帽总数分别为比较数列，将分析数据列入下表4：表4：参考数列和比较数列列表 参赛队技术指标TIT2T10T11T12得分率()2分球总命中率()3分球总命中()盖帽总数()然后对数据进行无量纲化，求出各项指标的最大与最小值，得到对应差数列表，再次运用关联系数公式和关联度公式求出系统各指标与总成绩的关联系数及关联度，最后根据关联度的大小对所有技术指标进行排序，越大表示该技术指标对代表队成绩的贡献越大.于是问题2亦被解决.问题3和问题4 所谓关键场次即指影响球队比赛排名的场次.依据模型假设（3），影响球队排名的场次仅是与实力相近球队比赛的场次.这是因为当与实力悬殊的球队比赛时，主导胜负的因素是实力.即此种比赛几无悬念，关键更是无从谈起.这就涉及到球队按照实力的一种分类，为此我们分析统计数据.我们发现：该表所包含的数据量较大，且各参赛队的数据残缺，队与队之间很多没有交锋过，直接根据表来排出他们的名次比较困难；不过，我们先看每个队在他所参加的比赛中，胜负以及平场次，借助它，我们对每个队的实力有一个大概的了解，于是得到表5：表5：各代表队胜负场数对照表T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12胜场数533211253311负场数022344302244平场数000000000000总场数555555555555其次，我们可以看各队在比赛中的平均进球数，失球数和进失球差数，这也有助于我们进一步了解各队的实力，通过成绩表，我们有表6： 表6：各代表队总得分、失分对照表T1T2T3T4T5T6总得分数405444371303399377总失分数349397341382413388得/失分率1.16051.11841.08790.79320.96610.9716T7T8T9T10T11T12总得分数389468410418383321总失分数343414411389411421得/失分率1.13411.13040.99761.07460.93190.7625通过表5和表6的分析，我们有理由认为T1，T2，T7，T8队是比较好的，T4，T12是弱队；T3，T10中等偏上；T5，T6，T9，T11水平比前者略差，但它们之间的差距并不大，考虑到数据的不对称性和残缺性，仅依据上述两表来确定其名次，则其合理性值得怀疑.为了使排名更趋合理和可信，我们应该考虑T与其余各队的比赛成绩，充分利用几组数据，则找出更加合理的排名算法。考虑到A 组与B组两两之间没有比赛，其成绩难以确定，并且评判者的思维具有大量的模糊信息，我们采用模糊聚类分析方法，根据聚类结果，并综合表1和表2的信息来确定各队的名次.模糊聚类分析模型1、数据矩阵设论域表示各代表队，已知各个代表队的成绩取决于m个指标：2分球投中次数、2分球投出次数、3分球投中次数、3分球投出次数、抢断，盖帽，即，其数值列表如表7： 表7：数据矩阵列表 代表队技术指标TI()T2()Tn()2分球总命中率()3分球总命中()盖帽总数()2、数据标准化由于数据具有不同的量纲，我们首先通过平移标准差变换，消除量纲对数据比较的影响，再运用平移极差变换将所有数据压缩到区间上：（1）平移标准差变换：，其中（2）平移极差变换其中3、相似系数法标定（建立模糊相似矩阵）再次我们应用数量积法确定相似系数，建立模糊相似矩阵来比较和的相似程度，即其中从而就得到模糊相似矩阵为4、上面根据标定得到的模糊相似矩阵不一定具有传递性，即不一定是模糊等价矩阵，为了进行分类，我们需要将改造成模糊等价矩阵，这里我们用平方法求的传递闭包，得模糊等价矩阵，即5、让由大到小变动，从而对论域元素进行聚类，继而得到聚类图.（图见模型求解图1）6、结合聚类结果以及上述表1和表2的分析，便可以得到最终各代表队的排名.问题5要对没支代表队提出技术方面的改进建议，首先就要了解各代表队的优势与劣势。由于优势与劣势都跟代表队的成绩息息相关，故我们很自然地想到在灰色关联模型中所言及的关联度.因此，对于每个代表队，只要我们分析出与成绩关联度较大的几个技术指标分别是优势还是劣势即可.四、模型求解取分辨系数问题1的求解：（以数学学院代表队T1为例具体说明求解过程，其余各代表队方法相同）视数学代表队为一灰色系统，各技术指标为其子系统，且选择第一场比赛为基准点，以得失球率为参考数列，2分球命中率、3分球命中率、罚球命中率、进攻拦板、防守拦板、助攻、犯规、失误、抢断、盖帽分别为比较数列,，代入具体数值得到表8：表8：参考数列和比较数列数值表 场次技术指标第一场第二场第三场第四场第五场得分率()1.43101.14471.12701.12701.11772分球命中率()0.63410.54290.52500.56410.48483分球命中()0.20000.46670.18180.07140.5385罚球命中率(）0.66670.73680.69700.78380.6667进攻拦板数()1571064防守篮板数()2617232125助攻数()10116810犯规数()1620122115失误数（）1017151018抢断数（）58987盖帽()16322表8以第一场比赛为基准将数据列表无纲量化，得到表9： 表9：参考数列和比较数列数值标准化列表 场次技术指标第一场第二场第三场第四场第五场得分率()1.0000.7990.7870.7870.7812分球命中率()1.0000.8560.8270.8890.7643分球命中()1.0002.3330.9090.3572.692罚球命中率(）1.0001.1051.0451.1751.000进攻拦板数()1.0000.4660.6660.4000.266防守篮板数()1.0000.6530.8840.8070.961助攻数()1.0001.1000.6000.8001.000犯规数()1.0001.2500.7501.3120.937失误数（）1.0001.7001.5001.0001.800抢断数（）1.0001.6001.8001.6001.400盖帽()1.0006.0003.0002.0002.000据此得出其对应的差数列表，并求得各技术指标中的最小差值和最大差值，如表10：表10：差数列表 场次差值第一场第二场第三场第四场第五场0.0000.0560.0400.1020.01600.1020.0001.5330.1210.4301.91101.9110.0000.3050.2570.3880.21800.3880.0000.3330.1200.3870.51400.5140.0000.1460.0970.0200.18000.1800.0000.3000.1870.0120.21800.3000.0000.4500.0370.5240.15600.5240.0000.9000.7120.2121.01801.0180.0000.8001.0120.8120.61801.0120.0005.2002.211.2121.21805.200二级最小差值=0二级最大差值=5.200.运用关联系数公式：和关联度公式：求得各比较数列对参考数列之间的关联系数和关联度,如表11：表11：关联系数与关联度列表 第一场(K=1)第二场(K=2)第三场(k=3)第四场(k=4)第五场(k=5)1.0000.8220.8650.7180.9400.8691.0000.1440.6810.3760.1190.4641.0000.4600.5020.4010.5420.5811.0000.4380.6820.4010.3350.5711.0000.6400.7280.9280.5900.7771.0000.4640.5800.9540.5420.7081.0000.3660.8730.3310.6240.6391.0000.2240.2670.5500.2030.4451.0000.2450.2040.2420.2950.3971.0000.0470.1050.1760.1750.301根据关联度就可以看出各项技术指标对球队成绩的关联关系的强弱.我们知道在关联分析中，因素的重要性用关联度来表示，关联度越大，表示因素越重要,体现在这里就是各项指标对球队成绩影响程度越大，例如最大，则说明，对于数学学院来说，在整轮比赛中，二分球的投中/投出数、投中率对该队的影响最大；而影响最小的是盖帽次数.对于其他代表队，运用同样的计算方法，可得到各自的关联度，如表12： 表12：所有代表队关联度向量列表关联向量队号各项技术指标对球队成绩的关联向量T1数学(0.869,0.464,0.581,0.571,0.777,0.708,0.639,4.449,0.397,0.301)T2物理(0.656,0.411,0.533,0.273,0.613,0.493,0.563,0.522,0.379,0.600)T3化学(0.645 ,0.660,0.524,0.433,0.580,0.299,0.570,0.550,0.502,0.311)T4生物(0.753,0.267,0.454,0.544,0.663,0.714,0.543,0.464,0.630,0.428)T5计算(0.579,0.629,0.698,0.510,0.578,0.574,0.674,0.679,0.302,0.594)T6资源(0.457,0.485,0.485,0.441,0.579,0.441,0.504,0.529,0.284,0.354)T7机电(0.472,0.29,0.410,0.371,0.417,0.477,0.412,0.285,0.521,0.364)T8信电(0.406,0.344,0.559,0.286,0.421,0.474,0.308,0.355,0.310,0.407)T9测绘(0.335,0.348,0.486,0.332,0.491,0.353,0.350,0.312,0.285,0.301)T10管理(0.432,0.478,0.368,0.277,0.425,0.412,0.304,0.285,0.354,0.451)T11能源(0.826,0.679,0.455,0.529,0.699,0.266,0.481,0.503,0.485,0.350)T12地质(0.515,0.533,0.407,0.307,0.679,0.552,0.564,0.504,0.365,0.517)关联度大小关系如表13：表13：关联度大小比较表队号各项技术指标对球队成绩的关联度的大小关系T1数学r1r5r6r7r3r4r2r8r9r10T2物理r1r5r10r7r3r8r6r2r9r4T3化学 r2r1r5r7r8r3r9r4r10r6T4生物 r1r6r5r9r4r7r8r3r10r2T5计算 r3r8r7r2r1r10r5r6r4r9T6资源r5r7r2r10r1 r6r3r9 r8r4T7机电 r9r6r1r5r7r3r4r10r2r8T8信电 r3r6r5r10r1r8r2r7r9r4T9测绘r5r3r6r7r2r1r4r8r10r9T10管理 r2r10r1r5r6r3r9r7r8r4T11能源 r1r5r2r4r8r9r7r3r10r6T12地质r5r7r6r2r10r1r8r3r9r4问题2的求解：根据问题1的求解过程，我们视所有的代表队为一灰色系统，以数学学院各技术指标为基准点，以各队总得失球率为参考数列，2分球总命中率、3分球总命中率、罚球总命中率、进攻拦板总数、防守拦板总数、助攻总数、犯规总数、失误总数、抢断总数、盖帽总数分别为比较数列、，带入数据可得表14：表14：所有场次各技术指标统计表队号指标T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12()1.1601.041.080.790.960.971.131.130.991.070.930.76()0.5530.5830.5080.390.510.520.530.580.480.530.500.36()0.3190.2940.3850.280.340.400.400.450.330.230.390.34()0.710.680.690.700.660.680.670.690.750.640.650.57()424935504941475444803938()1129911711611510112312010612512781()457462375549556548754743()8411911694124123124127115112106122()707172897071738060776861()373843153526393842521633()141013571113174221114最终得到关联系数和关联度如表15： 表15：关联系数和关联度列表 关联系数T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T1210.230.720.630.330.310.760.370.730.510.290.8810.670.150.200.160.090.150.100.190.200.100.1010.500.620.140.330.300.510.960.190.610.320.2610.150.310.080.120.260.250.130.200.040.280.1610.760.310.120.200.430.280.330.360.200.120.4210.060.100.260.110.160.160.090.190.060.160.1410.080.090.100.070.070.080.080.080.100.090.0510.290.340.070.220.210.420.220.950.210.220.1810.270.170.140.300.260.380.480.150.090.110.1710.200.840.130.120.480.500.160.070.070.730.12关联度大小为：相应关联度向量为：对进行从大到小排序，得到：即：所有场次比赛中各项技术指标对代表队成绩的影响（贡献）程度由大到小分别是：二分球投中/投出次数、罚球投中/投出次数、防守篮板数、盖帽数、失误数、抢断数、三分球投中/投出次数、进攻篮板数、助攻次数、犯规次数.问题3的求解应保证内容的连贯性的需要被置于问题4的求解的后面。问题4的求解：论域表示各代表队，已知各个代表队的成绩取决于10个指标：2分球命中率、3分球命中率、罚球命中率、抢断数、盖帽数，即代表队向量为： ，结合统计数据，得到其数值列表如表14： 表14：论域各数值统计表T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T120.550.580.500.390.510.520.530.580.480.530.500.360.310.290.380.280.340.400.400.450.330.230.390.340.710.680.690.700.660.680.670.690.750.640.650.5742493550494147544480393811299117116115101123120106125127814574623755495565487547438411911694124123124127115112106122707172897071738060776861373843153526393842521633141013571113174221114对列表14进行标准化后，运用模糊聚类分析模型，得模糊相似矩阵如表15： 表15：模糊相似矩阵列表1.0000.4060.4460.2590.3640.3560.4550.5540.3600.5180.3490.1310.4061.0000.5520.2440.5010.4640.5680.7040.4410.6780.3780.2360.4460.5521.0000.2930.5170.4980.6220.7440.4710.6440.4470.2730.2590.2440.2931.0000.2750.2570.3240.3950.2330.3440.2690.0610.3640.5010.5170.2751.0000.4490.5570.6580.4300.5790.3970.2370.3560.4640.4980.2570.4491.0000.5350.6530.4010.4890.3980.2520.4550.5680.6220.3240.5570.5351.0000.7930.4850.6870.4890.2940.5540.7040.7440.3950.6580.6530.7931.0000.5620.8400.5820.3480.3600.4410.4710.2330.4300.4010.4850.5621.0000.4680.3340.1990.5180.6780.6440.3440.5790.4890.6870.8400.4681.0000.4490.2880.3490.3780.4470.2690.3970.3980.4890.5820.3340.4491.0000.1700.1310.2360.2730.0610.2370.2520.2940.3480.1990.2880.1711.000通过运用平方法求得模糊相似矩阵的模糊等价矩阵，如表16： 表16：等价模糊相似矩阵列表1.0000.5540.5540.3950.5540.5540.5540.5540.5540.5540.5540.3480.5541.0000.7040.3950.6580.6530.7040.7040.5620.7040.5820.3480.5540.7041.0000.3950.6580.6530.7440.7440.5620.7440.5820.3480.3950.3950.3951.0000.3950.3950.3950.3950.3950.3950.3950.3480.5540.6580.6580.3951.0000.6530.6580.6580.5620.6580.5820.3480.5540.6530.6530.3950.6531.0000.6530.6530.5620.6530.5820.3480.5540.7040.7440.3950.6580.6531.0000.7930.5620.7930.5820.3480.5540.7040.7440.3950.6580.6530.7931.0000.5620.8