高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件2新人教A版选修

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 第一章 1 3二项式定理 1 了解杨辉三角 会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数 2 理解二项式系数的性质并灵活运用 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 答案 问题导学新知探究点点落实 知识点一 杨辉三角 与二项式系数的性质 a b n的展开式的二次项系数 当n取正整数时可以表示成如下形式 思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律 答案在同一行中 每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数相等 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 答案 思考2计算每一行的系数和 你又能看出什么规律 答案2 4 8 16 32 64 其系数和为2n 思考3二项式系数的最大值有何规律 答案n 2 4 6时 中间一项最大 n 3 5时中间两项最大 1 杨辉三角的特点 1 在同一行中 每行两端都是 与这两个1等距离的项的系数 2 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的 即 1 相等 和 答案 2 二项式系数的性质 等距离 二项式系数 2n 2n 偶数 2n 1 答案 返回 类型一与杨辉三角有关的问题例1如图所示 在 杨辉三角 中 从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列 1 2 3 3 6 4 10 5 记其前n项和为Sn 求S16的值 解由题意及杨辉三角的特点可得S16 1 2 3 3 6 4 10 5 36 9 解析答案 反思与感悟 题型探究重点难点个个击破 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 解析答案 跟踪训练1 1 如图数表满足 第n行首尾两数均为n 图中的递推关系类似杨辉三角 则第n n 2 行的第2个数是 解析由图中数字规律可知 第n行的第2个数是 122343477451114115 2 将杨辉三角中的奇数换成1 偶数换成0 得到如图所示的三角数表 从上往下数 第1次全行的数都为1的是第1行 第2次全行的数都为1的是第3行 第n次全行的数都为1的是第 行 第61行中1的个数是 解析观察可得第1行 第3行 第7行 第15行 全行都为1 故第n次全行的数都为1的是第2n 1行 n 6 26 1 63 故第63行共有64个1 递推知第62行共有32个1 第61行共有32个1 2n 1 32 解析答案 解析答案 类型二求展开式的系数和例2已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 解当x 1时 1 2x 7 1 2 7 1 题中等式等号右边为a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 1 当x 0时 a0 1 a1 a2 a7 1 1 2 解析答案 2 a1 a3 a5 a7 解令x 1 则a0 a1 a2 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 由 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 解析答案 3 a0 a1 a7 解由展开式 知a1 a3 a5 a7均为负 a0 a2 a4 a6均为正 由 2 中 得2 a0 a2 a4 a6 1 37 a0 a1 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 37 2187 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c R m n N 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对 ax by n a b R n N 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2在二项式 2x 3y 9的展开式中 求 1 二项式系数之和 2 各项系数之和 3 所有奇数项系数之和 解设 2x 3y 9 a0 x9 a1x8y a2x7y2 a9y9 2 各项系数之和为a0 a1 a2 a9 令x 1 y 1 所以a0 a1 a2 a9 2 3 9 1 3 令x 1 y 1 可得a0 a1 a2 a9 59 又a0 a1 a2 a9 1 解析答案 类型三二项式系数性质的应用例3已知f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1 求展开式中二项式系数最大的项 2 求展开式中系数最大的项 反思与感悟 解令x 1 则二项式各项系数的和为f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍去 或2n 32 n 5 1 由于n 5为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项 解析答案 反思与感悟 展开式的通项公式为 展开式中系数最大的项为 反思与感悟 1 二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项 根据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 1 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 2 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的 需要根据各项系数的正 负变化情况进行分析 如求 a bx n a b R 的展开式中系数的最大项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别为A0 A1 A2 An 且第r 1项最大 应用解出r 即得出系数的最大项 反思与感悟 跟踪训练3已知展开式中的二项式系数的和比 3a 2b 7展开式的二项式系数的和大128 求展开式中的系数最大的项和系数最小的项 当r 4时 展开式中的系数最大 即T5 70 x4为展开式中的系数最大的项 当r 3或5时 展开式中的系数最小 即T4 56x7 T6 56x为展开式中的系数最小的项 解析答案 返回 解析答案 达标检测 1 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 则a8等于 A 180B 180C 45D 45 1 2 3 4 A 解析答案 B 1 2 3 4 解析答案 3 若的展开式的各项系数之和为64 则展开式的常数项为 A 10B 20C 30D 120解析由2n 64 得n 6 B 1 2 3 4 解析答案 4 已知 1 x 8的展开式 求 1 二项式系数最大的项 解因为 1 x 8的幂指数8是偶数 所以由二项式系数的性质知 中间一项 即第5项 的二项式系数最大 2 系数最小的项 解二项展开式系数的最小值应在各负项中确定 由题意知第4项和第6项系数相等且最小 1 2 3 4 返回 规律与方法 1 二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2 求展