【解析版】江苏省淮安市淮阴中学2013届高三下学期3月综合测试数学试卷.doc

江苏省淮安市淮阴中学2013届高三下学期3月综合测试数学试卷一填空题（每小题5分，共70分）1（5分）设集合A=a，2，B=1，2，AB=1，2，3，则a=3解答：解：集合A=a，2，B=1，2，AB=1，2，3，a=3，故答案为32（5分）如果=1+mi（mR，i表示虚数单位），那么m=1解答：解：由，且=1+mi，所以，m=1故答案为13（5分）若函数是奇函数，则a=解答：解：函数是奇函数，f（x）+f（x）=0即loga（x+）+loga（x+）=0loga（x+）（x+）=0x2+2a2x2=1，即2a2=1，a=又a对数式的底数，a0a=故应填4（5分）某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，如图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在13，15（单位：s）内的人数大约是120解答：解：由图知，前面两个小矩形的面积=0.021+0.181=0.2，即频率，600名学生中成绩在13，15（单位：s）内的人数大约是0.2600=120故填1205（5分）设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若mn，n，则mn；若mn，m，则n；若，=m，n，nm，则n；若mn，n，则m其中，所有真命题的序号是解答：解：mn，n，则m或m，；mn，m，则n或n；根据面面垂直的性质，在其中一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面，；，nn，又mn，m，；故答案是6（5分）阅读程序：输出的结果是 2，5，10解答：解：根据题意可知循环题执行3次，I分别取1，3，5当I=1时，S=2当I=3时，S=5当I=5时，S=10故答案为：2，5，107（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 18解答：解：画出可行域，得在直线2xy=2与直线xy=1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为188（5分）甲盒子里装有分别标有数字1.2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从甲盒子里装有的4张卡片乙盒子里装有2张卡片中各抽一张有C41C21种取法，而满足条件的2张卡片上的数字之和为奇数的有1，4，；2，1；4，1；7，4共有四种不同的结果，由古典概型公式得到P=，故答案为：9（5分）函数f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，解答：解：f（x）=sin2xcosx=1cos2xcosx=+，x0，1cosx1，当cosx=1时，f（x）取得最小值，即f（x）min=；当cosx=时，f（x）取得最大值，f（x）max=；函数f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，故答案为：，10（5分）已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若，则的值为12解答：解：根据题意，设M是线段AB的中点，得，因此又OAB中，OM是AB边上的中线=即，=故答案为：1211（5分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1x2），则实数a的取值范围是1，2e）解答：解：f（x）=，故函数f（x）在（，2）上是增函数，在2，+）上也是增函数由于f（x1）=f（x2）=a（x1x2），故函数f（x）在（，+）上不是增函数当x2时，f（x）（0，2e ），当x2时，f（x）f（2）=1，即f（x）1，+）由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有 1a2e，故答案为1，2e）12（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是解答：解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a|PF2|=2a=2d，即d=，而|PF1|（ac，a+c），即2d=，所以得到，由得：+20，为任意实数；由得：+320，解得或（舍去），所以不等式的解集为：，即离心率e，又e1，所以椭圆离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）13（5分）（2011浦东新区三模）已知数列an是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列Sn中的唯一最小项，则数列an的首项a1的取值范围是（30，27）解答：解：因为数列an是以3为公差的等差数列；所以：=n=+（）对称轴n=若S10是数列Sn中的唯一最小项，9n10，即30a127故答案为：（30，27）14（5分）函数f（x）=ax22（a3）x+a2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为14解答：解：利用求根公式解得x=，x1=1+，x2=1+，要使函数至少有一个整数零点，则，和中至少一个为整数，因为a为负整数，经验证，当a=4时，=2，当a=10时，=1，故所有的a值的和为14，故答案为：14二解答题（解答要给出必要的文字说明和演算步骤，共90分）15（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=，cosB=（1）求tanC的值；（2）若ABC最长的边为1，求b边及ABC的面积解答：解：（1）在ABC中，tanA=，cosB=，tanB=，又A+B+C=，tanC=tan（A+B）=tan（A+B）=1；（2）由（1）知tanC=1，最长的边为c，即c=1且C=，sinC=，又cosB=，tanA=，sinB=，sinA=，由正弦定理得：=，b=c=1=，SABC=bcsinA=1=16（14分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，底面ABCD为菱形，BAD=60，P为AB的中点，Q为CD1的中点（1）求证：DP平面A1ABB1；（2）求证：PQ平面ADD1A1解答：证明：（1）连接DB，由菱形ABCD可得AB=AD，又DAB=60，ABD是等边三角形，P为AB的中点，DPABAA1平面ABCD，AA1DP又AA1AB=A，DP平面A1ABB1（2）取CD的中点E，连接PE，EQ，又Q为CD1的中点，根据三角形的中位线定理可得EQDD1，EQ平面ADD1A1DD1平面ADD1A1EQ平面ADD1A1由于平行四边形APED可得EPAD，同理可得EP平面ADD1A1EPEQ=E，平面EPQ平面ADD1A1PQ平面ADD1A117（14分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0x2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度解答：解：（1）当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离，当0x12时，y=；当12x25时，y=5x+10y=；（2）当0x12时，y=，x=12m/s时，ymin=290s；当12x25时，y=5x+102 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，ymin=250s290250，x=24m/s时，ymin=250s答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s18（16分）已知椭圆的离心率为，且过点P（4，），A为上顶点，F为右焦点点Q（0，t）是线段OA（除端点外）上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N（1）求椭圆方程；（2）若圆N与x轴相切，求圆N的方程；（3）设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围解答：解：（1）e=，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k0，故椭圆方程为，P（4，）在椭圆上，+=1，解得k=1，椭圆方程为+=1；（2）KAP=，则直线AP的方程为y=x+4，令y=t（0t4），则x=（4t），M（，t），Q（0，t）N（，t），圆N与x轴相切，=t，由题意M为第一象限的点，则由=t，解得t=，N（，），圆N的方程为=；（3）F（3，0），kPF=，直线PF的方程为y=（x3），即12x5y36=0，点N到直线PF的距离为=，d=+（4t），0t4，当0t时，d=，此时，当t4时，d=（5t6）+（4t）=，此时，综上，d的取值范围为，）19（16分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a0）在x=0处取得极值1（1）设点A（a，f（a），求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程（2）若过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围；（3）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1），（x2，f（x2）（x1x2）处的切线都过点（0，0），证明：f（x1）f（x2）解答：（1）证明：由f（x）=x3+ax2+bx+c（a0），得：f（x）=x2+2ax+b，由题意可得f（0）=0，f（0）=1，解得b=0，c=1经检验，f（x）在x=0处取得极大值设切点为（x0，y0），则切线方程为即为把（a，f（a）代入方程可得，即，所以x0=a即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条所以切线方程为；（2）解：因为切线方程为，把（0，0）代入可得，因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根设（a0）g（x）=2x+2ax，令g（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=a当x（，0）时，g（x）0，g（x）为增函数，当x（0，a）时，g（x）0，g（x）为减函数，当x（a，+）时，g（x）0，g（x）为增函数，所以，当x=0时函数g（x）取得极大值为g（0）=10当x=a时函数g（x）取得极小值，极小值为因为方程有三个根，故极小值小于零，所以（3）证明：假设，则，所以（x1x2）（x1+x2）=2a（x1x2）因为x1x2，所以x1+x2=2a由（2）可得，两式相减可得因为x1x2，故把x1+x2=2a代入上式可得，所以，所以又由，这与矛盾所以假设不成立，即证得20（16分）已知数列an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和（1）当首项a1=2，公比q=时，对任意的正整数k都有（0c2）成立，求c的取值范围；（2）判断SnSn+2的符号，并加以证明；（3）是否存在正常数m及自然数n，使得lg（Snm）+lg（Sn+2m）=2lg（Sn+1m）成立？若存在，请求出相应的m，n；若不存在，说明理由解答：解：（1）数列an的首项a1=2，公比q=，=2，而0c2，对任意的正整数k都有成立，Sk+1c2Sk2c，化为c2SkSk+1，把Sk，Sk+1代入计算得，先研究函数g（x）=的单调性，x（0，+）y=2x在x（0，+）上单调递增，函数在x（0，+）上单调递减，函数y=在x（0，+）上单调递增即g（k）=关于k单调递增，又对任意的k恒成立，当k=1时g（k）取得最小值，0c=1，即