高考数学 5.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版 .ppt

第二节等差数列及其前n项和 三年19考高考指数 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点 2 运用归纳法 累加法 倒序相加法 方程思想 函数的性质解决等差数列问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 与其他知识点结合则以解答题为主 1 等差数列的定义 1 条件 一个数列从 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 2 公差 是指常数 一般用字母d表示 3 定义表达式 n n 第2项起 an 1 an d 即时应用 判断下列数列是否为等差数列 请在括号中填写 是 或 否 1 数列 2 数列a 2a 3a 4a 3 数列 an 满足an an 1 1 n 2 n n 4 数列 an 满足an 1 an 1 n 2 n n 解析 根据等差数列的定义知 2 3 是等差数列 1 不是等差数列 4 中数列 an 从第2项起满足等差数列的定义 第1项不一定满足 故不是等差数列 答案 1 否 2 是 3 是 4 否 2 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d 即时应用 1 在等差数列 an 中 a5 10 a12 31 则数列的通项公式为 2 等差数列10 7 4 的第20项为 解析 1 a5 a1 4d a12 a1 11d an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 2 由a1 10 d 7 10 3 n 20 得a20 10 20 1 3 47 答案 1 an 3n 5 2 47 3 等差中项若a a b成等差数列 则a叫做a b的等差中项 且a 即时应用 1 a 是a a b成等差数列的 条件 2 若等差数列 an 的前三项依次为a 2a 1 4a 2 则它的第五项为 解析 1 若a 可知2a a b 可推出a a b a 所以a a b成等差数列 反之 若a a b成等差数列 则a 故a 是a a b成等差数列的充要条件 2 由题意知2a 1是a与4a 2的等差中项 即解得a 0 故数列 an 的前三项依次为0 1 2 则a5 0 4 1 4 答案 1 充要 2 4 4 等差数列的前n项和公式 1 已知等差数列 an 的首项a1和第n项an 则其前n项和公式sn 2 已知等差数列 an 的首项a1与公差d 则其前n项和公式sn 即时应用 1 在等差数列 an 中 a1 5 an 95 n 10 则sn 2 在等差数列 an 中 a1 100 d 2 n 50 则sn 3 在等差数列 an 中 d 2 n 15 an 10 则sn 解析 1 2 100 49 2550 3 由an a1 n 1 d得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 答案 1 500 2 2550 3 360 等差数列的基本运算 方法点睛 1 等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个 如果已知项数n 首项a1和第n项an 则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用 如果已知项数n 首项a1和公差d 则利用sn na1 在求解等差数列的基本运算问题时 有时会和通项公式结合使用 例1 1 2011 广东高考 等差数列 an 前9项的和等于前4项的和 若a1 1 ak a4 0 则k 2 2011 湖北高考 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共为3升 下面3节的容积共4升 则第5节的容积为 升 3 2011 福建高考 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 求数列 an 的通项公式 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解题指南 1 根据s9 s4求公差d 利用ak a4 0求k 2 转化为关于a1 d的方程组 先求a1 d 再求a5 或直接转化为关于a5 d的方程组求解 3 求出公差d后直接写出an 求出sn 根据sk 35求k的值 规范解答 1 s4 s9 解得则由ak a4 0 得 k 10 答案 10 2 方法一 设自上第一节竹子容量为a1 依次类推 数列 an 为等差数列 又a1 a2 a3 a4 4a1 6d 3 a7 a8 a9 3a1 21d 4 解得 方法二 设自上第一节竹子容量为a1 则第九节容量为a9 且数列 an 为等差数列 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 联立 解得答案 3 设等差数列 an 的公差为d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 由 知an 3 2n 由sk 35得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7 互动探究 本例第 3 题中 若将 a1 1 a3 3 改为 a1 31 s10 s22 试求 sn 这个数列的前多少项的和最大 并求出这个最大值 解析 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 方法一 由 知sn 32n n2 当n 16时 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 an a1 n 1 d 31 n 1 2 2n 33 由an 0得 n 当n 16时sn有最大值 s16 32 16 162 256 反思 感悟 1 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程解决问题的思想 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 变式备选 在等差数列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a66 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 解析 1 方法一 设首项为a1 公差为d 依题意得解方程组得 a66 23 66 1 4 237 方法二 由得由an am n m d 得a66 a45 66 45 4 237 2 解方程组得 3 a6 10 s5 5 解方程组得 a8 a1 7d 5 7 3 16 s8 8a1 28d 8 5 28 3 44 等差数列的判定 方法点睛 等差数列的判定方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证sn an2 bn 提醒 在解答题中常应用定义法和等差中项法 而通项公式和前n项和的公式的方法主要适用于选择题 填空题中的简单判断 例2 已知数列 an 中 n 2 n n 数列 bn 满足 n n 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解题指南 利用定义法证明数列 bn 是等差数列 先求bn 再求an 最后利用函数的单调性求最大项和最小项 规范解答 1 又 数列 bn 是以为首项 以1为公差的等差数列 2 由 1 知则设则f x 在区间 和 上为减函数 当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 反思 感悟 本例中在用定义法证明 bn 是等差数列时 不论用bn 1 bn还是用bn bn 1需要考虑运算中是否包含了b2 b1这一运算 这是容易被忽视的问题 变式训练 1 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an an 1 an 则数列 an 的通项公式为 解析 an 1 an an 1 an 数列是公差为 1的等差数列 且答案 an 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2sn sn 1 0 n 2 求证 是等差数列 证明 an sn sn 1 且an 2sn sn 1 0 n 2 sn sn 1 2sn sn 1 0 n 2 又sn 0 数列是以2为首项 2为公差的等差数列 等差数列的性质及应用 方法点睛 等差数列的常见性质 1 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ap aq 2ak 2 若 an bn 都是等差数列 k m r 数列 kan mbn 仍为等差数列 3 sm s2m sm s3m s2m仍为等差数列 m n 4 am an m n d d m n m n n 5 项数为偶数2n的等差数列 an s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd 6 项数为奇数 2n 1 的等差数列 an s2n 1 2n 1 an 1 例3 1 2011 辽宁高考 sn为等差数列 an 的前n项和 s2 s6 a4 1 则a5 2 已知等差数列 an 中 a1 a2 a3 40 a4 a5 a6 20 则前9项之和等于 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 最后6项的和为180 sn 324 n 6 求数列 an 的项数及a9 a10 解题指南 1 根据s2 s6 先求a4 a5的值 再求a5 2 根据s3 s6 s3 s9 s6成等差数列求解 3 根据前6项与最后6项的和求出a1 an 再求n及a9 a10 规范解答 1 s2 s6 s6 s2 a3 a4 a5 a6 0 2 a4 a5 0 即a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 则s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 且s3 40 s6 s3 20 s9 s6 20 20 0 s9 s6 60 答案 60 3 由题意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又 18n 324 n 18 a1 a18 36 a9 a10 a1 a18 36 互动探究 若本例中第 1 题条件不变 改为求此等差数列的前多少项的和最大 并求出最大值 解析 在本例中第 1 题已求解出a5 1 又a4 1 得公差d 2 s4最大 且s4 1 3 5 7 16 反思 感悟 1 在等差数列 an 中 若m n p q 2k 则am an ap aq 2ak是常用的性质 本例第 1 3 题都用到了这个性质 在应用此性质时 一定要观察好每一项的下标规律 不要犯a2 a5 a7的错误 2 本例第 2 题也可先求a1 d 再求a7 a8 a9 但不如用性质简单 变式备选 等差数列 an 的前n项和为sn 已知am 1 am 1 am2 0 s2m 1 38 求m的值 解析 am 1 am 1 2am am 1 am 1 am2 2am am2 0 解得am 0或am 2 又 a1 a2m 1 2am 2m 1 2m 1 am 38 am 0 am 2 2m 1 19 解得m 10 满分指导 等差数列主观题的规范解答 典例 12分 2012 广州模拟 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为sn 1 求an及sn 2 令 n n 求数列 bn 的前n项和tn 解题指南 1 分析题意 列方程组求解 2 将an代入bn后 表示出bn是解题关键 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 7 a5 a7 26 所以有解得a1 3 d 2 3分所以an 3 2 n 1 2n 1 6分 2 由 1 知an 2n 1 所以 9分所以 11分即数列 bn 的前n项和 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 江西高考 设 an 为等差数列 公差d 2 sn为其前n项和 若s10 s11 则a1 a 18 b 20 c 22 d 24 解析 选b 因为s10 s11 所以a11 0 而a11 a1 10d a1 10 2 0 所以a1 20 2 2012 临沂模拟 等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 a7 a11 12 则s13等于 a 52 b 54 c 56 d 58 解析 选a an 为等差数列 a3 a7 a11 3a7 12 a7 4 s13 13a7 13 4 52 3 2011 天津高考 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 n n 若a3 16 s20 20 则s10的值为 解析 由题意知解得答案 110 4 2011 重庆高考 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 解析 a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 a2 a4 a6 a8