高中数学 1.2命题、充分条件与必要条件配套课件 北师大版.ppt

第二节命题 充分条件与必要条件 三年26考高考指数 1 理解命题的概念 2 了解 若p则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 理解必要条件 充分条件与充要条件的含义 1 充分 必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的重点和热点 2 以选择题和填空题为主 由于知识载体丰富 因此题目有一定的综合性 属于中 低档题 1 命题 1 定义 可以判断真假 用 表述的语句 2 特点 能判断真假 3 分类 真命题 假命题 文字或符号 即时应用 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 1 sin45 1 是假命题 2 x2 2x 1 是命题 3 3是12的约数吗 是假命题 4 x2 2x 3 0 是真命题 解析 sin45 1 能判断真假 是命题且为假命题 故 1 正确 x2 2x 1 与 x2 2x 3 0 不能判断真假 不是命题 故 2 4 错 3是12的约数吗 不是陈述句 不是命题 故 3 错 答案 1 2 3 4 2 四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 互逆 互逆 互否 互否 互为逆否 互为逆否 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们具有相同的 两个命题互为逆命题或否命题 它们的真假性 真假性 没有关系 即时应用 1 判断下列命题是真命题还是假命题 填 真 或 假 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 正多边形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 x m 0有实根 的逆否命题 若x 是有理数 则x是无理数 的逆否命题 2 命题 若x2 1 则 1 x 1 的逆否命题是 3 命题 对实数a 若a 0 则a2 0 的否命题是 解析 1 的否命题是 若x2 y2 0 则x y全为零 是真命题 的逆命题是 相似形是正多边形 是错误的 故是假命题 的原命题是真命题 故它们的逆否命题也是真命题 2 1 x 1 的否定是 x 1或x 1 x2 1 的否定是 x2 1 故已知命题的逆否命题是 若x 1或x 1 则x2 1 3 a 0 的否定是 a 0 a2 0 的否定是 a2 0 故已知命题的否命题是 对实数a 若a 0 则a2 0 答案 1 真 假 真 真 2 若x 1或x 1 则x2 1 3 对实数a 若a 0 则a2 0 3 充分条件 必要条件与充要条件 1 若p 则q 为真命题 记p q 则 的充分条件 的必要条件 2 如果既有p q 又有q p 记作p q 则 的充要条件 q也是p的 p是q q是p p是q 充要条件 即时应用 1 设a 0 则 x a a 是 x a 的 条件 2 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 条件 3 若集合a 1 m2 b 2 4 则 m 2 是 a b 4 的 条件 解析 1 当a 0时 x a a x a 但 x a x a a 故 x a a 是 x a 的必要不充分条件 2 1 4m 当m 时 0 方程x2 x m 0有实数解 若方程x2 x m 0有实数解 则 1 4m 0 m m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的充分不必要条件 3 m 2 a b 4 但a b 4 m 2 故 m 2 是 a b 4 的充分不必要条件 答案 1 必要不充分 2 充分不必要 3 充分不必要 四种命题及其关系 方法点睛 1 四种命题关系的判断首先要注意分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 2 命题的等价性当一个命题直接判断真假不容易进行时 可以转而判断其逆否命题的真假 提醒 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题被定为原命题 也就相应有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 例1 1 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 2 命题 若a b 则a 1 b 1 的否命题是 3 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图像不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题三个命题中 真命题的个数是 解题指南 1 2 先分清原命题的条件和结论 再根据四种命题的概念 写出逆命题 否命题 3 在判断四种命题的真假时 可根据原命题与其逆否命题 原命题的逆命题与否命题的等价性来判断 规范解答 1 逆命题是将原命题的结论与条件互换位置 故该命题的逆命题是 若一个数的平方是正数 则它是负数 2 同时否定原命题的条件和结论 所得命题就是它的否命题 故该命题的否命题是 若a b 则a 1 b 1 3 原命题与逆否命题等价 而原命题为真 所以逆否命题为真命题 原命题的逆命题为 若y f x 的图像不过第四象限 则函数y f x 是幂函数 此命题为假命题 又因为逆命题与否命题同真同假 所以否命题为假命题 故真命题的个数是1 答案 1 若一个数的平方是正数 则它是负数 2 若a b 则a 1 b 1 3 1 互动探究 若本例 1 2 中命题不变 写出这两个命题的逆否命题 解析 将原命题的条件和结论互换位置 并且同时否定 所得命题就是它的逆否命题 1 逆否命题是 若一个数的平方不是正数 则这个数不是负数 2 逆否命题是 若a 1 b 1 则a b 反思 感悟 1 对于四种命题真假的判断 关键是分清命题的条件和结论 然后再结合相关的知识进行判断 2 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性 因而 当判断原命题的真假比较困难时 要善于利用命题的等价性进行转化 变式备选 写出 若x 2或x 3 则x2 5x 6 0 的逆命题 否命题 逆否命题及命题的否定 并判断其真假 解析 逆命题 若x2 5x 6 0 则x 2或x 3 是真命题 否命题 若x 2且x 3 则x2 5x 6 0 是真命题 逆否命题 若x2 5x 6 0 则x 2且x 3 是真命题 命题的否定 若x 2或x 3 则x2 5x 6 0 是假命题 充分条件与必要条件的判定 方法点睛 充分 必要条件的判断方法 1 命题判断法通过判断p q与q p是否成立确定p是q的什么条件 2 集合判断法建立命题p q相应的集合 p a x p x 成立 q b x q x 成立 那么从集合的观点看 若a b 则p是q的充分条件 若ab 则p是q的充分不必要条件 若b a 则p是q的必要条件 若ba 则p是q的必要不充分条件 若a b且b a 即a b 则p是q的充要条件 例2 1 2011 天津高考 设集合a x r x 2 0 b x r x0 则 x a b 是 x c 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2012 西安模拟 若a b为实数 则 0 ab 1 是 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解题指南 1 求出集合c及a b 根据两集合的关系判断 2 条件 0 ab 1 中a b的符号有两种情况 应分情况推理 反之 也分两种情况推理或分析特殊情况 规范解答 1 选c 集合c的解集是 x x2 a b x x2 a b c 故选c 2 选d 若0 ab 1 则综上所述 d正确 互动探究 在本例 1 中 条件不变 则 x a c 是 x b 的什么条件 解析 由题中条件知 a c x r x 2 b x r x 0 故 x a c 是 x b 的既不充分也不必要条件 反思 感悟 判断充分 必要条件时应注意的问题 1 要弄清先后顺序 a的充分不必要条件是b 是指b能推出a 且a不能推出b 而 a是b的充分不必要条件 则是指a能推出b 且b不能推出a 2 要善于举出反例 如果从正面判断或证明一个命题的错误不易进行时 可以通过举出恰当的反例来说明 变式备选 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合a b中 p x a b q x b 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 解析 1 在 abc中 a b sina sinb 反之 若sina sinb 因为a与b不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有a b 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然 q p 但 p q 即 q是 p的充分不必要条件 根据原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分不必要条件 3 显然x a b不一定有x b 但x b一定有x a b 所以p是q的必要不充分条件 4 p x 1且y 2 q x 1或y 2 所以p q 但qp 故p是q的充分不必要条件 充分条件 必要条件的应用 方法点睛 充分条件 必要条件的应用解决此类问题一般是先把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 例3 已知集合m x x 3或x 5 p x x a x 8 0 1 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 解题指南 1 利用集合m和m p 通过分析求得a的范围 2 借助 1 的结论 根据充分但不必要条件所满足的关系 确定a的值 规范解答 1 由m p x 5 x 8 得 3 a 5 因此m p x 5 x 8 的充要条件是 a 3 a 5 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 就是在集合 a 3 a 5 中取一个值 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 互动探究 本例中条件不变 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要但不充分条件 解析 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要不充分条件就是另求一个集合q满足所述条件 故 a 3 a 5 是集合q的一个真子集 当 a a 5 时 未必有m p x 5 x 8 但是m p x 5 x 8 时 必有a 5 故 a a 5 是所求的一个必要不充分条件 反思 感悟 解答本例 2 时 需借助 1 的结论 即求某一个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时 一般是先求出这个结论的充要条件 变式备选 已知p x2 8x 20 0 q x2 2x 1 a2 0 且p是q的充分不必要条件 求正实数a的取值范围 解析 由x2 8x 20 0 得x 2或x 10 p x 2或x 10 由x2 2x 1 a2 0 得x 1 a或x 1 a q x 1 a或x 1 a p是q的充分不必要条件 a的取值范围为0 a 3 创新探究 探求结论成立的充要条件 典例 2011 陕西高考 设n n 一元二次方程x2 4x n 0有整数根的充要条件是n 解题指南 直接利用求根公式进行计算 然后用整数等有关概念进行分析 验证 规范解答 因为x是整数 即为整数 所以为整数 且n 4 又因为n n 取n 1 2 3 4 验证可知n 3 4符合题意 所以n 3 4时可以推出一元二次方程x2 4x n 0有整数根 答案 3或4 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 陕西高考 设a b是向量 命题 若a b 则 a b 的逆命题是 a 若a b 则 a b b 若a b 则 a b c 若 a b 则a b d 若 a b 则a b 解析 选d 原命题的条件是a b 作为逆命题的结论 原命题的结论是 a b 作为逆命题的条件 即得逆命题 若 a b 则a b 故选d 2 2011 湖南高考 设集合m 1 2 n a2 则 a 1 是 n m 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 当a 1时 n 1 可推出 n m 当 n m 时 有a2 1或a2 2 得到a 1或a 不能推出a 1 所以 a 1 是 n m 的充分不必要条件 3 2012 宝鸡模拟 在三角形abc中 a 30 是 sina 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 当a 30 时 sina 不一定成立 如a 150 而sina 当sin