1.2_初等变换与初等矩阵

华南农业大学理学院应用数学系 线性代数 多媒体教学课件 LinearAlgebra 1 2初等变换与初等矩阵 1 2 1初等变换 1 2 2初等矩阵及其性质 1 2 3初等变换与逆矩阵 m个方程 n个未知数 对此线性方程组 可做如下三种同解变换 1 互换两个方程的位置 2 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c 3 将某一个方程加上另一个方程的k倍 这三种变换都称为初等变换 这三种变换都是可逆的 1 2 1初等变换 设方程组 1 经过某一初等变换后变为另一个方程组 则新方程组与原方程组同解 例 解线性方程组 方程之间的变换 矩阵的行之间的变换 方程组的增广矩阵 定义 下面三种变换称为矩阵的行 列 初等变换 交换矩阵的两行 列 以任意非零数 乘以矩阵的某一行 列 的每一个元素 某一行 列 的每个元素乘以同一常数加到另一行 列 的对应元素上去 矩阵的行初等变换 列初等变换统称为矩阵的初等变换 行变换Row 列变换Column 交换i j两行 第i行乘数K 第i行乘数K后加到第j行上去 交换i j两列 第i列乘数K 第i列乘数K后加到第j列上去 矩阵初等变换的符号表示 第j行变 第j列变 第i行变 第i j行变 第i列变 第i j列变 例利用矩阵的行初等变换解方程组 解将方程组的增广矩阵作行初等变换 续解 得同解方程组 原方程组的解为 1 2 2初等矩阵及其性质 定义 由单位阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵有三种类型 1 对调I中的第i j行 得到的矩阵记为 对调I中的第i j列 得到的矩阵记为 2 用不为零的数 乘以I中的第i行 得到的矩阵记为 用不为零的数 乘以I中的第i列 得到的矩阵记为 3 以数 乘以I中的第i行加到第j行去 得到的矩阵记为 以数 乘以I中的第j列加到第i列去 得到的矩阵记为 注意 结论 初等矩阵可逆 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵 性质1 5用初等矩阵左乘某矩阵 其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换 用初等矩阵右乘某矩阵 其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换 例 定理1 2有限个初等矩阵的乘积必可逆 用初等矩阵左乘 右乘 一个矩阵 相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行 列 的初等变换 即 例 我们将第一行和第三行交换一下 可以用 而得到 例 我们将第二列和第三列交换一下 可以用 得到 同学们可以验证一下 小结 矩阵A左乘一个初等矩阵 相当于将A作相应的初等行变换 右乘一个初等矩阵 相当于将A作相应的列初等变换 即如下式子成立 1 2 3 证明 定理1 3可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I 即可逆矩阵A与单位矩阵I等价 定理1 4 为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 证明 必要性 因为 为可逆方阵 故存在初等矩阵 使得 故 现在给出求逆阵的另一种方法 因为 原理 由定理1 4得出求逆矩阵的另一种方法 实际做法 行 原理 1 2 3初等变换与逆矩阵 例求下列矩阵的逆 解 课堂练习 1 利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵 2 利用初等变换求解线性方程组 答案 1 1 2 同理可