高中数学 第一部分 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5.ppt

2 3等差数列的前n项和 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第二章数列 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 考点四 问题1 a1与s1 a2与s1 s2分别有何关系 提示 a1 s1 a2 s2 s1 问题2 an与sn有何关系 1 数列的前n项和对于数列 an 一般地称a1 a2 an为数列 an 的前n项和 用sn表示 即sn 2 an与sn的关系若数列 an 的前n项和为sn 则通项 a1 a2 an an 如图 某仓库堆放的一堆钢管 最上面的一层有4根钢管 下面的每一层都比上一层多一根 最下面的一层有9根 问题1 共有几层 图形的横截面是什么形状 提示 六层 等腰梯形 问题2 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管 如图所示 则这样共有多少钢管 提示 4 9 6 78 问题3 原来有多少根钢管 问题4 能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式sn a1 a2 an 提示 sn a1 a2 an sn an an 1 a1 问题5 试用a1 d n表示sn 等差数列的前n项和公式 1 对任意数列 an 都有an sn sn 1 n 2 但当n 1时 即a1 s2 s1不一定成立 2 等差数列的求和公式中 一共涉及到a1 an sn n d五个量 通常已知其中三个 可求另外两个 方法就是解方程组 思路点拨 利用等差数列求和公式的两种形式求解 一点通 a1 n d为等差数列的三个基本量 an和sn都可以用这三个基本量来表示 五个量a1 n d an sn中可知三求二 一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程 组 求解 这种方法是解决数列问题的基本方法 在具体求解过程中 应注意已知与未知的联系及整体思想的运用 1 已知等差数列 an 中 a2 7 a4 15 则s10等于 a 100b 210c 380d 400 答案 b 2 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若a4 18 a5 则s8等于 a 18b 36c 54d 72 答案 d 3 在等差数列 an 中 已知d 2 an 11 sn 35 求a1和n an 0 an an 1 0 an an 1 2 0 即an an 1 2 n 2 数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1 故数列 an 的通项公式为an 2n 1 一点通 a1 s1是求数列通项的必要之路 an sn sn 1 一般是针对n 2时的自然数n而言的 因此 要注意验证n 1时是否也适合 若不适合时 分段写出通项公式 4 2010 安徽高考 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15b 16c 49d 64 解析 a8 s8 s7 82 72 15 答案 a 5 试求分别满足下列条件的数列 an 的通项公式 1 sn 3n2 n n n 2 sn 3 2n n n 解 1 当n 1时 a1 s1 3 1 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 n 3 n 1 2 n 1 6n 4 显然 a1 2也适合an 6n 4 数列 an 的通项公式为an 6n 4 例3 已知等差数列 an 的前n项和为sn 公差为d 1 求证 sn s2n sn s3n s2n 成等差数列 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 求s110 思路点拨 1 利用等差中项证明 2 利用等差数列性质与整体代换思想求解 或建立方程 组 计算 精解详析 1 先证明sn s2n sn s3n s2n成等差数列 sn a1 a2 an s2n sn an 1 an 2 a2n a1 nd a2 nd an nd a1 a2 an n2d sn n2d s3n s2n a2n 1 a2n 2 a3n a1 2nd a2 2nd an 2nd a1 a2 an 2n2d sn 2n2d sn s3n s2n 2sn 2n2d 2 sn n2d 2 s2n sn sn s2n sn s3n s2n成等差数列 公差为n2d sn s2n sn s3n s2n 成等差数列 2 法一 由 1 可知 s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90 s110 s100 成等差数列 设其公差为d 该数列前10项的和为 s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90 s100 10 一点通 等差数列的前n项和常用的性质 1 等差数列的依次k项之和 sk s2k sk s3k s2k 组成公差为k2d的等差数列 6 等差数列 an 的前n项和为sn 若s2 2 s4 10 则s6等于 a 12b 18c 24d 42 解析 s2 s4 s2 s6 s4成等差数列 即2 8 s6 10成等差数列 s6 24 答案 c 7 等差数列 an 中 a2 a7 a12 24 求s13 例4 12分 在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 试求前n项和sn的最大值 思路点拨 可先由已知条件求出公差 进而得前n项和公式 从而利用二次函数求最值的方法求解 也可以先求得通项公式 再利用等差数列的性质求解 法三 先求出d 2 同法一 由s17 s9 得a10 a11 a17 0 4分 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 8分 d 20 a13 0 a14 0 故n 13时 sn有最大值169 12分 8 已知数列 2n 19 那么这个数列的前n项和sn a 有最大值且是整数b 有最小值且是整数c 有最大值且是分数d 无最大值和最小值 答案 b 9 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s12中哪一个值最大 并说明理由 1 等差数列前n项和公式的理解等差数列的前n项和公式有两个 要根据题干条件选择适当的公式 必要时可与通项公式列方程组求解问题 2 等差数列的前n项和的性质等差数列前n项和性质是高考的热点 要熟练掌握 并且要根据题目特点灵活运用 运用这些性质 可以简化运算量 提