第三章-热辐射的基本定律

热辐射的基本定律 Email 3 1相关定义 在一定温度下 任何物体总在发射辐射能 也总是在吸收由周围其他物体发射来的辐射能 但达到辐射平衡时 物体辐射的能量和吸收的能量相等 一般而言 投射到固体 或液体 物质表面上的辐射一部分被吸收 而其余部分被反射 常把物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数 相应地物体反射的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的反射系数 3 1相关定义 在所有频率上吸收所有的入射的辐射而无反射的理想的完全不透明的材料定义为绝对黑体 简称黑体 显然 黑体的吸收系数为1 反射系数为0 黑体除了是一完全的吸收体外 也是一个完全的发射体 这是因为如果没有能量的发射 物质所吸收的能量将使它的温度升高 黑体辐射的概念对于了解实际物质的热发射是十分重要的 因为黑体的辐射谱代表了一个标准 相对于这个辐射标准 可以表述某种物质的辐射 3 2黑体 黑体的物理模型从外界进入小孔的大部分辐射通量 不管腔壁的材料和表面性质如何 都将被腔体所捕获 在腔体内发射多次反射 直到所有的能量被腔壁吸收 任何进入腔体的通量再从小孔逸出的几率如此之小 以致可以认为腔体内壁是全黑的 3 2 1黑体发射 黑体发射与吸收过程相反 由腔壁任意小面积所发射的通量将反复受到反射 且每发射一次 通量将由于吸收而衰减 但又被重新发射所增强 直至发射和吸收相对于腔壁温度而达到平衡状态 对于小孔黑体的情况 由于腔壁具有一定的温度 它也会发出热辐射 又因空腔和外界绝热 密闭 因此热辐射场存在于空腔的内部 假定空腔已达到辐射平衡 腔壁和腔内辐射场的温度均为T 这时 由于电磁波和腔壁原子之间的相互作用 体系建立起热力学平衡 记在频率间隔内黑体辐射的能量密度为 试验证明 满足 3 2 2黑体辐射基本定律 3 2 2黑体辐射基本定律 i 基尔霍夫定律 只是频率f和温度T的函数 与辐射空腔的性质无关 又由于电磁波以光速c传播 波长和频率f存在系 因此 也可认为 在波长间隔为内辐射场的能量密度只是温度T和波长的函数 ii 维恩位移率 试验发现 当波长很小和很大时 都很小 曲线有极大值存在 在不同温度下 曲线的极值点的数值不同 和相应的温度T之间满足 3 2 2基本定律 iii 斯特潘 波尔兹曼定律 将对频率从0到作积分 可得出辐射场中单位体积的能量 即场能密度u 根据基尔霍夫定律 只是f和T的函数 对f从0到作定积分后 u仅是温度T的函数 试验发现 u和温度T的4次方成正比 满足 此式称为斯特潘 波尔兹曼定律 3 3热辐射的经典统计理论 在建立热辐射统计理论之前 先给予一个定理 从动力学观点来看 一个连续振动的体系相当于一组谐振子 从连续振动体系发出的波等价于一组谐振子作简谐振动发出的简谐波的叠加 经典统计理论就是建立在这一定理上经过一系列推导 应用波尔兹曼统计和能量均分定理推导出了瑞利 金斯公式 3 3 1瑞利 金斯公式 公式中 在经典统计理论推导中应用了能量均分定理 即能量E中每个平方项的平均值等于 1 2 kT 谐振子的平均能量为 分析瑞利 金斯公式可得到三点结论 i 瑞利 金斯公式虽然具有维恩位移律的形式 但却不存在真正的维恩位移 瑞利 金斯公式给出的维恩位移 亦即b 0 这显然与维恩位移律的试验结果b 0 2897cm k不一致 ii 出现紫外灾难 瑞利 金斯公式只在低频部分与黑体辐射的试验结果相符 在高频部分 在从约相当于紫外线的频率开始 理论结果和试验结果有显著的分歧 理论公式在时 但试验结果在时 iii 瑞利 金斯公式不满足斯特潘 波尔兹曼定律 由瑞利 金斯公式 电磁场的场能密度是发散的 这当然是个在物理上无法接受的结果 3 3 1瑞利 金斯公式 在解决空腔辐射问题的统计法有两种不同的方法 但两种方法给出了完全相同的答案 从历史上看 第一种方法是普朗克提出的方法 考虑空腔内电磁波的简正模 与振动弦的谐波相似的问题 普朗克改进了经典能量均分定理给出的每一个简正模的平均能量的表达式 第二种方法是把辐射当作一种由辐射量子组成的气体 即当作遵守BE统计法的光之来处理 3 3 2Planck定律 3 3 2Planck定律 Planck定律描述了黑体辐射的频率分布 建立了单频谱亮度与频率和温度之间的关系 3 2功率 温度对应关系 考虑一种情况 一个无损微波天线置于保持在恒定温度T的黑体闭室内的情况 如图所示 图1 a 图中放在温度为T的黑体外壳内的天线给出的功率等于 b 图中装在同样温度的黑体外壳中的电阻给出的功率 假设每个都与带宽为的匹配接收机相连 天线所接收的黑体闭室发射的功率为 若检测功率限于一窄带内 则在 近似为常数 则有 3 1 3 2 由天线辐射图立体角的定义 通过与有效面积 此时 式 3 2 变为 在微波遥感中 该结果具有十分重要的意义 功率和温度间的直接线性关系导致了可交换使用这两个术语 3 3 奈奎斯特对温度为T的电阻导出了类似的一个结果 如图1 1 b 他证明了电阻端的资用噪声功率是 从带宽为的理想接收机的观点出发 连接到接收机输入端的天线等效于一个电阻 称作天线辐射电阻 虽然两种情况下接收机都与 电阻 连接 但在图1 1 b 的实际电阻的情况 它的输出端的资用噪声功率取决于电阻的物理温度 而在天线的情况 它的输出功率取决于黑体外壳的温度 黑体外壳的壁离天线可以是任意的距离 此外 天线结构的物理温度与它的输出功率无关 只要天线是无损的 3 4 3 4非黑体辐射 黑体是理想化了的物体 在温度T的热力学平衡下 黑体辐射的能量不低于同一温度T的任何其他物体辐射的能量 且黑体是完全的吸收体 实际物体称为灰体 它的发射少于黑体的发射 且未必吸收所有入射到它上面的能量 由瑞利 琼斯公式 在微波范围内 对于窄带 黑体在温度T的亮度是 讨论半无限材料 若它的物理温度为T 可能随方向而变的亮度是 定义黑体等效辐射测量温度 假设取类似与 3 5 的形式 3 5 3 6 这种温度通常称作亮温度 材料的亮温度与同一温度时的黑体的亮度之比定义为发射率 因为 因而任意一种材料的亮温度总是小于或等于它的物理温度T 3 4 1视在温度 现在来讨论图2所示天线 从任何一个特定方向入射到天线的辐射可能包括有地物本身的辐射 大气本身发射的向上辐射 以及被地物反射到天线方向的向下发射的大气辐射 此外 当地物发射的辐射和地物自身发射的辐射穿过介于地物和天线之间的大气传播时 它们将被衰减 3 7 为确定天线输出端功率与天线所观测的 景物 的辐射之间的关系 把问题分两部讨论 首先确定天线输出功率与视在辐射测量温度分布的关系 其次再确定与辐射源的关系 是一黑体等效温度分布 代表着入射到天线能量的亮度分布 采用前面定义材料亮温度的方式 来定义 3 8 注 当所讨论的问题涉及表面或体积的自身辐射时 我们采用 亮温度 这个术语 而当所讨论的问题涉及入射到天线的能量时 采用 视在温度 这个术语 通常借助于测量接收机输出电压对置于接收机输入端 在天线的位置 匹配电阻的物理温度的函数来建立微波辐射计接收机传递函数 这个方法基于电阻所提供的噪声功率正比与它的物理温度 对应于天线提供给接收机的功率P可以定义一个等效温度 使在这个温度时电阻提供的噪声功率为P 因此 3 4 2天线温度 对于用视在温度来定义亮度分布的非黑体 接收功率为 3 9 3 10 将 1 9 式引入此式 得 3 11 称作天线辐射测量温度 又由天线辐射图立体角公式 为 3 13 3 12 3 4 3各种辐射测量温度的关系提要 图3是图2的等效框图 对于一无损天线 由天线温度所代表的天线的天线输出功率等于对天线方向图加权的视在温度分布的积分 对于每一个方向 由两个辐射源组成 这两个辐射源的辐射都从方向入射到天线 第一个源是大气的自发射 第二个源是在地物表面发出的 它包含两个成份 表示地物的自身发射 它是在方向上被地物散射的能量的辐射测量温度 的主要的源是向下发射的大气辐射 用表示 当能量穿过地物表面和天线之间的大气时 这个组合项按大气损耗因子而衰减 根据式 3 13 等于视在温度分布按天线加权函数在立体角积分 并按加权函数的积分归一化 其积分就是辐射方向图立体角 图2天线温度 视在温度以及亮度温度之间的关系示意图 图3天线温度 视在温度以及亮度温度之间的关系方框图 3 5天线效率 3 5 1波束效率 微波辐射计是一个被动式仪表 因此 设计者必须借助天线辐射方向图的形状以获得分辨力 理想地 人们要设计一个具有窄的笔形波束而没有旁瓣的天线 然而 实际上出了通过天线主瓣接收的热辐射外 天线还通过辐射方向图的其余部分接受其他的辐射 为了估计这些不希望的贡献的重要性 把式 3 13 分子中的积分分成两部分 一部分代表主瓣的贡献 另一部分代表从主瓣以外各方向所接收到的贡献 3 14 把式 3 14 中第二项称作旁瓣贡献 把量定义为主瓣贡献的有效视在温度 3 15 式中分子和分母中的积分是在天线辐射方向图的主瓣所张的立体角上进行的 主波束效率定义为 3 16 类似的 式 3 14 中的第二项等于乘积 其中是天线杂散因子 3 17 定义为旁瓣贡献的有效视在温度 其表示式为 3 18 利用这些新的定义 式 3 14 称为 3 19 图4主瓣和旁瓣对天线温度的贡献 3 5 2辐射效率 上一节讨论的天线温度代表了无损接收天线输出端功率 但是 实际上天线不是无损器件 天线接受或发射部分能量以热损耗的形式被天线材料吸收了 在天线端口的接收功率与入射功率之比定义为天线辐射效率 为了说明天线欧姆损耗对接收功率的影响 当从接收机看时 定义为有损天线的天线温度 根据功率 温度对应原理 是和的乘积 但是一个有损器件也是一个辐射器 无源器件所发射的噪声功率由噪声温度表征 为 式中L是器件的损耗因子 功率传输系数的倒数 是它的物理温度 对于辐射效率为的天线 它的噪声温度由上述方程给出 其中 因此 接收的辐射 通过天线传递的辐射 天线自发射的辐射 或 3 20 把式 3 19 带入到式 3 20 得 3 21 3 5 3辐射计信号检测 对于辐射计是信号 它包含着被观察的景物的发射特性的信息 明确的说 辐射测量遥感的目的是确立辐射计输出电压与的关系 系指由天线主瓣所勾画出的分辨单元的视在温度 由匹配负载产生的噪声功率与它的物理温度成线性关系 电压可以标定成温度读数 因此 可把看作是测量量 是从这个测量中被估算的量 对解式 3 21 得到 3 22 上述方程呈线性方程的形式 其中1 是比例因子 后两项代表偏置项 如果 和是已知量 那么很容易地从求得 采用热敏电阻可很容易地监测天线结构的物理温度 这三个参数确定了式 3 22 中前两项的系数和最后一项的整个数值 因为乘积 的倒数是的系数 所以这个乘积的测量误差将不仅构成的绝对误差 由于最后一项 而且引起相对误差 因为第一项中的误差是相乘的 所以 为了得到的一个好的估值 精确测量是绝对有必要的 式 3 22 的中间项取决于主波束效率和旁瓣视在度 后者是主瓣以外的天线波束图形状和 景物 发射特性的函数 其值可能在很范围内变化 对于指向地球的机载或宇宙飞行器系统 它的 景物 是不断变化的 海洋上空除外 因而式中第二项的贡献明显地与时间不是无关的 图5给出了主波束效率的几个不同值时第二项数值对的函数图 为了把这一项的数值压低 将把天线设计得具有尽可能高的值 结论 辐射计测量的精度和准确度明显地取决于辐射效率和主波束效率的大小 以及这些参量的已知的精度 图5对于主波束效率的几个不同的值 旁瓣因子对入射旁瓣亮温度的函数 3 6辐射传递理论 现在讨论图7所示的场景 用两个过程 消光和发射 来描述辐射和物质的相互作用 若辐射通过媒质时它的强度受到衰减 称之为消光 若媒质使辐射的能量增加 称之为发射 通常 这个相互作用是由同时发生的两个过程构成的 3 6 1消光 图6穿过无限小圆柱的辐射传递 研究一个小圆柱体 它的横截面为dA 厚度为dr 材料的密度为 亮度垂直投射到这个圆柱体的下底面 如图6所示 由于在厚度dr范围内传播 消光引起的亮度损失为 3 23 式中 B 亮度 媒质的消光系数 图7在辐射计测量遥感中几个最感兴趣的配置方式 a 向上看的辐射计 b 光滑表面边界 c 粗糙表面边界 d 两层地物 也称为功率衰减系数 入射辐射的能量损失可能是被材料吸收 散射 或者二者皆有 所谓吸收损耗 指的是能量转化为其他的能量形式 例如热 所谓散射损失 指的是能量传播到除入射辐射方向之外的其他方向 吸收和散射过程是线性过程 因此消光系数可表示为吸收系数和散射系数之和 3 24 有时用媒质的物理性质 譬如密度 来表示消光系数 以及和 是方便的 在这种情况下 3 25 式中 材料的密度 质量消光系数 质量吸收系数 质量散射系数 3 6 2发射 小圆柱体在垂直r dr处的上底面的方向发射的亮度的微分量 代表能量 为 3 26 式中和是源函数 分别说明方向的热发射和散射 因在局地在热平衡条件下 热发射必定等于热吸收 故称作吸收源函数 为了导出和求解一般形式的传递方程 为此 引入单散射反照率 3 27 并从式 3 25 得 3 28 利用式 3 27 和式 3 28 把式 3 26 写成这样的形式 3 29 最后把式 3 29 方括号中的量称为有效总源函数J 3 30 利用式 3 30 3 31 3 6 3微分方程 垂直与圆柱体的上底面方向离开圆柱体的亮度B r dr 和垂直入射到圆柱体的下底面的亮度B r 之间的差等于发射超过消光的量 3 32 将式 3 23 和式 3 26 代入上式得 令 3 33 3 34 称作光学厚度增量 将式 3 34 代入式 3 33 并整理 得到微分方程 3 35 此式称为传递方程 B和J是在点定义的并且传播方向为方向 3 6 4形式解 现在来讨论由消光系数和源函数J所表征的半无限媒质 图8中的 z区域 的一般情况 在边界z 0处方向的亮度给定为感兴趣的是媒质内部点r处方向上的亮度B r 图8传递方程的几何示意图 引入沿行程到的光学厚度 3 36 现在讨论沿着图8所示的路径在任意点的传递方程 用乘式 3 34 两边得到 3 37 式中是在边界r 0和点之间媒质的光学厚度 对上式进行简化整理后得到传递方程的形式解 上述解说明在任意点r沿方向传播的亮度由两项确定 第一项是在边界处 方向传播的 亮度B 0 按照因子衰减后的值 这个衰减是由于0到r之间的材料引起的消光所致 第二项代表沿着传播路径的材料所引起的发射和散射 这个积分是每个长度为的无限小厚度的贡献之和 根据式 3 31 在点处一层的贡献为微分发射亮度 由于点和观察点r之间的媒质引起的消光在数值上依照因子而衰减 3 38 3 7吸收和散射媒质的视在温度 式 1 38 给出的一般解是用亮度B表示的 在微波范围 可以采用普朗克定律的瑞利 琼斯近似形式以视在温度来定义B r 3 39 3 7 1源函数 基尔霍夫定律指出在局部热力学平衡条件下热发射必定等于热吸收 由此得出这样的结论 吸收源函数是各向同性的并且是由普朗克定律给出的 再次假定瑞利 琼斯近似式是适用的 那么 3 40 式中T r 是在r处的媒质的热力学 物理 温度 虽然基尔霍夫定律是在严格的热力学平衡条件下确立的 但是人们发现 如果媒质内部空间温度梯度不太大 仍然与该定律相当精确地吻合 散射源函数是用所有方向入射的辐射来说明方向的散射辐射 如果指定入射辐射方向用单位矢量表示 那么可以表示为 3 41 式中是从方向入射的辐射亮度 称作相函数 它说明了从方向散射到方向的那一份能量 类似于吸收函数 可以用散射的辐射测量温度定义散射源函数 表示如下 3 42 将式 3 39 代入式 3 41 并令后者等于式 3 42 得 3 43 将式 3 40 和式 3 42 代入式 3 30 得到总源函数 3 44 3 7 2一般解 用上述表达式替换式 3 38 中的J r 并用式 3 39 替换B r 化简得 3 45 式中是边界处的视在温度 式中所有各项都是属于方向传播的 一般情况 消光系数由吸收部分和散射部分组成 在没有吸收时 把这种过程看作纯散射过程 而当吸收是唯一的消光过程时 称之为纯吸收过程 然而 微波与地物和大气媒质的相互作用 很少遇到由纯散射所描述的情况 当散射和吸收二者都存在时 正如式 3 45 给出的 的一般解需要计算包含散射辐射测量温度的积分 而本身有是在立体角内由对所有方向进行的积分所确定 因此 媒质中每一点的解依赖于与其他各点的相互作用 这导致了公式非常复杂 如果单散射反率 问题的复杂性就大大降低了 3 7 3无散射的媒质中的辐射传递 无散射媒质中 式 3 45 简化为 3 46 式中 3 47 对于离底面为距离r的观察地物的辐射计 式 3 46 中的第一项表示地物的视在温度按照因子衰减后的值 这个衰减因子说明了地物和辐射计之间大气的吸收 第二项表示在辐射计方向上大气本身的向上辐射 3 7 4无散射假设的适用性 在晴朗天空条件下 地球大气在微波范围内是没有散射的 而当云和 或 雨存在时 是否可以忽略小水滴的散射取决于小水滴的密度和相对波长而言的小水滴的分布 通常 对于大多数的气象条件 若频率低于10GHz可不考虑散射效应 包含在媒质内部所引起的散射常常称为体散射 它明显区别于两种不同媒质分界面引起的散射 如土壤媒质和大气之间的边界 后者称为面散射 联系式 3 46 部分地是从地物到大气的向上发射 通过边界的投射系数把这种发射与分界面之下紧靠分界面的某点的向上发射联系起来 投射系数取决于地物媒质 相对于空气 的介质特性和表面的几何形状 至此 已经简要介绍了地物与俯视辐射计之间通过大气的辐射传递 为了计算地物的自发射辐射 需要对地物媒质本身求解式 3 45 以便确定恰好在分界面下面某点的向上发射的辐射 如果媒质的单反射反照率是非常小的 可以用式 3 46 否则 还应考虑体散射 物质媒质内的吸收取决于媒质的平均电导率 而散射取决于媒质的介质特性的空间非均匀程度和 或 各向异性的程度 这种非均匀性和各向异性的程度是以波长单位量度的 考虑干雪的例子 密度为的雪团由60 的空气和40 的冰组成 冰的密度是 空气的相对电容率为1 冰的微波电容率为3 15 因此 这种媒质的平均电容率是雪中冰颗粒直径的典型尺寸是0 1 5mm的量级 如果传播波的波长比冰颗粒的尺寸以及颗粒之间的平均距离大得多 那么媒质在电磁上表现为均匀的 并且不发生明显的散射 但是 如果波长与冰颗粒的尺寸是同一数量级 那么这种空间非均匀性将引起体散射 因为冰颗粒的电容率与背景的电容率之比是3 15 1 0 因此 在1GHz时 在空气中 在雪中 可以把雪看作纯吸收性的 而在30GHz时 在雪中 必须同时考虑吸收和散射 3 8大气和地物的视在温度 3 8 1向上大气辐射 图9平均分层大气的向上及向下发射贡献 a 向上大气视在温度 地面发射除外 b 向下大气视在温度 讨论图9所示的分层大气 在距离地面高度H处的点观测 大气视在温度用表示 代表地面和观察点之间整个大气路径的最终的向上发射的辐射 并且该观测点是处于相对于表面法线的方向上 3 48 式中 3 49 3 8 2向下大气辐射 如图9 B 所示 类似于前述的情况 可以证明 3 50 这里认为大气是无限的 物理意义 由高度为和垂直厚度为的某一层发射的能量正比于 这个能量在向下传播到地表时由于介于其间的各层的吸收而衰减 衰减因子为 对于从z 0到z H范围内和这种平面分层均匀大气 或 云的特殊情况 表示式称为 3 51 式中和均为常数 容易证明 是由同样的表示式给出的 3 8 3地物和大气的向上辐射 对于分层大气 为 3 52 通常把式 3 52 的第一项中的指数因子的倒数称为损耗因子 3 53 一般情况下 3 54 考虑与坐标中的方位角的 极化的依从关系 把符号推广 定义 3 55 式中表示观察点的方向 z表示地面之上观察点的高度 p表示的极化类型 图10地物之上高度为H处的视在温度由 1 恰在地物之上一点 z 的收到大气衰减后的地物视在温度和 2 大气向上自贡献部分所组成 从地物之上某一高度H处观测的地物极化视在温度可表示为 3 56 3 9均匀温度剖面分布的均匀地物媒质 如图11 假设从地物的本构参量和物理温度两方面来看地物都是均匀的 媒质1 空气 和媒质2 地物 分界面之上某一点所观察到的亮温度和散射温度的表示式为 3 57 式中 为媒质1以方向极化方式为p入射到媒质2的反射率 是刚好在表面 下面