度高中数学 2.3.2等比数列的前n项和同步辅导与检测课件 苏教版必修5.ppt

2 3等比数列2 3 2等比数列的前n项和 数列 九章算术有一道 耗子穿墙 的问题 今有垣厚5尺 两鼠相对 大鼠日一尺 小鼠亦一尺 大鼠日自倍 小鼠日自半 问几何日相逢 各穿几何 在实际上是一个等比数列求和的问题 他的解法也很简单 答案是两天不足 三天有余 这节内容 我们就来探讨等比数列前n项和的求法 推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题 前n项和公式的导出 注意问题 1 上述证法中 解法一为错位相减法 解法二为合比定理法 解法三为拆项法 各种方法在今后的解题中都经常用 要用心体会 2 公比为1与公比不为1时公式不同 若公比为字母 要注意分类讨论 3 当已知a1 q n时 用公式sn 当已知a1 q an时 用公式 4 在解决等比数列问题时 如已知a1 an n q sn的任意三个 可由通项公式或前n项和公式求解其余两个 前n项和重点性质的证明 sn的简单应用 在等比数列 an 中 a1 an 66 a2 an 1 128 sn 126 求n和q 分析 利用等比数列的性质 将a2 an 1转变成a1 an 从而易求得a1和an 然后再求n和q的值 名师点评 1 解此类问题一般思路为列方程组解出相关量 但运用等比数列的性质就会使问题由繁化简 此题若按一般解法就会很烦琐 因此解题中注意灵活运用性质 2 当已知a1 q q 1 n时 用公式sn 求和方便 如果已知a1 q an 用公式较为方便 等比数列的性质应用 在等比数列 an 中 sm 20 s2m 60 求s3m 分析 运用等比数列前n项和的有关性质进行求解 解析 an 为等比数列 sm s2m sm s3m s2n 即20 60 20 s3m 60成等比数列 s3m 60 80 s3m 140 名师点评 等比数列中 依次每k项之和仍成等比数列 即sk s2k sk s3k s2k 为等比数列 对此性质要熟悉 要注意灵活运用 此题如不用此性质来解 而用求和公式来解过程十分烦琐 变式迁移 1 已知数列 an 是等比数列 sn是其前n项和 a1 a7 a4成等差数列 求证 2s3 s6 s12 s6成等比数列 求等比数列前n项和 求数列1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前n项的和 分析 采用错位相减法进行求和 解析 当a 0时 sn 1 当a 1时 数列变为1 3 5 7 2n 1 则sn n2 当a 1时 有sn 1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1 asn a 3a2 5a3 7a4 2n 1 an 名师点评 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 公比为q 求数列 an bn 的前n项和时 可采用这一思路和方法 2 要善于识别题目类型 特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意 3 在写出 sn 与 qsn 的表达时应特别注意将两式 错项对齐 以便于下一步准确写出 sn qsn 的表达式 等比数列的综合应用 已知数列 an 中 sn是它的前n项和 并且sn 1 4an 2 a1 1 1 设bn an 1 2an 求证数列 bn 是等比数列 2 设cn 求证数列 cn 是等差数列 3 求数列 an 的通项公式及前n项和公式 分析 1 利用sn 1 4an 2及等比数列定义证明 2 利用等比数列的定义证明 3 借助 2 的结果及sn 1 4an 2求解 解析 1 sn 1 4an 2 sn 2 4an 1 2 以上两式等号两边分别相减 得sn 2 sn 1 4an 1 4an 即an 2 4an 1 4an 变形得an 2 2an 1 2 aa 1 2an bn an 1 2an bn 1 2bn 由上可知 数列 bn 是公比为2的等比数列 且由s2 a1 a2 4a1 2 又a1 1 得a2 5 故b1 a2 2a1 3 故bn 3 2n 1 an 2ncn 3n 1 2n 2 当n 2时 sn 4an 1 2 3n 4 2n 1 2 由于s1 a1 1也适合此公式 故所求 an 的前n项和公式为sn 3n 4 2n 1 2 名师点评 本题第 3 问中求数列 an 的前n项和sn时 应避免利用通项公式an 3n 1 2n 2逐项相加求和 即sn a1 a2 a3 an 3 1 1 21 2 3 2 1 22 2 3 3 1 23 2 3n 1 2n 2 因为如若这样 将使计算过程陷入烦琐 同时 根据已知等式sn 1 4an 2 即然已知an 3n 1 2n 2 也完全没有必要逐项相加求和 变式迁移 等比数列的实际应用 某地现有居民住房的总面积am2 其中需要拆除的旧住房面积占了一半 当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下 仍以10 的住房增长率建新住房 1 如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番 那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少 可取1 110 2 6 2 过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少 保留到小数点后第1位 名师点评 本题主要考查阅读能力 分析能力 解题思维障碍主要是对 10 的住房增长率 搞不清楚 要知道 它实际上是上一年住房的增长率 变式迁移 3 某林场原有木材量为a 木材每年以25 的增长率生长 而每年冬天要砍伐的木材量为x 为了实现经过20年达到木材总存量翻两番 求每年砍伐量的最大值 lg2 0 3 基础巩固 1 等比数列 an 的各项都是正数 若a1 81 a5