2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集,集合,则( )ABCD【答案】C【解析】由集合,根据补集和并集定义即可求解.【详解】因为,即集合由补集的运算可知根据并集定义可得故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题.2下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( )ABCD【答案】D【解析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性.【详解】对于A,为偶函数,所以A错误;对于B,为奇函数,且在R上为单调递增函数,所以B错误;对于C,是奇函数,在定义域内不具有单调性,所以C错误;对于D,为奇函数,在R上为单调递减函数,所以D正确.综上可知,D为正确选项.故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题.3已知,则( )ABCD【答案】C【解析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解.【详解】由正切函数的和角公式因为,代入可得故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题.4设,则( )ABCD【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解.【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知所以故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题.5在中,是的中点,是的中点,若,则( )ABCD【答案】A【解析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在中,是的中点,是的中点由平面向量的线性加法运算,可知因为所以 则故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题.6函数的大致图象是（）ABCD【答案】A【解析】利用奇偶性定义可知为偶函数，排除；由排除，从而得到结果.【详解】为偶函数，图象关于轴对称，排除又，排除故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.7函数的单调递增区间为( )ABCD【答案】C【解析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解.【详解】函数所以定义域为,解得或 由复合函数“同增异减”的性质,可知函数的单调递增区间为即为函数的单调递增区间故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题.8若直线是函数图象的一条对称轴,则( )ABCD【答案】B【解析】根据余弦函数的图像与性质,可求得的对称轴,结合及即可求得的值.【详解】函数由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为而为其一条对称轴,所以解得因为所以当时,解得故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题.9已知函数的最大值为2,则( )A-2B0C2D3【答案】B【解析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得的值.【详解】函数的最大值为2所以由周期公式,代入可得则而 所以而所以即故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】分类讨论和两种情况.结合函数的值域为,即可求得的取值范围.【详解】实数且,若函数的值域为,当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立当时,对于函数,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题.11若,且,( )ABCD【答案】B【解析】将平方后化简,结合即可进一步确定及的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得的值.【详解】因为,两边同时平方可得,即则异号又因为,可知,所以所以由正弦的二倍角公式可知根据同角三角函数关系式可得故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题.12已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于的不等式,解不等即可求得的取值范围.【详解】函数,变形后可得所以的图像关于对称由函数单调性可知,当时,函数单调递增因为所以满足变形可得,展开可知因式分解可得解不等式可得即实数的取值范围为故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二、填空题13设向量不平行,向量与平行,则实数_.【答案】【解析】根据平面向量共线基本定理,可设,即可求得的值.【详解】因为向量不平行,向量与平行由平面向量共线基本定理可设则根据向量数乘运算可得解得故答案为:【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题.14计算:_.【答案】2【解析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解.【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得故答案为:【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15若函数是定义在上的偶函数,且,则函数的零点个数为_.【答案】6【解析】根据为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数的图像.由零点定义可知,令,可得.画出的图像,通过判断与图像交点个数即可判断的零点个数.【详解】因为,即是周期为4的周期函数为偶函数,且,画出函数图像如下图所示:令可得.画出的图像如上图所示:由图像可知,与图像共有6个交点所以共有6个零点故答案为:【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象.若在区间上为增函数,则的取值范围是_.【答案】【解析】根据函数图象的平移变换求得的解析式.根据在区间上为增函数,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的取值范围.【详解】由题意可知将函数的图象向左平移个单位可得若在上为增函数,且过原点于是解不等式组可得,即故答案为: 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题17设为第二象限角,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角为第二象限角,即可求得的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解.【详解】（1）由于由同角三角函数关系式于是所以（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得由（1）可知所以【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18已知函数在区间上的最大值与最小值之差为.(1)求的值;(2)证明:函数是上的增函数.【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为代入即可求得的值.（2）先求得的解析式,再根据定义设,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】（1）由于,所以在定义域内单调递增,于是在区间的最大值与最小值之差为即又,解得（2）证明:,不妨设,则由于,所以,于是,即所以是R上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由图像即可求得和,进而得.得到函数的解析式,将最高点代入解析式,即可求得的值,即可求得函数的解析式;（2）将代入解析式,即可得,利用正弦的和角公式变形即可求得的值.【详解】（1）由函数图象可知,即,所以,从而函数将代入解析式得,又,故所以函数解析式为（2）因为所以,又,从而所以,于是,即.【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） （2）最大值为；最小值为【解析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解.（2）根据自变量的取值范围为,求得的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得所以由周期公式可知即最小正周期为（2）因为则由正弦函数的图像与性质可知所以即函数在区间上的最大值为函数在区间上的最小值为【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21已知函数为偶函数.(1)求的值;(2)若在区间上恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）根据偶函数定义,代入化简即可求得的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数可得,并构造函数.用换元法,令,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得的取值范围.【详解】（1）,由于函数为偶函数所以代入可得即,化简可得（2）由题得恒成立,即恒成立,所以恒成立,令,令则,由于函数在上单调递减,故又在上恒成立所以,于是a的取值范围是【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题.22设函数.(1)当时,求函数在区间上的值域;(2)设函数的定义域为I,若,且,则称为函数的“壹点”,已知在区间上有4个不同的“壹点”,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由同角三角函数关系式化简,代入,利用换元法将化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间上的值域.（2）根据题意,将函数化为在区间上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形