高等数学第8章8节

第八节多元函数的极值及其求法 一 多元函数的极值和最值二 条件极值拉格朗日乘数法三 小结 一 多元函数的极值和最值 1 二元函数极值的定义 例1 例 例 2 多元函数取得极值的条件 证 说明 从几何上看 这时如果曲面在点处有切平面 则切平面成为平行于坐标面得平面 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 偏导数存在的极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 例4求函数 的极值 解 先解方程组 求得驻点为 将上方程组再分别对 求偏导数 在点处 所以函数在 处有极小值 又 在点处 所以 不是极值 在点处 所以 不是极值 在点 处 又 所以函数在处有极大值 与一元函数类似 可能的极值点除了驻点之外 偏导数不存在的点也可能是极值点 例如 显然函数 不存在 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 与一元函数相类似 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 3 多元函数的最值 例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取多少时 才能使用料最省 解 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D x y x 0 y 0 内取得 又因为函数在D内只有一个驻点 2 2 所以此驻点一定是A的最小值点 设水箱的长为xm 宽为ym 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D x y 0 x 12 0 a 90 内取得 又函数在D内只有一个驻点 因此可以断定 当x 8cm a 60 时 就能使断面的面积最大 令Ax 24sina 4xsina 2xsinacosa 0 Aa 24xcosa 2x2cosa x2 cos2a sin2a 0 解这方程组 得a 60 x 8cm 例6有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折可使断面的面积最大 解 则断面面积为 设折起来的边长为xcm 倾角为a A 24x sina 2x2sina x2sinacosa 0 x 12 0 a 90 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买x张磁盘 y盒录音磁带达到最佳果 效果函数为U x y lnx lny 设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 三 条件极值拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值 求解方程组 解出x y z t即得可能极值点的坐标 解 则 例7求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 设长方体的长 宽 高为x y z 体积为V 则问题就是条件 求函数 的最大值 令 即 由 2 1 及 3 2 得 由 2 1 及 3 2 得 于是 代入条件 得 解得 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知 所以 最