【数学】2020南京盐城二模数学试题及答案.

高三数学试题第 1页 共 4 页 南京市 盐城市南京市 盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数数学学 注意事项注意事项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两 部分 本试卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题卡的密封线内 试题的 答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题卡 参考公式 参考公式 圆锥的侧面积圆锥的侧面积公式 公式 S rl 其其中中 r 为圆锥底面圆的半径 为圆锥底面圆的半径 l 为为圆锥的母线长 圆锥的母线长 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 不需写出解答过程 请把答案写在不需写出解答过程 请把答案写在 答题答题卡卡的的指定位置指定位置 上 上 1 已知集合 A x x 2k 1 k Z B x x x 5 0 则 A B 2 已知复数 z 1 2i 其中 i 为虚数单位 则 z2的模为 3 如图是一个算法流程图 若输出的实数 y 的值为 1 则输入的实数 x 的值为 4 某校初三年级共有 500 名女生 为了了解初三女生 1 分钟 仰卧起坐 项目训练情况 统计了所有女生 1 分钟 仰卧起坐 测试数据 单位 个 并绘制了如下频率分布直方图 则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生有 个 5 从编号为 1 2 3 4 的 4 张卡片中随机抽取一张 放回 后再随机抽取一张 则第二次抽 得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 第 4 题图 频率 组距 O6050403020 10 个数 0 01 0 015 x 0 035 第 3 题图 结束 开始 输入 x x y log2 2x 1 y 2 x 输出 y YN 高三数学试题第 2页 共 4 页 6 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且周期为 2 当 x 0 1 时 f x x a 3 则 f a 的值为 7 若将函数 f x sin 2x 3 的图象沿 x 轴向右平移 0 个单位后所得的图象与 f x 的图象关于 x 轴对称 则 的最小值为 8 在 ABC 中 AB 2 5 AC 5 BAC 90 则 ABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形 成的几何体的表面积为 9 已知数列 an 为等差数列 数列 bn 为等比数列 满足 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a b 2 其中 a 0 b 0 则 a b 的值为 10 已知点 P 是抛物线 x2 4y 上动点 F 是抛物线的焦点 点 A 的坐标为 0 1 则PF PA的 最小值为 11 已知 x y 为正实数 且 xy 2x 4y 41 则 x y 的最小值为 12 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C x m 2 y2 r2 m 0 已知过原点 O 且相互垂直的 两条直线 l1和 l2 其中 l1与圆 C 相交于 A B 两点 l2与圆 C 相切于点 D 若 AB OD 则直线 l1的斜率为 13 在 ABC 中 BC 为定长 且 AB 2 AC 3 BC 若 ABC 的面积的最大值为 2 则边 BC 的长为 14 函数 f x ex x b e 为自然对数的底数 b R 若函数 g x f f x 1 2 恰有 4 个零 点 则实数 b 的取值范围为 二二 解答题解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 计计 90 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 请把答案写在答题卡的请把答案写在答题卡的指定区域指定区域 内内 15 本小题满分 14 分 如图 三棱锥 P ABC 中 点 D E 分别为 AB BC 的中点 且平面 PDE 平面 ABC 1 求证 AC 平面 PDE 2 若 PD AC 2 PE 3 求证 平面 PBC 平面 ABC 第 15 题图 P A B C DE 高三数学试题第 3页 共 4 页 16 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a bcosC csinB 1 求 B 的值 2 设 BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D 已知 AD 17 7 cosA 7 25 求 b 的值 17 本小题满分 14 分 如图 湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛 岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米 为 方便游人到小岛观光 从点 A 向小岛建三段栈道 AB BD BE 湖面上的点 B 在线段 AC 上 且 BD BE 均与圆 C 相切 切点分别为 D E 其中栈道 AB BD BE 和小岛 在同一个平面上 沿圆 C 的优弧 圆 C 上实线部分 上再修建栈道 DE 记 CBD 为 1 用 表示栈道的总长度 f 并确定 sin 的取值范围 2 求当 为何值时 栈道总长度最短 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C x 2 a2 y 2 b2 1 a b 0 的离心率为1 2 且过点 0 3 1 求椭圆 C 的方程 2 已知 BMN 是椭圆 C 的内接三角形 若点 B 为椭圆 C 的上顶点 原点 O 为 BMN 的垂心 求线段 MN 的长 若原点 O 为 BMN 的重心 求原点 O 到直线 MN 距离的最小值 第 18 题图 O x y C D E A B 第 17 题图 高三数学试题第 4页 共 4 页 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x x3 x2 a 16 x g x alnx a R 函数 h x f x x g x 的导函数 h x 在 5 2 4 上存在零点 1 求实数 a 的取值范围 2 若存在实数 a 当 x 0 b 时 函数 f x 在 x 0 时取得最大值 求正实数 b 的最 大值 3 若直线 l 与曲线 y f x 和 y g x 都相切 且 l 在 y 轴上的截距为 12 求实数 a 的 值 20 本小题满分 16 分 已知无穷数列 an 的各项均为正整数 其前 n 项和为 Sn 记 Tn为数列 an 的前 an项和 即 Tn a1 a2 aan 1 若数列 an 为等比数列 且 a1 1 S4 5S2 求 T3的值 2 若数列 an 为等差数列 且存在唯一的正整数 n n 2 使得Tn an 2 求数列 a n 的 通项公式 3 若数列 Tn 的通项为 Tn n n 1 2 求证 数列 an 为等差数列 高三数学附加卷试题第 1页 共 2 页 南京市 盐城市南京市 盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题数学附加题 注意事项注意事项 1 附加题供选修物理的考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 3 答题前 考生务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题卡的密封线内 试题 的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题卡 21 选做题 在 选做题 在 A B C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 分 请在请在答卷答卷 卡指定区域内卡指定区域内 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 2 2 1 MN 1 0 0 1 1 求矩阵 N 2 求矩阵 N 的特征值 B 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 x 2t y 1 2 t2 t 为参数 以原点 O 为极 点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 极坐标方程为 cos 4 2 若直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 求线段 AB 的长 C 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 已知 a 0 证明 a2 1 a2 2 a 1 a 2 高三数学附加卷试题第 2页 共 2 页 必做题 第 必做题 第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 分 请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答 解作答 解 答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 某商场举行有奖促销活动 顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次 抽奖规则如下 抽奖者掷各面标有 1 6 点数的正方体骰子 1 次 若掷得点数大于 4 则可继续在抽奖 箱中抽奖 否则获得三等奖 结束抽奖 已知抽奖箱中装有 2 个红球与 m m 2 m N 个白球 抽奖者从箱中任意摸出 2 个球 若 2 个球均为红球 则获得一等奖 若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球 则获得二等奖 否则 获得三等奖 抽奖箱中的所有小球 除颜色外均相同 1 若 m 4 求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率 2 若一等奖可获奖金 400 元 二等奖可获奖金 300 元 三等奖可获奖金 100 元 记顾 客一次抽奖所获得的奖金为 X 若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元 求 m 的 最小值 23 本小题满分 10 分 已知集合 An 1 2 n n N n 2 将 An的所有子集任意排列 得到一个有 序集合组 M1 M2 Mm 其中 m 2n 记集合 Mk中元素的个数为 ak k N k m 规定空集中元素的个数为 0 1 当 n 2 时 求 a1 a2 am的值 2 利用数学归纳法证明 不论 n n 2 为何值 总存在有序集合组 M1 M2 Mm 满足任意 i N i m 1 都有 ai ai 1 1 高三数学答案 第 1 页 共 11 页 南京市南京市 盐城市盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 不需写出解答过程 请把答案写在不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上 答题纸的指定位置上 1 1 3 2 53 1 4 4 3255 1 2 6 07 2 8 6 5 9 510 2 2 11 812 2 5 5 13 214 1 1 2 ln2 二二 解答题解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 计计 90 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分本小题满分 14 分分 证明 1 因为点 D E 分别为 AB BC 的中点 所以 DE AC 2 分 因为 AC 平面 PDE DE 平面 PDE 所以 AC 平面 PDE 4 分 2 因为点 D E 分别为 AB BC 的中点 所以 DE 1 2 AC 又因为 AC 2 所以 DE 1 因为 PD 2 PE 3 所以 PD2 PE2 DE2 因此在 PDE 中 PE DE 8 分 又平面 PDE 平面 ABC 且平面 PDE 平面 ABC DE PE 平面 PDE 所以 PE 平面 ABC 12 分 又因为 PE 平面 PBC 所以平面 PBC 平面 ABC 14 分 高三数学答案 第 2 页 共 11 页 16 本小题满分本小题满分 14 分分 解 1 因为 a bcosC csinB 由 a sinA b sinB c sinC 得 sinA sinBcosC sinCsinB 2 分 又因为 sinA sin B C sin B C sinBcosC cosBsinC 所以 sinBcosC cosBsinC sinBcosC sinCsinB 即 cosBsinC sinCsinB 4 分 因为 0 C 所以 sinC 0 所以 sinB cosB 又 0 B 所以 sinB 0 从而 cosB 0 所以 tanB 1 所以 B 4 6 分 2 因为 AD 是 BAC 的平分线 设 BAD 所以 A 2 因为 cosA 7 25 所以 cos2 cosA 7 25 即 2cos 2 1 7 25 所以 cos 2 9 25 因为 0 A 所以 0 2 所以 cos 3 5 所以 sin 1 cos 2 4 5 在 ABD 中 sin ADB sin B sin 4 sin 4cos cos 4sin 2 2 3 5 4 5 7 2 10 8 分 由 AD sinB AB sin ADB 所以 AB AD sin ADB sinB 17 7 7 2 10 2 17 5 10 分 在 ABC 中 sinA 1 cos2A 24 25 所以 sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 2 2 24 25 7 25 17 2 50 12 分 由 b sinB c sinC 所以 b c sinB sinC 17 5 2 2 17 2 50 5 14 分 17 本小题满分本小题满分 14 分分 解 1 连接 CD 因为 BD 与圆 C 相切 切点为 D 所以 BCD 为直角三角形 因为 CBD 且圆形小岛的半径为 1 千米 所以 DB 1 tan BC 1 sin 因为岸边上的点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米 所以 AB AC BC 3 1 sin 2 分 又因为 BE 与圆 C 相切 所以 BE DB 1 tan 优弧 DE所对圆心角为 2 2 2 所以优弧 DE长 l 为 2 4 分 高三数学答案 第 3 页 共 11 页 所以 f AB BD BE l 3 1 sin 1 tan 1 tan 2 3 2 2cos 1 sin 6 分 因为 0 AB 2 所以 0 3 1 sin 2 解得1 3 sin 1 所以 sin 的取值范围为 1 3 1 8 分 2 由 f 3 2 2cos 1 sin 得 f 2 cos sin2 2 cos 1 2cos sin2 10 分 令 f 0 解得 cos 1 2 因为 为锐角 所以 3 12 分 设 sin 0 1 3 0为锐角 则 0 0 3 当 0 3 时 f 0 则 f 在 0 3 单调递减 当 3 2 时 f 0 则 f 在 3 2 单调递增 所以 f 在 3 时取得最小值 答 当 3 时 栈道总长度最短 14 分 18 本小题满分本小题满分 16 分分 解 1 记椭圆 C 的焦距为 2c 因为椭圆 C 的离心率为1 2 所以c a 1 2 因为椭圆 C 过点 0 3 所以 b 3 因为 a2 c2 b2 解得 c 1 a 2 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1 2 分 2 因为点 B 为椭圆 C 的上顶点 所心 B 点坐标为 0 3 因为 O 为 BMN 的垂心 所以 BO MN 即 MN y 轴 由椭圆的对称性可知 M N 两点关于 y 轴对称 4 分 不妨设 M x0 y0 则 N x0 y0 其中 3 y0 3 又因为 MO BN 所以 MO BN 0 即 x0 y0 x0 y0 3 0 得 x 2 0 y 2 0 3y0 0 6 分 又点 M x0 y0 在椭圆上 则x0 2 4 y0 2 3 1 高三数学答案 第 4 页 共 11 页 由 x 2 0 y 2 0 3y0 0 x02 4 y0 2 3 1 解得 y0 4 7 3或 y0 3 舍去 此时 x0 2 7 33 故 MN 2 x0 4 7 33 即线段 MN 的长为4 7 33 8 分 方法 1 设 B m n 记线段 MN 中点为 D 因为 O 为 BMN 的重心 所以 BO 2 OD 则点 D 的坐标为 m 2 n 2 10 分 若 n 0 则 m 2 此时直线 MN 与 x 轴垂直 故原点 O 到直线 MN 的距离为 m 2 即为 1 若 n 0 此时直线 MN 的斜率存在 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 m y1 y2 n 又x1 2 4 y1 2 3 1 x2 2 4 y2 2 3 1 两式相减得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 3 0 可得 kMN y1 y2 x1 x2 3m 4n 12 分 故直线 MN 的方程为 y 3m 4n x m 2 n 2 即 6mx 8ny 3m2 4n2 0 则点 O 到直线 MN 的距离为 d 3m2 4n2 36m2 64n2 将m 2 4 n 2 3 1 代入得 d 3 n2 9 14 分 因为 0 n2 3 所以 dmin 3 2 又 3 2 1 故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 16 分 方法 2 设 M x1 y1 N x2 y2 B x3 y3 因为 O 为 BMN 的重心 所以 x1 x2 x3 0 y1 y2 y3 0 则 x3 x1 x2 y3 y1 y2 10 分 因为x 2 3 4 y 2 3 3 1 所以 x1 x2 2 4 y1 y2 2 3 1 将x1 2 4 y1 2 3 1 x2 2 4 y2 2 3 1 代入得x1x2 4 y1y2 3 1 2 12 分 若直线 MN 的斜率不存在 则线段 MN 的中点在 x 轴上 从而 B 点位于长轴的顶点处 由于 OB 2 所以此时原点 O 到直线 MN 的距离为 1 高三数学答案 第 5 页 共 11 页 若直线 MN 的斜率存在 设为 k 则其方程为 y kx n 由 y kx n x2 4 y 2 3 1 消去 y 得 3 4k2 x2 8knx 4n2 12 0 则 8kn 2 4 3 4k2 4n2 12 0 即 3 4k2 n2 由根与系数关系可得 x1 x2 8kn 3 4k2 x 1x2 4n 2 12 3 4k2 则 y1y2 kx1 n kx2 n k2x1x2 kn x1 x2 n2 3n 2 12k2 3 4k2 代入x1x2 4 y1y2 3 1 2 得1 4 4n 2 12 3 4k2 1 3 3n 2 12k2 3 4k2 1 2 即 n2 k2 3 4 14 分 又 3 4k2 n2 于是 3 4k2 k2 3 4 即 3k2 9 4 0 恒成立 因此 k R 原点 0 0 到直线 MN 的距离为 d n k2 1 k2 3 4 k2 1 1 1 4 k2 1 因为 k2 0 所以当 k 0 时 dmin 3 2 又 3 2 1 故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 16 分 19 本小题满分本小题满分 16 分分 解 1 因为 h x f x x g x x2 x a 16 alnx 所以 h x 2x 1 a x 2x 2 x a x 令 h x 0 得 2x2 x a 0 因为函数 h x 在 5 2 4 上存在零点 即 y 2x2 x a 在 5 2 4 上存在零点 又函数 y 2x2 x a 在 5 2 4 上单调递增 所以 2 5 2 2 5 2 a 0 2 42 4 a 0 解得 10 a 28 因此 实数 a 的取值范围为 10 28 2 分 2 方法 1 因为当 x 0 b 时 函数 f x 在 x 0 处取得最大值 即存在实数 a 当 x 0 b 时 f 0 f x 恒成立 即 x3 x2 a 16 x 0 对任意 x 0 b 都成立 4 分 当 x 0 时 上式恒成立 6 分 当 x 0 b 时 存在 a 10 28 使得 x2 x 16 a 成立 8 分 高三数学答案 第 6 页 共 11 页 所以 x2 x 16 28 解得 3 x 4 所以 b 4 故当 a 28 b 的最大值为 4 10 分 方法 2 由 f x x3 x2 a 16 x 得 f x 3x2 2x a 16 设 4 12 a 16 4 3a 47 若 0 则 f x 0 恒成立 f x 在 0 b 上单调递增 因此当 x 0 b 时 函数 f x 在 x 0 时不能取得最大值 于是 0 4 分 故 f x 0 有两个不同的实数根 记为 x1 x2 x1 x2 若 x1 0 则当 x 0 x1 时 f x 0 f x 在 0 x1 上单调递增 因此当 x 0 b 时 函数 f x 在 x 0 时不能取得最大值 所以 x1 0 6 分 又 x1 x2 2 3 0 因此 x 2 0 从而当 x 0 x2 时 f x 0 f x 单调递减 当 x x2 时 f x 0 f x 单调递增 若存在实数 a 当 x 0 b 时 函数 f x 在 x 0 处取得最大值 则存在实数 a 使得 f 0 f b 成立 即 b3 b2 a 16 b 0 8 分 所以存在 a 10 28 使得 b2 b 16 a 成立 所以 b2 b 16 28 解得 3 b 4 故当 a 28 b 的最大值为 4 10 分 3 设直线 l 与曲线 y f x 相切于点 A x1 f x1 与曲线 y g x 相切于点 B x2 g x2 过 A x1 f x1 点的切线方程为 y x13 x12 a 16 x1 3x12 2x1 a 16 x x1 即 y 3x12 2x1 a 16 x 2x13 x12 过 B x2 g x2 点的切线方程为 y alnx2 a x2 x x2 即 y a x2 x alnx2 a 又因为直线 l 在 y 上的截距为 12 所以 3x12 2x1 a 16 a x2 2x13 x12 12 alnx2 a 12 12 分 由 解得 x1 2 则 24 a a x2 alnx2 a 12 消去 a 得 lnx 2 1 x2 2x2 0 14 分 高三数学答案 第 7 页 共 11 页 则 1 知 10 a 28 且 x2 0 则 x2 5 7 令 p x lnx 1 x 2x x 5 7 则 p x 1 x 1 2x2 2x 1 2x2 因为 p x 0 所以函数 p x 在 5 7 上为增函数 又因为 p 1 0 且函数 p x 的图像是不间断的 所以函数 p x 在 5 7 有唯一零点 1 所以方程 lnx2 1 x2 2x2 0 的解为 x2 1 所以 a 12 所以实数 a 的值为 12 16 分 20 本小题满分本小题满分 16 分分 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 因为 S4 5S2 所以 a1 a2 a3 a4 5 a1 a2 即 a3 a4 4 a1 a2 所以 a1q2 1 q 4 a1 1 q 因为数列 an 的各项均为正整数 所以 a1 q 均为正数 所以 q2 4 解得 q 2 又 a1 1 所以 an 2n 1 从而 a3 4 所以 T3 S4 1 2 22 23 15 2 分 2 设等差数列 an 的公差为 d 则 an a1 n 1 d 因为数列 an 的各项均为正整数 所以 d Z 若 d 0 令 an 0 得 n 1 a1 d 这与 an 为无穷数列相矛盾 因此 d 0 即 d N 4 分 因为 Sn na1 n n 1 d 2 所以 Tn a1an an an 1 d 2 因此Tn an a 1 a n 1 d 2 由Tn an 2 得 a 1 a n 1 d 2 2 6 分 因为 a1 N d N 所以 2 a1 an 1 d 2 a1 1 因此 a1 1 于是 1 n 1 d 2 2 2 即 n 1 d2 2 若 d 0 时 则存在无穷多个 n n 2 使得上述不等式成立 所以 d 0 不合题意 8 分 若 d N 时 则 n 1 2 d2 因为存在唯一的正整数 n n 2 使得该不等式成立 所以 2 1 2 d2 3 即 1 d 2 2 又 d N 所以 d 1 因此 an 1 n 1 1 n 10 分 3 因为 Sn 1 Sn an 1 0 所以 Sn 1 Sn 即数列 Sn 单调递增 高三数学答案 第 8 页 共 11 页 又 Tn 1 Tn n 1 n 2 2 n n 1 2 n 1 0 所以 Tn 1 Tn 即 San 1 San 因为数列 Sn 单调递增 所以 an 1 an 12 分 又 an N 所以 an 1 an 1 即 an 1 an 1 所以 an 1 a1 a2 a1 a3 a2 an 1 an n 因此 an 1 a1 n 1 n 即 an n n 2 又 a1 1 所以 an n 14 分 由 Tn 1 Tn n 1 得 aan 1 aan 2 aan 1 n 1 因此 n 1 aan 1 an 1 即 an n 由 知 an n 因此 an 1 an 1 所以数列 an 为等差数列 16 分 高三数学答案 第 9 页 共 11 页 南京市南京市 盐城市盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 21 选做题 在 选做题 在 A B C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分分 请在请在答题答题 卡指定区域内卡指定区域内 作答作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 1 因为 M 1 2 2 1 MN 1 0 0 1 N M 1 2 分 因为 M 1 1 2 2 3 4 分 所以 N M 1 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 6 分 2 N 的特征多项式 f 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 2 3 2 1 3 1 8 分 令 f 0 解得 1 3 或 1 所以 N 的特征值是1 3 和 1 10 分 B 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 曲线 C 的普通方程为 y 1 2 x 2 2 1 8 x2 2 分 由直线 l 极坐标方程 cos 4 2 得 cos cos 4 sin sin 4 2 高三数学答案 第 10 页 共 11 页 即 2 2 x 2 2 y 2 所以直线 l 的方程为 y x 2 4 分 设 A x1 y1 B x2 y2 联立方程组 y 1 8 x2 y x 2 消去 y 得 x2 8x 16 0 6 分 则 x1 x2 8 x1x2 16 所以 AB 1 1 2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 8 2 4 16 16 10 分 C 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 证明 方法 1 因为 a 0 所以 a 1 a 2 要证a2 1 a2 2 a 1 a 2 只需证a2 1 a2 a 1 a 2 2 因为 a 1 a 2 2 0 所以只需证 a2 1 a2 2 a 1 a 2 2 2 4 分 即 2 2 2 a 1 a 8 4 2 即