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解析几何大题训练1、如图，已知A（，B、C两点分别在轴和轴上运动，并且满足，（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，求直线E、F的斜率之和。解（1） 由已知 （2）设过点A的直线为 9分 ， 所以，由,得=0 2.在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足 , = = （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知 , 且= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.（1）设C ( x , y )， ,由知,G为ABC的重心 ， G(,) 由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0），由得 化简整理得：（x0 ） （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k，则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = 则| PQ | = = = RNPQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | | RN | = =) 2 ， 16 S 0 且 x2 0 相矛盾！所以不能。6、双曲线的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（0，b）,B（a,0）.（I）求双曲线的标准方程；（）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ中点. 若点M在直线上的射影为N，满足且，求直线l.的方程？解：（I）依题意有：解得：所以，所求双曲线的方程为 （II）（法1）当直线轴时，不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为. 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以设是方程的两个正根，于是有 因为所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5.又|MN|=x0+2=5，即x0=3， 而.式，符合题意.所以直线l的方程为：（x2）.又. 显然k=3满足式.所以所求直线的方程为. 7、设的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为 （I）求证：M点的纵坐标为定值；（）若；（）已知为数列的前n项和，若都成立，试求的取值范围.（）证明：M是AB的中点，设M点的坐标为（x，y）（) M点的纵坐标为定值。（II）解：由（I）知.（III）因此8、已知F（0，a）（a0），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且，. （1）求动点N的轨迹C的方程；（2）由直线y=-a上一点T向曲线C引两条切线，切点分别为A、B，证明：ATBT且直线AB过点F.（1）设N（x,y）,P(x，0)，M(0,y),则由，得x=,y=-y,P(,0),Q(0,-y), 又，-+ay=0,动点N的轨迹方程为x=4ay.（2）证明：设T（x,-a）, 过T点向曲线C所引切线方程为:y+a=k(x-x),由 消去y得：x-4akx+4akx+4a=0,令=16ak-16(akx+a)=0 得ak-xk-a=0 方程*的两根k,k即为切线AT、BT的斜率。kk1，ATBT。设A（x则切线AT、BT的斜率分别是. 由ATBT知，. 设直线AB的方程为:y-y=). 令x=0,将y=代入并整理得： y= 直线AB过点F（0，a）.9、已知椭圆（ab0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0依题意解得椭圆方程为（2）假若存在这样的k值，由得设，、，则 而要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则，即将式代入整理解得经验证，使成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E10、36（钦州市大寺中学）已知直线过M（1，0）与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，点P在y轴的右侧且满足.（）求P点的轨迹C的方程；（）若曲线C的切线斜率为，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围.解：（）直线轴垂直时与抛物线交于一点，不满足题意. 设直线的方程为 把代入抛物线得： 设两交点为 （） 把（1）代入（2）得： 解得： 解（1）易得l的方程为 由，得（a2t2+4）y24aty=0 解得y=0或 即点M的纵坐标 S=SAMN=2SAOM=|OA|yM= （2）由（1）得， （2）令 由当时， 若1a2，则，故当时，Smax=a 若a2，则在1，2上递增，进而S(t)为减函数. 当t=1时, 综上可得 11、如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，且底面在平面内点在轴正半轴上，侧棱与底面所成的角为。（1） （4分）若是顶点在原点且过、两点的抛物线上的动点，试给出与满足的关系式；（2） （8分）若是棱上的一个定点，它到平面的距离为，写出、两点之间的距离，并求的最小值；（3） （4分）是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线与互相垂直？请说明理由。解：（1） （2） 当时，取，有最小值； 当时，取，有最小值。（3） 当时， 则； 当时，则 所以，不存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线与互相垂直12、直线AB过抛物线x2=2py（p0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点. （）求的取值范围； （）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点. 求证：，.解：（）由条件得M（0，），F（0，）.设直线AB的方程为y=kx+，A（，），B（，）.则，Q（）.由得.由韦达定理得+=2pk，=从而有= +=k（+）+p=2pk+p. 的取值范围是. （）抛物线方程可化为，求导得.切线NA的方程为：y即.切线NB的方程为：由解得N（）从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.NQOF.即又由（）知+=2pk，=p N（pk，）. 而M（0，） 又. .13、已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为，求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标解：设，因为三点共线，所以，即，即，求出 同理可求出， 又因为设直线过定点，则点共线，所以，即，即，即， 所以由消去 上式对任意恒成立，所以得到所以所求的直线恒过定点 13、过抛物线的对称轴上的定点，作直线相交于两点. 中学试卷网版权所有 （1）试证明两点的纵坐标之积为定值；（2）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.（1）证明:.设 有，下证之：设直线的方程为:与联立得消去得由韦达定理得 ,（2）解：三条直线的斜率成等差数列，下证之：设点，则直线的斜率为;直线的斜率为又直线的斜率为即直线的斜率成等差数列.14、（）已知圆A：，点B（1，0），点P在圆A上任意一点，点M在AP上，点N在BP上，且 ，（1） 求点M的轨迹c的方程；（2） 若直线：x=4, 过点B的直线交曲线c于G，H两点，G, H在直线上的射影分别为T，S，求证：直线GS与HT的公共点在x轴上。解：由题意得A（-1，0），B（1，0） ，N为BP中点又 MN为BP的垂直平分线M的轨迹为以A,B为焦点,中心在原点的椭圆a=2,b=,c:（2）当GH轴时，G、H的坐标分别为（1，）、（1，-），GS与HT的公共点为Q（在x轴上。当GH不与x轴垂直时，设直线GH的方程为y=k（x-1）,代入椭圆，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0。设G,H,则，,。 直线GS的方程为，直线HT的方程为， =， ， ， ， = = = = = = =0 直线GS与直线HT的交点的为， 直线GS与HT的公共点在x轴上。 本题的证明也可以用下面的方法：即证明直线GS、直线HT与x轴有相同的交点，也就是说，在直线GS、直线HT的方程中令y=0，所得横坐标相等。在直线GS的方程，直线HT的方程中令y=0，则直线GS、直线HT与x轴的交点的横坐标相等，即=，故只要证只要证，。 ,， 2-5+8=0故结论成立。15、（南通市九校）已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F的直线,又与交于P点，设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B（） 当与夹角为且时，求椭圆C的方程（） 求的最大值解：（）故（）联立得（8分）设A分的比为，则A代入，整理化简得： 即的最大值为 16、（湖北省）P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率，左焦点的椭圆上，已知，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值解：椭圆方程为. ,.设PQ的方程为，代入椭圆方程消去得.设,则.()当时,MN的斜率为,同理可得,故四边形面积.令,则,即当时,.且S是以为自变量的增函数,.() 当时,MN为椭圆的长轴,综合() ()知,四边形PQMN面积的最大值为,最小值为.17、如图：已知OFQ的面积为，且，（1）若时，求向量与的夹角的取值范围；（2）设，时，若以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程解：（1）由已知，得所以，因为，所以，则（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为，（a0，b0），Q点的坐标为（，），则（，），因为OFQ的面积，所以，又由（c，0）（，），所以，当且仅当c4时，最小，此时Q的坐标为（，），由此可得解之得故所求的方程为18、小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图1)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm，杯深为8cm(如图2)，称之为抛物线酒杯 请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程 一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯杯底小明想用所过数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部你能帮助小明解决这个问题吗？解： 如图1，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py( p0)将x2，y8代入抛物线方程，得p， 抛物线方程为 (以下是我的理解)由题意，要想玻璃珠触及杯底，只需在y轴上找一点P(0,r)，使得抛物线上的点到P点距离最近的点是顶点O即可.设抛物线上任一点M(x,y)，则,联立抛物线方程得(y0)对称轴为y=,当对称轴0时，可知在y0时是增函数，即当y=0时有最小值，也即最近点是原点O.故,即当0r时，玻璃球一定会触及杯底(以下是标准答案)设圆心在y轴正半轴上，且过原点的圆的方程为x2( yr)2r2，将之代入抛物线方程，消去x，得y2(2r)y0 y10，y22r 若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要y22r0即当0r时，玻璃球一定会触及杯底19、已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点（1, ）(1)求双曲线的方程; (2)设直线:与双曲线C交于A、B两点, 试问: 为何值时 是否存在实数, 使A、B两点关于直线对称(为常数), 若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.解: (1) 由题意设双曲线方程为,把(1,)代入得（*）又的焦点是（，0），故双曲线的与（*）联立，消去可得， ，（不合题意舍去）于是， 双曲线方程为(2) 由消去得（*），当 即（）时，与C有两个交点A、B 设A（，），B（，），因，故即，由（*）知，代入可得 化简得 ，检验符合条件，故当时，） 若存在实数满足条件，则必须 由（2）、（3）得把代入（4）得这与（1）的矛盾，故不存在实数满足条件20、(成都市)设向量=(1,0),=(0,1),=(x+m)+y,=(x-m)+y,且6，0m0，yR. ()求动点P(x,y)的轨迹方程； ()已知点A(-1,0)，设直线y=(x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.()上式即为点P(x,y)到点(-m,0)与到点(m,0)距离之和为6. 记F1(-m,0),F2(m,0)(0m3).则F1F2=2mF1F2.又x0, p点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆的右半部分.2a=6, a=3.又2c=2m，c=m，b2=a2-c2=9-m2.所求轨迹方程为()设B(x1,y1),C(x2,y2).而=若存在实数m,使得.则由10x1x2+7(x1+x2)+10=0.由消去y，得(10-m)x2-4x+9m2-77=0 由，有由、解得m2=，且此时0.但由，有9m2-77=与题设矛盾.不存在符合题意的实数m,使得21、设向量=(1,0),=(0,1),=x+(y+2),=x+(y-2),且8，x，yR. ()求点P(x,y)的轨迹C的方程； ()已知点M(0,3)作曲线l与曲线C交于A、B两点，设=+，问是否存在直线l，使四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：()=(1，0)，=(0，1),| |+|=8,上式即为点P(x,y)到点(0，2)与到点(0，2)距离之和为8.记F1(0，2)，F2(0，2)，则|F1F2|=4.即|PF1|+|PF2|=8|F1F2|.P点轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆.其中2a=8,2c=4.b2=a2c2=12.所求轨迹C的方程为(),OANB是平行四边形.l过点M(0，3).若l是y轴，则A、B是椭圆的顶点.此时.N与O重合，与四边形OANB是平行四边形矛盾.故直线l的斜率k必存在.设直线l的方程为y=kx+3.设A(x1,y1),B(x2,y2).若存在直线l使得OANB是矩形，则OAOB.x1x2+y1y2=0.而y1y2=(kx1+3)(kx2+3) =k2x1x2+3k(x1+x2)+9.(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0.由消去y，得(3k2+4)x2+18kx21=0(18k)24(3k2+4)(21)=(18k)2+84(3k2+4)0,方程必有两实数根x1、x2.且x1+x2=,x1x2=代入，得(1+k2)解得k2=,k=. 存在直线l符合题意，其直线方程为y=即xy+3=0或22、圆锥曲线C的一个焦点为F（2，0），相应的准线是直线，以过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆截准线所得弦长为2。（）求圆锥曲线C的方程；（）当过焦点F的直线的倾斜角在何范围内取值时，圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于直线对称？解：() 设过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆为圆C/，圆M与曲线C在第一象限的交点为A，圆C/与直线 正方向的交点为B。 圆C/截直线的弦长为2， 由圆锥曲线的第二定义，对于曲线C上的任意点，有 (4分) 整理得圆锥曲线C的方程为 （）当直线的倾斜角为时，此时双曲线C上无任何两点关于直线对称；当直线的倾斜角为时，此时双曲线C关于直线对称，除顶点外，对双曲线上任一点都存在双曲线上另一点关于直线对称，不合要求。(8分)当时，设，设P、Q两点是双曲线C上关于直线的对称点，PQ中点为T，直线PQ的方程为，由由由韦达定理及中点坐标公式，求得T点坐标又T点在直线上， ，整理得：（1）（2）联立得：。直线的倾斜角的范围是。23、已知定点，动点满足条件：，点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果。（）求直线的方程；（）若曲线上存在点，使，求的值。解：（）点的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，曲线的方程为设，把代入消去得两边平方整理得，（） 故直线方程为。（）设，由已知，得将点的坐标代入得或（舍去）。24、已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P（是双曲线右支上一点，I为PF1F2的内心，直线PI交x轴于Q点，I分PQ的比为，又|F1Q|=|PF2| （1）用来表示双曲线离心率e的值； （2）求的取值范围.解：（1）I为PF1F2内心，则I为PQ的内分点，又I分PQ的比为又可得 又可得 由式相除 则 （2）由1及即所求范围为：25、直线过抛物线C:的焦点F，且与抛物线相交于两点。（）求证：（）试推断抛物线C是否存在一条弦MN，使得直线是弦MN的垂直平分线？）证：由得 （）解：则MN的垂直平分线的方程为 若过，则整理得： 此时方程为与抛物线C仅有一个交点。而与抛物线C有两个交点。不重合，即不存在弦MN，使得I是MN的垂直平线26、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。APQOMF（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得依题意，得。 设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或。（3）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故，而，所以。27、已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3）（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OPOQ且点P的坐标为（），求点Q的坐标。解：（1）由已知C1：得焦点 故设C：，椭圆C过点A（2，3） 且解出 椭圆C的方程为：（2）设Q（） OPOQ 即 又 Q点的坐标为（）或（3，）28、如图，设圆的圆心为C，此圆和抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。（1） 求P的取值范围；（2） 求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；（3） 求当S取最大值时，向量的夹角。解：（1）把 代入 得 由 ， 得 ，即 4分 （2）设，的方程： ， 即 即 ， 即 点O到AB的距离，又 ， 即 10分 （3）取最大值时，解方程，得 ， 向量的夹角的大小为。29、已知定点，定直线，动直线（其中）。证明：（1）动直线上一定存在相异两点，它们到点与到直线的距离相等；（2）对（1）中的相异两点，证明：；（3）对（1）中的相异两点，以为焦点的动椭圆经过坐标原点，设动椭圆的离心率是，证明：。（1）到点与到直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，方程为，由方程组，即，因为，且，故方程组有两组不同的解，即直线上一定存在相异两点，它们到点与到直线的距离相等； （2）设、，显然都是非零向量，要证，只要证，即，而、，即证，即，由（1）是方程的两根，即，此时，故，即；（3）动椭圆长轴，焦距，故，（当且仅当时取等号），由于直线与轴不垂直，故，所以。AOBxPy30、已知：如图，设OA、OB是过抛物线y22px顶点O的两条弦，且0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0则OA的方程为ykx由解得A()4分又由，知OAOB，所以OB的方程为yx由解得B(2pk2，2pk)4分从而OA的中点为A()，OB的中点为B(pk2，pk) 所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为x2y20 x2y22pk2x2pky0 P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x0，y0由并化简得y(k)x 将代入，并化简得x(k21)2p 由消去k，有x2y22px0点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).31已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.解:（1）设点M的坐标为(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0), 由=0，得（3，）(x,)=0, 又得y2=4x, 由点Q在x轴的正半轴上，得x0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.（2）设直线l:y=k(x+1), 其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根，x1+x2=,x1x2=1,所以，线段AB的中点坐标为(,),线段AB的垂直平分线方程为y=(x),令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于AB,而AB=, 所以，=,解得k=,得x0=. 32、如右图，已知A：(x+2)2+y2=，B:(x-2)2+y2=，动圆P与A、B都相外切.(1)动圆圆心P的轨迹方程；yx(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.（1）P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，方程为： （2）联立方程组消y 得：在1,+有两不同的解，则解得k的范围是33如图，、为圆与轴的两个交点，为垂直于轴的弦，且与的交点为。（1） 求动点的轨迹方程；（2） 记动点的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于轴右边不同两点、，且，求直线的方程。（1）由图可知。设，则 可得，由可得，。 （2）设直线的方程为则消去可得。 直线交双曲线的右支于不同两点，解得。 。消去可得（舍正），所求直线的方程为。 34已知点A 和B ,动点C到A、B的距离的差的绝对值为2.（1）求动点C的轨迹方程；（2）若动点C的轨迹与直线y=x2交于D、E两点，求线段DE的长.（3）试问：在动点C的轨迹中是否存在被点M（1，1）平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由。解： (1)设点C（x，y），则|CA|CB|=2根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： . 0，直线与双曲线有两个交点D、E，设D(x1，y1)，E（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=6 （3）假设存在，易知弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线方程为,弦两端点分别为，由 ，得， 是弦的MN中点，即 把代入得，即说明直线PQ与双曲线不相交故不存在被M（1，1）平分的弦35.已知定点，动点P满足（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）当时，求的取值范围。（1）设动点，则，整理得：若，方程为，表示过点平行于轴的直线，若，方程为，表示以为圆心，以为半径的圆。（2）当时，方程化为，又的范围为。36已知点A(0,1), x、y R，m2，设i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量p = (x+m) i + y j, q = (x-m) i + y j，且 | p | -| q | = 4.（1）求动点M (x, y )的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）设直线l ： y = x - 3与点M的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得= ？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由.解：（1）因 | p | = , | q | = ，且 | p |-| q | = 4,故点M (x, y)到定点F1(-m, 0), F2 (m, 0)的距离之差为4.当2m = 4即m = 2时，点M的轨迹是一条射线，方程为y = 0 (x2), 当2m 4即m 2时，点M的轨迹是以F1 (-m,0 ), F2 (m, 0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为：(x2). （2）当m =2时，显然不合题意；当m 2时，点M的轨迹方程为 (x2).设B (x1, y1)、C (x2, y2) (x12, x22)，则= (x1, y1-1), = (x2, y2 -1),又= 得：x1x2 + (y1-1) (y2-1) = .把y1 = x1-3, y2 = x2 -3代入上式整理得：5x1x2 - 8(x1+x2) +46 = 0 由 消去y得：(m2 - 5 ) x2 +12x - 4m2 -20 = 0 把x1+x2 = - , x1x2 = 代入，并解得m2 = 9.当m2 = 9时，方程为 x2+3x-14 = 0, x1x2 = -14,而x12, x22，因此满足条件的m值不存在.37如图所示，点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且0（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：解：（1）设则由 0，0，即并代入，得为所求. （2）设l的方程为设则38. 已知焦点在轴上的椭圆是它的两个焦点.（）若椭圆上存在一点P，使得试求的取值范围;（）若椭圆的离心率为，经过右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,且,求直线的方程.（）解法一：依题意得:， 设，由得，即，又， . 综上可得： 解法二：设， 由得 可得， 下同解法一注：若设上顶点为B，根据得，即因为，所以。此种解法给满分（）解法一：，椭圆方程为， 依题意可设直线的方程为由 得设，则 ， ， ， 所以直线的方程为 （）解法二：，椭圆方程为， 设， 又， 可解得，即 所以 所以直线的方程为 39.如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明；（）求数列的通项公式；（）比较的大小解:（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）.（i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，1点N的轨迹方程为 解二：设N（x,y）同上可得M（,0），则 ，消去r，又r1 点N的轨迹方程为（3）设直线l的方程为y=kx+2,，得kx+（4k-4）x-4=0, =-32k+160k0k0或k-120k0.5或k-1241.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(1，2)、B(3，2)在双曲线上.(1)求点F2的轨迹方程；(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.解：(1)F1(1，0)，由题意,得|F1A|F2A|=|F1B|F2B|.(*)A(1，2)，B(3，2)，|F1A|=2，|F1B|=2，设点F2的坐标为(x,y),当(*)取|F1A|F2A|=|F1B|F2B|时，则有|F2A|=|F2B|，x=1.当(*)取|F1A|F2A|=|F2B|F1B|时，则有|F2A|+|F2B|=4|AB|=4.F2的轨迹表示椭圆=1.F1,F2不重合，除去点(1，0).A、B两点到两焦点距离不等，除去点(1,4).综上，F2的轨迹方程为x=1(y0,y4)和=1(y0,y4).8分(2)F2的轨迹如图所示，当直线l与椭圆相切时符合题意，由消y，得3x2+(4m10)x+2m28m+1=0,由=0，得m=12. 14分42在直角坐标平面上有一点列，对每个正整数，点位于函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。（1）求点的坐标； （2）设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为且过点，记过点且与抛物线只有一个交点的直线的斜率为，求证：；（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。解：（1）的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列， 位于函数的图像上， 点的坐标为。（2）据题意可设抛物线的方程为：，即， 抛物线过点，过点且与抛物线只有一个交点的直线即为以为切点的切线，（）。（3），中的元素即为两个等差数列与中的公共项，它们组成以为首项，以为公差的等差数列，且成等差数列，是中的最大数， ，其公差为，10当时，此时，不满足题意，舍去；（12分）20当时，此时，；30当时，此时，不满足题意，舍去。综上所述所求通项为。43（江苏）如图，已知OFQ的面积为2，且=m，（1）设m4，求向量与的夹角的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，|=c，m=（1）c2，当|取最小值时，求此双曲线的方程解：（1）由已知，得1tan4，则0，b0），Q（x1，y1），则=（x1c，y1）OFQ的面积|y1|=2， y1=，又由=（c，0）（x1c，y1）=（x1c）c=（1）c2，x1=c，|=，当且仅当c=4时，|最小此时Q的坐标为（，），或（，）由此可得解得 故所求方程为=144如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明；（）求数列的通项公式；（）比较的大小（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，1+9=10.而此时 45（江苏）已知点A 和B ,动点C到A、B的距离的差的绝对值为2.（1）求动点C的轨迹方程；（2）若动点C的轨迹与直线y=x2交于D、E两点，求线段DE的长.（3）试问：在动点C的轨迹中是否存在被点 平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由。解： (1)设点C（x，y），则|CA|CB|=2根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： .0，直线与双曲线有两个交点D、E，设D(x1，y1)，E（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=6（3）假设存在，易知弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线方程为,弦两端点分别为，由 ，得， 是弦的MN中点，即 把代入得，即说明直线PQ与双曲线不相交故不存在被M（1，1）平分的弦46. 已知定点，动点满足条件：，点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果。（）求直线的方程；（）若曲线上存在点，使，求的值。解：（）点的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，曲线的方程为设，把代入消去得两边平方整理得，（） 故直线方程为。（）设，由已知，得将点的坐标代入得或（舍去）。oyxPQF47已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.设（为原点），求点的轨迹方程；若直线的倾斜角为，求的值.解： 设由，易得右焦点当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有; 于是; 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得同理，在，设，则也由余弦定理得于是OFxyPM第3题图H48. 如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（）当时，设双曲线为又四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，则，所以为所求。49.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(1，2)、B(3，2)在双曲线上 (1)求点F2的轨迹方程；(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.解：(1)F1(1，0)，由题意,得|F1A|F2A|=|F1B|F2B|.(*)A(1，2)，B(3，2)，|F1A|=2，|F1B|=2，设点F2的坐标为(x,y),当(*)取