高中数学论文集数形结合在解决不等式问题中的应用.doc

数形结合在解决不等式问题中的应用宁波四明中学 余晨光数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化可以培养思维的灵活性、形象性.通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化.一 数形结合在解不等式中的应用例1解不等式分析 由于左、右两边有相同的地方，因此可以换元，使不等式的结构变为简单形式距为a的平行直线系)，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图1因为，所以(1)当0a1时，0t1，即，所以x0，+综上所述当a(0，1)时，解集为0，+，当a(1，)时解集为，当时，解集为。评述 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加清晰二.数形结合思想在解决不等式恒成立问题中的运用例2：关于x的不等式kx对于任意的xR均成立，求k的取值范围。分析：此题若用纯粹的代数方法来解决，要对k进行分类讨论，并进行大量的运算，容易出错。如果运用数形结合思想则简单、明了，很快能够得出答案。图2解：设，（图2中虚线），在直角坐标系中先作出的图象，为通过原点并绕原点旋转的直线，要保证kx对于任意的kR均成立，即要保证的图象始终在图象的下方，我们将的图象从与x轴重合开始绕原点逆时针旋转，可知当k-1，0)时，满足题意。所以，k的取值范围为-1k0。三.数形结合思想在证明不等式问题中的应用例3：已知实数x、y满足x+y=1，求证：分析：这道题目代数证明方法很多，就不一一列举了。这里介绍如何利用图象去解决问题。我们注意到可以用来表示点（x，y）到点（-2，-2）的距离d的平方。所以这道题目我们可以有如下的解法。图3解：在直角坐标系中，x+y=1为一条直线，表示直线x+y=1的任一点（x，y）到点（-2，-2）的距离d的平方，而距离d的最小值为点（-2，-2）到直线x+y=1的距离。所以所以d2，即。四、数形结合在不等式最值问题中的应用例4求函数的值域分析 求函数的值域，即要寻找含y的不等式(组)，但函数结构中有无理式，即使平方，也未必能呈现较好的数学结构此时是否可以考虑换元，使其函数式的结构较为易于求值域(你对这一数学结构熟悉吗？),又y=m+n，即 n=-m+y(它表示什么？)所以问题转化为直线（纵截距为y，斜率为1）和椭圆有公共点的问题在同一坐标系内作两函数的图象(如图4)知，|OC|y|OB| 因为方程有解，所以(通过该问题的解决，你有什么感受？还能提出什么问题？能一般化吗？)评述 解完一道数学题后，要进行反思，要细心品味其中的数学思想，方法。大胆的提出一些问题，并尝试着去解决，如：形如一类函数，能用此方法解决吗？等等。解比较综合性的问题时，注意改变看问题的角度比如该题改变了看坐标的习惯，是在mon直角坐标系内，揭示其原问题的数学特征，使较复杂的问题转化为熟悉易解的问题例5求函数的值域分析 解决这类函数值域问题的通常想法是：化无理式为整式，其手段是“平方”。若变为形式后平方，也不会有比较好的结构出现此时若认真观察被开方数，会发现配方后将有好的形式出现解：由已知函数可得设，化简式得 易看出(表示以原点为圆心，2为半径的下半圆)于是问题转化为直线与半圆有公共点的问题在同一坐标系内作二函数的图象(如图5)知，-|OB|b|OC|消n得：则由，即解得因为|OC|=4，故 : 又，所以。 评述 此方法可以较简捷地求形如一类函数的值域。解决这类问题的思路是：换元，使其函数表达式的较隐蔽的几何背景挖掘出来，利用数形结合的思想方法，直观的表现出问题的实质例6 已知三个不等式：(1)若同时满足、的x值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围解 设的解集为A，的解集为B，的解集为C解得A=(-1，3)；解得B=0，1)(2，4，所以AB=0，1)(2，3)(1)因为满足的x值也满足，所以设则由f(x)的图象(如图2)可知：方程f(x)=0的小根小于0，大根大于或等于3时， 10即可满足所以 即 因此。，因此所以方程的小根大于1，大根小于或等于4(如图3)，因此即m的取值范围是（1），（2）评述 同时满足的x值满足的充要条件是： 对应的方程的两根分别在(-，0)和3，+内，因此有f(0)0且f(3)0，否则不能对AB中的所有x值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系通过以上几道例题的分析求解，我们可以看出不等式的核心问题是不等式的同解变形，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用运用数形结合思想，确实能简化我们的解题过程