2011年陕西高考理科数学试题.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题,每小题5分,共50分）1.设是向量，命题“若，则”的逆命题是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则D.若，则2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是A.B.C. D.3.设函数满足则的图像可能是4.展开式中的常数项是A.-20 B.15C.15 D.205.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.B.C.D.6.函数在内A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点7.设集合,为虚数单位,则为A.B. C. D. 8.右图中,为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,为该题的最终得分.当时,等于A.11B.10C.8D.79.设（，）,（，）,（，）是变量和的个样本点,直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图）,以下结论中正确的是A.和的相关系数为直线的斜率B.和的相关系数在0到1之间C.当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D.直线过点10.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是A. B. C. D.第II卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.设若，则= 12.设,一元二次方程有整数根的充要条件是= 13.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 .14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 （米）.15.（考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若关于的不等式存在实数解,则实数的取值范围是 .B.（几何证明选做题）如图,且,则 .C.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点分别在曲线（为参数）和曲线上,则的最小值为 .三、解答题:解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16.（本小题满分12分）如图,在中,是上的高,沿把折起,使.（）证明:;（）设为的中点,求与夹角的余弦值.17.（本小题满分12分）如图,设是圆上的动点,点是在轴上的射影,为上一点,且（）当在圆上运动时,求点的轨迹的方程;（）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的长度.18.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理.19.（本小题满分12分）如图,从点作轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为（）试求与的关系 （）求20.（本小题满分13分）如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;（）分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率;（）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.21（本小题满分14分）设函数定义在上，导函数（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题110 DBBCABCCDD二、填空题111 123或4 13142000 15A B C316解（）折起前是边上的高，当折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。（）由及（）知DA，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），与夹角的余弦值为，=17解：（）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知得P在圆上，即C的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程，得 即 线段AB的长度为注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。18解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有证法一 如图即同理可证证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则, 同理可证19解（）设，由得点处切线方程为由得。（），得，所以于是，20解（）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2用频率估计相应的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲应选择LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙应选择L2（）A,B分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知,又由题意知，A,B独立， 的分布列为X012P00404205421解 （）由题设易知，令得，当时，故（0,1）是的单调减区间，当时，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为（），设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即，当时，即（）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意，有