高中数学 8.1正弦定理课件 湘教版必修4.ppt

课标要求 理解正弦定理的推导过程 会初步运用正弦定理解斜三角形 8 1正弦定理 自学导引 1 2 锐角 abc的外接圆o的半径为r 能否用r和角a表示a 在钝角 abc中呢 提示能 均有a 2rsina在 abc中 为什么说a b等价于sina sinb 提示a b a b 2rsina 2rsinb sina sinb 自主探究 1 2 答案7答案4 预习测评 abc中 p sina sinb和q a b推出情况是 a p qb q pc q pd pq qp答案c 3 在 abc中 下列关系中一定成立的是 a a bsinab a bsinac a bsinad a bsina答案d 4 几何法证明正弦定理教材中 用三角函数的定义给出正弦定理的证明 下面我们给出几何法证明 且引入三角形的外接圆半径 对以后解三角形非常有益 证明设bd为 abc外接圆 o的直径 则bd 2r 下面按 a为直角 锐角 钝角三种情况加以证明 名师点睛 1 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 并且都等于外接圆的直径 特别提示在用正弦定理解三角形时 经常用到以下三角关系式 请牢记并灵活地加以运用 a b c 在 abc中 设角a b c的对边分别为a b c 下同 sin a b sinc cos a b cosc 1 已知两角和任意一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 2 已知两边和其中一边的对角 不能唯一确定三角形的形状 解这类三角形问题将出现无解 一解或两解三种情况 应分情况给予讨论 下面为已知a b和a 用正弦定理求解三角形时的各种情况 列表如下 如果sinb 1 则问题无解 如果sinb 1 则问题有一解 如果求出sinb 1 则可得b的两个值 但要通过 三角形内角和定理 或 大边对大角 等三角形有关性质进行判断 在 abc中 a 5 b 45 c 105 求边c 解由三角形内角和定理知a b c 180 所以a 180 b c 180 45 105 30 题型一已知三角形的两角及一边解三角形 例1 典例剖析 方法点评已知三角形的任意两角和任一边 均可解该三角形 本例中要注意在 abc中 a b c 180 的运用 已知三角形的两角分别是45 60 它们所夹边的长是1 求最小边的长 解设 abc三内角a 45 b 60 则c 75 c b a 最小边的长为a 1 a 45 或135 b 135 c 45 d 60 答案c方法点评利用正弦定理解三角形时 需注意 三角形 这个前提 如题目中根据 内角和为180 对求得的解进行检验 题型二已知两边及其一边的对角解三角形 例2 满足a 4 b 3和a 45 的 abc的个数为 a 0个b 1个c 2个d 无数多个解析因为a 45 3 b 所以 abc解的个数为一解 故选b 答案b 2 在 abc中 若acosa bcosb 试判断 abc的形状 解由正弦定理得 a 2rsina b 2rsinb 由acosa bcosb得 sinacosa sinbcosb 即sin2a sin2b 2a 2b 0 2 2a 2b或2a 2b abc为等腰三角形或直角三角形 方法点评判断三角形的形状 一般方法就是 边角统一 即化边为角或化角为边 题型三利用正弦定理判断三角形的形状 例3 b2 a2 ab 又2sinasinb 2sin2c 由正弦定理得 2ab 2c2 由 得b2 a2 c2 所以该三角形是以b为直角顶点的直角三角形 3 误区警示易出现丢解或多解的错误 例4 由研究特殊三角形到一般三角形 得出任意三角形的边 角之间的数量关系 即正弦定理的过程 是探讨数学问题常用的 从特殊到一般 的思想方法 已知两角和任