棱柱与棱锥.doc

棱柱与棱锥内容提要 1棱柱的本质特征有两个： （1）有两个面（所在平面）互相平行； （2）其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行。 2棱柱按不同的分类标准可以得到不同的分类方法； （1）以底面多边形的边数分类：棱柱底面是几边形就称这棱柱是几棱柱。如底面是三角形，四边形，五边形等的棱柱分别叫三棱柱，四棱柱，五棱柱等。 （2）以侧棱和底面的关系分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧面和底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 对于具体的棱柱我们往往同时用它的两种类属来表示，如斜三棱柱，直四棱柱，正五棱柱等，这种表示方法更能体现棱柱的特征。 3棱柱的性质，可以由棱柱的定义出发，利用空间直线和平面相应位置关系的有关知识推出。 （1）棱的性质：侧棱都平行，并且都相等。 （2）面的性质：侧面是平行四边形；两个底面平行，是全等多边形。 （3）截面性质：平行于底面的截面是与底面全等的多边形；对角面是平行四边形。 4计算公式 （1）棱柱的体积：V棱柱=Sh（S为底面积，h为棱柱的高）； （2）棱柱的侧面积=各侧面面积之和； （3）长方体的对角线长l：l2=a2+b2+c2（a、b、c分别为长、宽、高）。 5直棱柱直观图的斜二侧画法包括两个主要步骤： （1）水平放置的平面图形（直棱柱的下底面）的画法； （2）直棱柱的侧棱及上底面的画法。 要点揭密 在学习本节时，要注意在掌握概念和性质的基础上，以常见的三棱柱、平行六面体、长方体、正方体为截体，研究与处理：线线关系、线面关系、面面关系。解决这类问题常用的方法有：作辅助线，或补形等等。利用前面所学知识，转化、降维，把数和形完美地结合起来，使问题获得解决。 知识讲解 一棱柱 1棱柱的概念及其性质名称棱柱直棱柱正棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱。侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱柱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱性质1侧棱都相等且互相平行 2侧面都是平行四边形 3两个底面与平行于底面的截面（对角面）是全等的多边形 4过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形1侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2侧面是矩形 3两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 4对角面是矩形1侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2侧面是全等的矩形 3两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形 4对角面是矩形，有的会是全等的矩形2棱柱的分类 （1）根据棱柱底面边数分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱 （2）按照棱柱的侧棱与底面的位置关系分别称做斜棱柱（侧棱与底面不垂直），直棱柱（侧棱与底面垂直） （3）底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱 （4）平行六面体的性质见下表: 名称平行六面体直平行六面体长方体正方体定义底面是平行四边形的四棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体性质1具有一般棱柱所有的性质 2六个面都是平行四边形 3相对的两个面都互相平行且相等 4两条对角线相交于一点且在该点互相平分1具有平行六面体所有的性质 2四个侧面都是矩形，相对的侧面是全等的矩形 3对角面是矩形1具有直平行六面体所有的性质 2一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和1具有长方体的所有性质 2一条对角线的长的平方等于一条棱长的平方的三倍（5）柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积乘以高，柱体的体积公式是V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。 （6）关于长方体的对角线的定理即长方体的一条对角线长的平方等于同一顶点上的三条棱的长的平方和，是研究长方体问题的基础。 二棱锥 1 锥的概念和性质和求积公式名称棱锥正棱锥定义底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫做正棱锥性质1底面是多边形 2侧面是以棱锥顶点为公共顶点的三角形 3侧棱不一定相等 4棱锥截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比1底面是正多边形 2侧面都是全等的等腰三角形 3侧棱都相等 4同左4，对正棱锥仍然成立 5棱椎的高，斜高和斜高在底面上的射影以及棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影分别组成直角三角形侧面积棱锥的底面周长是C，斜高是h， 则S侧 全面积棱锥的侧面积是S侧，底面积是S底，则S全=S侧S底体积棱锥底底面积是S高是h，V锥体= Sh 2.正棱锥是学习的重点，要注意以下两点，其一是棱锥的底面是正多边形；其二是棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心。3记住下表的关系，将有助于关于多面体中的面积和体积的运算。 例题分析第一阶梯 例1下列命题： （1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱。 （2）对角面是全等的矩形的平行六面体是长方体。 （3）长方体一定是正四棱柱。 （4）相邻两侧面是矩形的棱柱，一定是直棱柱。 其中正确的命题个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解: （1）侧棱与底面边长相等，底面为菱形的直棱柱，侧面均为正方形，但不是正棱柱。 （2）正确。 （3）长方体的底面不一定是正方形。 （4）因相邻侧面的棱垂直于底面，又所有侧棱平行，则其它侧棱也垂直于底面，故为直棱柱，命题正确。 由上述分析可知，选（C）。 例2已知长方体的全面积（底面积与侧面积的和）为11，十二条棱长之和为24，求长方体对角线之长。 解 设长方体的一个顶点上的三条棱长分别为a、b、c，由已知条件及长方体对角线性质，得 （2）式即为a+b+c=6，（3） 将（3）式两边平方减去（1）式两边，得a2+b2+c2=25， 长方体的对角线长为5。 评注 长方体的一个顶点上的三条棱长a，b，c的大小决定了长方体的形状大小，长方体中的许多元素（对角线长、侧面积、体积等）都可以用a，b，c的式子表示。一般要已知三个独立条件，列三个式子，方可求得a，b，c的值。而本例已知两个独立条件，所以不能通过求a，b，c来求a2+b2+c2，而是把a2+b2+c2看成一个整体，利用已知条件和平方关系式（a+b+c）2=（a2+b2+c2）+（）直接求得。这充分体现了方程思想和整体处理问题的思想方法在解本题中的运用。 例3长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、，求证：cos2+cos2+ cos2=1 【分析】证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法 证明： 设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为、，连结AB1、CB1、D1B1，则B1DA、B1DC、B1DD1都是直角三角形 例4平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长都相等，且B1C1D1CC1B1CC1D160 (1)求证平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1a，求C到平面A1B1C1的距离 分析 (1)如图，作CO平面A1B1C1于O CC1B1CC1D，O在B1C1D1的角平分线上 又A1B1C1D1是菱形 D1B1A1C1，A1C1平分B1C1D1 OA1C1，即A1C1是CC1在平面A1B1C1D1内的射影，因此，D1B1CC1 B1D1平面A1C1CA 平面BB1D1D平面A1C1CA (2)作OMB1C1于M，连CM，在RtCC1M中，CC1a， 例5如图，设正三棱柱A1B1C1ABC的各条棱长都为a，M、N分别为BB1、CC1的中点，求经过A、M、N三点的截面与底面所成的角。 评注 由于已知图形中过A、M、N的截面与底面ABC只有一个公共点，这两个平面所成的二面角的棱在图中没有出现，因此解本题的关键是作出二面角的棱l。另外，本题也可用射影面积公式求解。设二面角为 ，则 例6如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1 (1)求证：BEEB1 (2)若AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数 DA1C1DA1B1B1A1C190， 即 DA1A1C1 CC1面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，由三垂线定理得DA1A1C，所以CA1C1是所求二面角的平面角且A1C1C90 CC1AA1A1B1A1C1， CA1C145，即所求二面角为45 如果改用面积射影定理，则还有另外的解法 另解 设ABC的边长为a，截面A1EC和底面所成二面角为， 第二阶梯 例1如图三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=a，BAC=90；顶点A1在底面ABC上的射影为BC边的中点M (1)求证：BC垂直于过三点A1，A，M的平面； (2)如果平面A1ABB1与平面ABC所成的二面角为60，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积V 例4已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为5，过AB作一个截面，截面与底面成60角，则截面的面积是（ ）. A、4B、 C、 D、 分析：（1）先确定截面形状，即截面是与棱交于线段上或延长线上，（2）由截面形状是三角形或梯形，进一步求出面积. 解： 设过AB的截面与侧棱CC1（或延长线上），交于一点P（如图所示），取AB的中点为D，连结PD、CD，由CAB是正三角形知CDAB，再由三垂线定理知PDAB，故截面PAB与底面ABC所成二面角的平面角就是PDC. 由已知PDC=60. CD= BA= ， PC=CDtanPDC=3. P在侧棱CC1上，截面为PAB. PD=2CD= ， SPAB= PDAB= 2= .故选B. 点评：若其他条件不变，将棱柱的高改为h, 求截面面积，就需要讨论，同学们可以验证： 当h3时，截面为等腰三角形，顶点在侧棱CC1上，面积为定值 ；当hy B、x=y C、xy D、不能确定 9若两个平行于底面的截面恰好三等分棱锥的体积，则此棱锥的高被截面分得的三条线段的长的比为（ ）. A、 B、1( -1)( -1) C、149 D、1( -1)( - ) 10如图， 正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设a为EF与AC所成的角，b为EF与BD所成的角，b为EF与BD所成的角，则a+b等于（） A、 B、 C、 D、 答案与解析答案：1、D 2、C 3、B 4、A 5、A 6、D 7、C 8、B 9、D 10、A解析：1答案：D命题A中的棱柱应是直棱柱，不一定是长方体.命题B中直四棱柱的底面可以是任意四边形，不一定是矩形.命题C中有两个相邻的侧面互相垂直，不一定与底面垂直，所以不一定是直棱柱.可见A，B，C都是假命题.D命题中，有两个相邻侧面是矩形，可推出有一条侧棱与底面垂直，所以棱柱是直棱柱，应选D. 2答案：C由已知条件，可求出底面菱形的两条对角线长分别为10 cm和2 ,再进一步可求出底面边长为8cm. 因此选C. 3答案：B如图，由AA1=b, A1AD=45，可求得AD= ，DO= ，则A1O= .所以V= .因此选B. 4答案：A.过点O在面ABB1A1，内作直线EF/BB1交AB于E，交A1B1于F，因为BB1/CC1，所以EF/CC1，于是OP总在平面EFCC1内，又易知BMCE，CC1面ABCD，所以CC1BM，所以BMEFCC1，所以BMOP. 应选A. 5答案：A. 因为侧面与底面垂直，所以作MH平面B1BCC1，又作HFBC于F，则MFBC，于是MF的长即为所求.易知MH= a，HF=a，由勾股定理MF= a，应选A. 6答案：D三条侧棱长相等的三棱锥，顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，直角三角形的外心是斜边中点.因此选D. 7答案：C平面PAB面ABCD，面PAC面ABCD，面PAC面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面PCD，面PBD面PAC，面PAB面PAD，共有7组互相垂直的平面. 8答案：B用特殊值法.如ABCD为正方形、菱形.有x=y. 故本题应选B. 9答案：D由棱锥的性质可知，用平行于底面的平面截棱锥，它们的面积比等于对应高的平方比.容易推出它们的体积比为对应高的立方比. 设截面为底的棱锥的高与原棱锥的高分别为h1,h2,h3(h1h2h3), 则V1V2V3= .又V1V2V3=123，故 =123，所以h1h2h3=1 .于是h1(h2-h1)(h3-h2)=1( -1)( - ). 10答案：A. 用直接法.取BC中点Q，连结EQ、FQ EQ/AC，FQ/BD，QEF，QFE分别是AC、BD与EF所成的角，即：QEF=a，QFE=b，EQF是异面直线AC与BD所成的角，由正三棱锥，可得EQF= ，a+b= .应运用向量法解有关棱柱和棱锥的问题利用向量解立体几何问题，有其独特点优势，既可以将空间问题转化为研究某一平面的问题，用平面向量的方法（纯向量运算或坐标运算）去解决，还可以用空间向量的方法去解决。因此，教学中，不要用传统的方法去进行题形训练，应注重在概念的理解和掌握（如二面角），向量工具的选择与操作，重视通性、通法的教学，提高学习的效率。 例 1(2000年全国（理）第18题的向量解法）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CD=BCD=60 。 (I)证明：C1CBD ； (II)假定CD2，C1C ，记面C1BD为a ，面CBD为 b ，求二面角aBDb 的平面角的余弦值； (III) 的值为多大时，能够使A1C平面C1BD ? 请给出证明。 再看2002广东高考第19题的向量解法： 证法二：作AEDP ，垂足为E，连EC