统计学毕业论文——概率应用

安阳师范学院本科学生毕业论文概率统计在实际生活中的一些应用作 者 吴苏伟 系 (院) 数学与统计学院 专 业 统计学 年 级 2011级 学 号 110801106 指导教师 牛保青 论文成绩 日 期 2015年5月14日 诚信承诺书郑重承诺:所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名: 日期:导师签名: 日期:院长签名: 日期:论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.保密论文在解密后遵守此规定.作者签名:导师签名:日期:概率统计在实际生活中的一些应用吴苏伟（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳 455000）摘 要:根据概率与统计学中古典概型、全概率公式、高斯分布、单因子方差分析、数学期望等相关知识,探讨概率统计在生活工作中的广泛实际应用,为解决实际生活中的问题提供了理论基础.本文从几个常见问题出发介绍概率统计在实际中的应用,进一步探索概率论与数理统计和实际生活的高度联系,从中可以看出概率论与数理统计的思想在解决问题中的科学性 高效性、和实用性.概率论是生活真正的领路人,没有对概率的某种估计, 我们就寸步难行, 无所作为.关键词:古典概型;全概率公式;高斯分布;中心极限定理;期望1 引言 概率与统计的一些概念和简单的方法,早期主要用于赌博和人口统计模型.随着人类的社会实践,人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性,并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小,从而产生了概率论,并使之逐步发展成一门严谨的学科.概率与统计的方法日益渗透到各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用,如广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中.2 全概率公式的应用全概率公式是概率论中的重要公式,它提供了一条计算复杂事件概率的有效途径,在实际应用中同样重要.定义 设,.为样本空间的一个分割,即,.互不相容,且=,如果,则对任一时间A有. 例1 在一个工厂中有10盒同种规模的产品,A,B,C厂生产该种产品的次品率分别为,已经A生产了5盒,B生产了3盒,C生产了2盒,现在任取一盒产品,再从中任取一件,求取出产品为正品的概率.分析与解:可设从A、B、C取到的产品事件分别为,则（i=1,2,3）,且他们互不相容.设最后取出的产品为正品这一事件为B,则 P（B）= =x+ = 最后取出产品为正品的概率为.2.2信用等级的判定1.1在哪里？ 例2 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩儿每天到山上放羊,山里有狼出没.第一天,他在山上喊:“狼来了！狼来了！”山下的村民闻声便去打狼.可到山上,发现狼没有来,第二天仍是如此,第三天狼真的来了,可无论小孩儿怎么喊叫,也没有人来救他,因为前两次他说了谎,人们不再相信他了.用贝叶斯公示分析村民对小孩儿的可信程度是如何下降的.首先记事件A为“小孩儿说谎”,记事件B为“小孩儿可信”.不妨设村民过去对这个小孩儿的印象为我们现在用贝叶斯来求 第一次村民上山打狼,发现狼没有来,即小孩儿说了谎（A）,村民根据这个信息,对这个小孩的可信程度改变为 这表明村名上了一次当后,对这个小孩儿的可信程度由原来的0.8调整为0.444,也就是 第二次说谎后,可信程度为: 这表明次农民们经过两次上当,对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138.银行贷款连续两次不还,银行据此第三次不会借贷,也是同样的原因.3 古典概率问题是概率论中的基本问题,它具有以下特征:标题统一格式，最后不加标点 （1)样本空间的元素（即基本事件）只有有限个.不妨设为n个,并记它们为 （2）每个基本事件出现的可能性是等可能的,即有计算公式如下:如果事件所包含的样本点数为,样本空间中样本点的总数为,则事件的概率是. 这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,它在概率论中有很重要的地位.一方面,由于它比较简单,许多概念既直观又容易理解;另一方面,它概括了许多实际问题,有很多广泛的应用. 古典型概率问题有三大典型问题:摸球问题、质点入盒问题和随机取数问题.古典概型有如下3个性质: （i)对任意事件,有 （ii） (iii)设为两两互斥的个事件,则 （i)、（ii）、(iii)分别称为概率的有界性、规范性与有限可加性.3.1 古典概型在实际问题中的应用 例3 一个箱子里装有大小相同的10只玻璃球,其中4只黑球,6只白球,一次摸出两只玻璃球, （1）共有多少个基本事件？小标格式要一致，括号大小保持统一 （2）摸出的两只都是白球的概率是多少？解 （1）共有三个基本事件（2只白球、2只黑球、1黑1白两只球）,十个基本事件（12,13,14,15,23,24,25,34,35,45）;(2) 事件“两只都是白球”P=. 例4 设有个人,每个人的生日在个月中任何一个月份是等可能的,试求个人的生日恰巧在两个月中的概率.解 设事件.每个人的生日都有种取法,个人 共有种取法,即样本空间.个人的生日恰巧在个月的两个月份,有种取法,个人的生日在两个月的任何一个月份是等可能的,但个人的生日不能在某一个月份,即有种取法,故,于是. 例5 在长度为a的线段内任取两点将其分为三段,求他们可以构成一个三角形的概率解 由于是将线段任意分成三段,所以由等可能性知这是一个几何概率问题,分别用 x,y和a-x-y表示线段被分成的三段长度,则显然应该有 第三个式子等价于.所以样本空间为 的面积为 又根据构成三角形的条件:三角形中任意两边之和大于第三边,得事件A所含样本点 必须同时满足 整理得 所以事件A的面积为 由此得3.2 几何概型在实际问题中的应用如果我们在一个面积为的区域中,等可能任意投点（见图1）. 图1这里“等可能”的确切意义是指:设在区域中有任意一个小区域,如果它的面积为,则点落入中的可能性大小与成正比,而与的位置及形状无关.如果“点落入小区域”这个随机事件仍然记作,则由可得 这一类概率通常称作几何概率. 几何型概率保留了概率的等可能性特征,但样本点的个数为无限（不可列）个.要根据具体问题选择适当的几何测度,然后计算事件的概率.几何概率除了具有古典概型的3个性质外,它还具有如下的可列可加性（或完全可加性）: （iv）设为两两互斥的无穷多个事件,则（蒲丰投针问题） 不能直接这么写例6 设平面上一系列平行线的间距为,向平面投一长为的针,求针与平行线相交的概率.解 如图2所示,以表示针的中点到最近一条平行线的距离,表示针与直线的交角,则,样本空间的点充满图2中的矩形区域. 图2 要针与平行线相交,应有,满足条件的点充满图2中的阴影区域.所以蒲丰投针问题有一些重要的应用.其中,关于圆周率的计算最重要.圆周率是个无理数,其数位是无限延伸的.祖冲之在多年前就给出的“约率”和“密率”,这是中国对世界数学做出的最辉煌贡献之一.直到今天数学界仍在对进行研究和计算,利用蒲丰投针也可对进行近似计算.在中,表示针与平行线相交的概率.当与固定时,就只依赖于,而可以通过重复向平面投针求得,如果投次中有次针与平行线相交,则近似为,由频率的稳定性,当投的次数越多时,近似程度越好,即的近似程度越好.3.3 配对问题: 例7 一个有n人参加的晚会上,每个人带了一件礼物,且假定各人带的礼物都不相同,晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件,问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少？解 记时间“第i个人自己抽到自己的礼物”,i=1,.,n.所求概率为 居中因为 . 所以由概率的加法公式得 譬如,当n=5时,此概率为0.6333;当时,此概率的极限为=0.6321. 这表明:即使参加晚会的人很多,事件“至少有一个人自己抽到自己礼物”也不是必然事件.3.4 会面问题 例8 有A,B两人计划定上午10点后,相约某地.两人定于10点至10点半到达目的地,先到者等分钟后可离去,请计算两人能成功会见的概率.解 设表示A到达的时刻,表示B到达的时刻,则x,y取值范围为.A、B两人能会面的充分必要条件为,即 . 样本空间为区域 , 是边长为的正方形,其面积为,位于和之间的部分,如图的阴影部分,面积是,故A、B两人能会面的概率为 .4 数学期望 数学期望简称期望,也叫均值,是概率统计随机变量最重要的数学特征之一,属于算术平均加权.4.1 数学期望在理财问题中的应用 例9 小明用10万元进行为期一年的投资,有两种投资方案:一是存入银行获取利息,二是购买基金.买基金回报取决于社会经济走势,若经济形势好可获利4万元,形势中等可获利1万元,形势不好要损失2万元.如果存入银行,假设利率为8%,可得利息8000元,又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%.问我们选择哪一种投资方式可以使得最后收益最高？ 我们可以利用数学期望来判断选择哪种投资方式,购买基金股票的获利期望是1.3万元;存入银行的获利期望是0.8万元.所以购买基金股票的期望收益比存入银行的期望收益大,应采用购买基金股票的方案.基金股票是风险投资,带有一定的随机性,运用数学期望这一随机变量的总体特征来决策投资是比较客4.2 在医学疾病普查中的应用 医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到大量人群中普查某种疾病.如甲肝的普查就需要对某地区大量人进行血检.假设需要检查N个人的血,如果逐人验血,则共需要检验N次,平均每人一次.若把这N个人大致分为组,每组k个人,把这k个人的血样混合,首先检验混合血样,平均每人次,如果结果呈阳性,则在逐个检验,即共需k+1次,平均每人需次,当被普查人数众多时,应用分组检验的方法能大大减少检验的次数. 例10 某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右,假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查,问用分组检验方法是否比逐人检验减少检查次数.解:将这5000人分成组,每组k个人,每人所需检验的次数为随机变量X,每人的平均所需检验次数的期望为: 显然,当k=1,2,3,4,时,即每人平均所需次数小于1,这比逐人检查的次数要少.由数学分析的知识可知当k取16时,取值最小.即将5000人大致分为每组16人检验即可.4.3 数学期望在求解最大利润问题的应用 例11 某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的的市场需求量X服从（300,500）上的均匀分布,每售出一吨该原料,公司可获利1.5（千元）,若积压一吨,则公司损失0.5（千元）.问公司该组织多少货源,可使平均收益最大？解 设公司组织货源a吨,则显然应该有,又记Y为在a吨货源的条件下的收益额（单位:千元）,则收益额Y为需求量X的函数,即Y=g(X),由题设条件可知: 当时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a. 当时,则售出X吨,且还有a-X吨积压,所以共获利1.5X-0.5（a-X）,由此知 当a=450吨时,能使E（Y）达到最大,即公司应该组织货源450吨.5 正态分布（Normal distribution） 又名高斯分布（Gaussian distribution）,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力.若随机变量X服从一个数学期望为、方差为2的高斯分布,记为N(,2).用数字编辑器其概率密度函数为正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的幅度.5.1 正态分布基本应用 例12 某县农民年平均收入服从元,元的正态分布 打一起 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比;（2）如果要使此县农民年平均收入在内的概率不少于0.95,则a至少有多大？ 解 （1）P(500520) =()一() =(1)一(0) =0.84130.5000=0.3413 (2)P(一+) =()一() =2()一10.95,所以()0.975,查表知1.96,39.2,即应至少为39.25.2 正态分布在等级划定中的应用 在考试中,如果考生的成绩X近似的服从正态分布,则通常认为这次考试是正常的,教师经常把分数超过的评为A等,分数在到之间的评为B等,分数在到之间的评为C等,分数在到之间的评为D定,分数在以下这评为F等,由此可计算得: 这说明:用这种方法划分成绩的等级,获得等的约占16%,B等的约占34%,C等的约占34%,D等的约占14%,F等的约占2%5.3 正态分布在工程管理中的应用 正态分布是自然界里最常见的一种分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广,所以通常称为高斯分布.例如射击以及机械制造过程中所发生的误差、人的生理尺寸、农作物的收获量.也都非常近似于正态分布.若随机变量的密度函数为 ,则称服从正态分布,称为正态变量,记作,其中参数.其密度函数的图形如图所示.是一条钟形曲线,中间高、两边低、左右关于对称,是正态分布的中心,且在附近取值的可能性大,在两侧取值的可能性小.是该曲线的拐点.正态分布的分布函数为.它是一条光滑上升的形曲线,见图. 图 当时,称服从标准正态分布,记为,其概率密度和分布函数分别为 并有 若随机变量,则通过线性变换化成标准正态分布.事实上, 简单说,若,则.类似地有 正态分布具有再生性.即若一维随机变量,由于和相互独立,则和的任何线性组合. 推广 一般地,设为相互独立的随机变量,且,由归纳法得服从正态分布.事实上(为任意实数)仍服从正态分布,即. 例13 设某工程队完成某项工程所需时间近似服从.工程队上级规定过完工,罚款万元.求该工程队在完成此项工程时所获奖金的分布律. 解 ,是的函数,可取值为, 故 所以,所获奖金的分布律为 56 中心极限定理: 设从均值为、方差为（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为的正态分布.6.1 中心极限定理在保险业务中的应用 保险行业可以说是应用概率与统计知识最频繁的一个领域了,人口数据、意外因素估计、保险金额、赔付比例等等,这些都是经过分析统计才能得出的结果.此处本文将通过两个典型的保险实例来说明中心极限定理在这一领域中的应用. 中心极限定理对保险业具有指导性的意义, 一个保险公司的亏盈, 是否重组, 和通过学习中心极限定理的只是都可以做到估算和预测, 大数定律是近代保险业赖以建立的基础. 下面例题阐述了大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用 例14 某家保险公司此次有10000个人参与了人寿保险,平均每人每年付30元保险金. 据调查统计, 一年之内有一个人死亡的概率大约为0.2%,而此后, 死者家属可向保险公司申请领取5000元的慰问金,请问: (1)该保险公司有多大的概率可能在这个项目上亏本? (2)该保险公司一年内有多大的概率在这个项目上获利不少于150000元? 解 (1)若一年内死亡的人数设为X,则 ,其中, , 设保险公司一年内的利润为, 因此,由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理 =0 因此该保险公司几乎不会因为该项目而亏本. (2)由题意可知,即求 =-= 因此,由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,上式可表为 即该保险公司一年内将有98.74%的可能于该项目中获得不少于150000元的利润. 例15 某药厂生产的某种药品,声称对疾病的治愈率为80%,现为了检验此治愈率,任意抽取100个此种病患者进行临床试验,如果至少有75人治愈,则此药通过.试在以下两种情况下,分别计算此药通过检验的可能性. （1）此药的实际治愈率为80% （2）此药的实际治愈率为70% 解 记n=100,为100个临床受试者中的治愈者人数 （1）因为, 所以通过检验的可能性为 即此药通过药检的可能性是较大的 （2）因为所以通过检验的可能性为 即此药通过检验的可能性是很小的.6.2 中心极限定理的意义 首先,中心极限定理的核心内容是只要n足够大,便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量,所以可以利用它解决很多实际问题,同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实,从而正态分布成为概率论中最重要的分布,这就奠定了中心极限定理的首要功绩. 其次,中心极限定理对于其他学科都有着重要作用.7 结束语题目 参考文献 注意字号1魏宗舒,等编.概率论与数理统计教程(第二版)M.北京:高等教育社,2008.4.2周概容,等编.概率论与数理统计大讲堂M.大连:大连理工出版社,2004.10.9-33.3滕素珍.概率论与数理统计大讲堂提高冲刺版M.大连:大连理工出版社,2005.8. 4孙清华,孙昊.概率论与数理统计内容、方法与技巧（第二版）M.武汉:华中科技大 学出版社,2006.5.15-104.5孙荣恒.趣味随机问题M.北京:科技出版社,2008.4-100.6茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程(第二版)M.北京:高等教育出版社, 2011.2.106-243.7王淑玲.概率论与数理统计在经济生活中的应用J.科技信息,2009,21:2138党玮.概率论与数理统计分析方法在商业企业中的应用J.商业现代化,2006,474:7.9蒋娟.身边中的概率论与数理统计J.科技信息,2010,15:134.10唐楠,王凤鸣.古典概率典型例与解法J.南阳师范学院学报,2004,9.5.11杜镇中 全概率公式及其应用 J 遵义师范学院学报, 200512陈文灯,黄开先 概率论与数理统计复习指导思路、方法与技巧M北京:清华大学出版社,200313 菜海涛 概率论与数理统计典型例题与解法 M 长沙: 国防科技大学出版社, 2003Some Applications of Probability and Statistics in RealityWu Suwei(School of Mathematics