华东师大版七年级下册数学9.2.1多边形形的内角和与外角和

9.2多边形的内角和与外角和一、教学目的1使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念2使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算二、重点、难点1重点：多边形的内角和与外角和定理2难点：多边形的内角和，外角和定理的推导三、教学过程（一）复习提问1什么叫三角形?2三角形的内角和是多少?3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?（二）新授1多边形的概念三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但习惯称三角形）我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图（1）它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD（按顺时针或逆时针方向书写）图（2）是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形与三角形类似如图，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角CBE和ABF，这两个外角是对顶角一个n边形有n个内角，有2n个外角如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线问：（1）四边形有几条对角线?（两条AC、BD）（2）五边形有几条对角线?以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段所以只有5条（3）六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引（n-3）条，（除本身这个点以及和这点相邻的两点外），那么n个顶点，就有n（n- 3）条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条2多边形的内角和公式三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和让学生填写教科书表9.2.1由此，你可以得到多边形的内角和公式吗?n边形的内角和（n-2）180知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n例1求八边形的内角和解：（n2）180=（82）180=1 080 例2一个多边形的内角和等于2160，求它的边数问题：一个正多边形的一个内角为150，你知道它是几边形?分析：正多边形的每个内角都相等多边形的内角和等于（n-2）180，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试对有困难的学生教师可以加以引导如图（教科书图9.2.5）每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以P为顶点的周角所得的差就是你n边形的内角和因此，n边形的内角和为：n180-360n180-2180=（n-2）180问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励3多边形的外角和什么叫多边形的外角和与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图9.2.6，1+2+3+4就是四边形的外角和多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和让学生填写填教科书表9.2.2n边形的内角与外角的总和为n180n边形的内角和为（n-2）180那么n边形的外角和为n180（n2）180=n180-n180+360=360这就是说多边形的9L角和与边数无关，都等于360例3一个多边形的每个外角都是72，这个多边形是几边形？解 n72=360解得 n=5因此，这个多边形是五边形 例4一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？ 解 （n-2）180=5360解得 n=12因此，这个多边形是十二边形 （三）巩固练习教科书练习题（四）小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，