江苏苏州第五中学高考数学总复习第6讲不等式的证明课件

第6讲不等式的证明 知识梳理1 基本不等式 1 定理 如果a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 a b 2 三个正数的算术 几何平均不等式 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 4 证明不等式的方法 1 比较法 求差比较法知道a b a b 0 ab 只要证明即可 这种方法称为求差比较法 a b 0 2 分析法从所要证明的结论入手向反推直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出所要证明的结论 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 4 反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式的假设 第二步 从出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 使它成立的充分条件 相反 条件和假设 5 放缩法所谓放缩法 即要把所证不等式的一边适当地 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 6 数学归纳法设 Pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题P1 或P0 成立 2 在假设Pk成立的前提下 推出Pk 1也成立 那么可以断定 Pn 对一切正整数成立 放大或缩小 规律方法分析法是证明不等式的重要方法 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 训练1 已知a b c R 且a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c R 且a b c 1 要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是证 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b 考点二用综合法证明不等式 例2 已知实数a b c d满足a b c d 规律方法证不等式时 在不等式的两边分别作恒等变形 在不等式的两边同时加上 或减去 一个数或代数式 移项 在不等式的两边同时乘以 或除以 一个正数或一个正的代数式 得到的不等式都和原来的不等式等价 这些方法 也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧 考点三利用柯西不等式求最值 例3 设x 2y 3z 3 求4x2 5y2 6z2的最小值 规律方法柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项 改变结构等手段改变题设条件 以利于应用柯西不等式 训练3 2012 盐城市期末考试 已知a b c为正数 且a2 b2 c2 14 试求a 2b 3c的最大值 解由柯西不等式 得 a 2b 3c 2 a2 b2 c2 12 22 32 142 当且仅当a 2b 3c时等号成立 所以a 2b 3c 14 即a 2b 3c的最大值为14 答题模板16 利用算术 几何平均不等式求最值 反思感悟 1 利用算术 几何平均不等式证明不等式或求最值问题 是不等式问题中的一个重要类型 重点要抓住算术 几何平均不等式的结