小波信号分解与重构的Matlab程序

Matlab小波分析工具箱丰富的函数和强大的仿真功能为我们学习小波、用好小波提供了方便、快捷的途径，但是，如果我们要深入掌握小波分析的原理，真正学好、用好小波，就应该尽量用自己编写的程序去实现小波变换和信号分析，尽量在自己的程序中少调用Matlab提供的函数，多用自己的理解去编写相关的小波函数，这样的过程是一个探索、求知的过程，更能让我们体会到小波的强大和学习的乐趣。下面，我把自己编写的小波一维、二维信号分解和重构Matlab程序共享出来，也希望有朋友共享自编的程序，共同学习，提高程序的效率和简洁性。首先要说明的一点是，虽然是自己编写Matlab程序，但并不是说一点也不用Matlab的自带函数。我们要编写的是实现小波变换的主要功能函数，而绘图等基本功能还是要用到Matlab函数的。而且，根据小波变换的滤波器组原理，原始信号要通过低通、高通滤波器处理，这里就涉及到卷积这一运算步骤。卷积FFT算法的实现，相信很多朋友都能用 Matlab、C语言等来实现，不过与Matlab自带的用机器语言编写的FFT程序相比，运算速度一般会慢几倍、几十倍。所以，我的程序里边涉及卷积的就直接调用Matlab的conv()函数了。我们知道，小波变换的一级分解过程是，原始信号分别进行低通、高通滤波，再分别进行二元下抽样，就得到低频、高频（也称为平均、细节）两部分系数；而多级分解则是对上一级分解得到的低频系数再进行小波分解，是一个递归过程。以下是一维小波分解的程序：function cA,cD = mydwt(x,lpd,hpd,dim);% 函数 cA,cD=MYDWT(X,LPD,HPD,DIM) 对输入序列x进行一维离散小波分解，输出分解序列cA,cD% 输入参数：x输入序列；% lpd低通滤波器；% hpd高通滤波器；% dim小波分解级数。% 输出参数：cA平均部分的小波分解系数；% cD细节部分的小波分解系数。cA=x; % 初始化cA，cDcD=;for i=1:dim cvl=conv(cA,lpd); % 低通滤波，为了提高运行速度，调用MATLAB提供的卷积函数conv() dnl=downspl(cvl); % 通过下抽样求出平均部分的分解系数 cvh=conv(cA,hpd); % 高通滤波 dnh=downspl(cvh); % 通过下抽样求出本层分解后的细节部分系数 cA=dnl; % 下抽样后的平均部分系数进入下一层分解 cD=cD,dnh; % 将本层分解所得的细节部分系数存入序列cDendfunction y=downspl(x);% 函数 Y=DOWMSPL(X) 对输入序列进行下抽样，输出序列 Y。% 下抽样是对输入序列取其偶数位，舍弃奇数位。例如 x=x1,x2,x3,x4,x5，则 y=x2,x4.N=length(x); % 读取输入序列长度M=floor(N/2); % 输出序列的长度是输入序列长度的一半（带小数时取整数部分）i=1:M;y(i)=x(2*i); 而重构则是分解的逆过程，对低频系数、高频系数分别进行上抽样和低通、高通滤波处理。要注意重构时同一级的低频、高频系数的个数必须相等。function y = myidwt(cA,cD,lpr,hpr);% 函数 MYIDWT() 对输入的小波分解系数进行逆离散小波变换，重构出信号序列 y% 输入参数：cA 平均部分的小波分解系数；% cD 细节部分的小波分解系数；% lpr、hpr 重构所用的低通、高通滤波器。lca=length(cA); % 求出平均、细节部分分解系数的长度lcd=length(cD);while (lcd)=(lca) % 每一层重构中，cA 和 cD 的长度要相等，故每层重构后， % 若lcd小于lca，则重构停止，这时的 cA 即为重构信号序列 y 。 upl=upspl(cA); % 对平均部分系数进行上抽样 cvl=conv(upl,lpr); % 低通卷积 cD_up=cD(lcd-lca+1:lcd); % 取出本层重构所需的细节部分系数，长度与本层平均部分系数的长度相等 uph=upspl(cD_up); % 对细节部分系数进行上抽样 cvh=conv(uph,hpr); % 高通卷积 cA=cvl+cvh; % 用本层重构的序列更新cA，以进行下一层重构 cD=cD(1:lcd-lca); % 舍弃本层重构用到的细节部分系数，更新cD lca=length(cA); % 求出下一层重构所用的平均、细节部分系数的长度 lcd=length(cD);end % lcd lca，重构完成，结束循环y=cA; % 输出的重构序列 y 等于重构完成后的平均部分系数序列 cAfunction y=upspl(x);% 函数 Y = UPSPL(X) 对输入的一维序列x进行上抽样，即对序列x每个元素之间% 插零，例如 x=x1,x2,x3,x4,上抽样后为 y=x1,0,x2,0,x3,0,x4;N=length(x); % 读取输入序列长度M=2*N-1; % 输出序列的长度是输入序列长度的2倍再减一for i=1:M % 输出序列的偶数位为0，奇数位按次序等于相应位置的输入序列元素 if mod(i,2) y(i)=x(i+1)/2); else y(i)=0; endend 我们知道，二维小波分解重构可以用一系列的一维小波分解重构来实现。以下程序是基于Haar小波的二维小波分解和重构过程：function LL,HL,LH,HH=mydwt2(x);% 函数 MYDWT2() 对输入的r*c维矩阵 x 进行二维小波分解，输出四个分解系数子矩阵LL,HL,LH,HH% 输入参数：x 输入矩阵，为r*c维矩阵。% 输出参数：LL,HL,LH,HH 是分解系数矩阵的四个相等大小的子矩阵,大小均为 r/2 * c/2 维% LL：低频部分分解系数； HL：垂直方向分解系数；% LH：水平方向分解系数； HH：对角线方向分解系数。lpd=1/2 1/2;hpd=-1/2 1/2; % 默认的低通、高通滤波器row,col=size(x); % 读取输入矩阵的大小for j=1:row % 首先对输入矩阵的每一行序列进行一维离散小波分解 tmp1=x(j,:); ca1,cd1=mydwt(tmp1,lpd,hpd,1); x(j,:)=ca1,cd1; % 将分解系数序列再存入矩阵x中，得到L|Hendfor k=1:col % 再对输入矩阵的每一列序列进行一维离散小波分解 tmp2=x(:,k); ca2,cd2=mydwt(tmp2,lpd,hpd,1); x(:,k)=ca2,cd2; % 将分解所得系数存入矩阵x中，得到LL,Hl;LH,HHendLL=x(1:row/2,1:col/2); % LL是矩阵x的左上角部分LH=x(row/2+1:row,1:col/2); % LH是矩阵x的左下角部分HL=x(1:row/2,col/2+1:col); % HL是矩阵x的右上角部分HH=x(row/2+1:row,col/2+1:col); % HH是矩阵x的右下角部分function y=myidwt2(LL,HL,LH,HH);% 函数 MYIDWT2() 对输入的子矩阵序列进行逆小波变换，重构出矩阵 y% 输入参数：LL,HL,LH,HH 是四个大小均为 r*c 维的矩阵% 输出参数：y 是一个大小为 2r*2c 维的矩阵lpr=1 1;hpr=1 -1; % 默认的低通、高通滤波器tmp_mat=LL,HL;LH,HH; % 将输入的四个矩阵组合为一个矩阵row,col=size(tmp_mat); % 求出组合矩阵的行列数for k=1:col % 首先对组合矩阵tmp_mat的每一列，分开成上下两半 ca1=tmp_mat(1:row/2,k); % 分开的两部分分别作为平均系数序列ca1、细节系数序列cd1 cd1=tmp_mat(row/2+1:row,k); tmp1=myidwt(ca1,cd1,lpr,hpr); % 重构序列 yt(:,k)=tmp1; % 将重构序列存入待输出矩阵 yt 的相应列，此时 y=L|Hendfor j=1:row % 将输出矩阵 y 的每一行，分开成左右两半 ca2=yt(j,1:col/2); % 分开的两部分分别作为平均系数序列ca2、细节