试谈中学数学╲〞双基╲〞的十项特征.doc

试谈中学数学“双基”的十项特征人民教育出版社 蔡上鹤1949年以来，我国中学广大的一线数学教师，经过不懈的努力，在基础知识和基本技能（俗称“双基”）教学方面取得了令世人瞩目的成绩。值此中学数学课程、教材、教法新的一轮深入改革进展之际，总结建国以来前半个世纪有关“双基”教学的经验，归纳“双基”的特性，是不无意义的。本文拟就这一主旨提出下述观点，以求教于广大的数学研究者与数学教育工作者。1 稳定性1.1 “双基”的内容在一定的历史阶段内具有相对的稳定性，并且是不以人的意志为转移的。这里的“历史阶段”，不是指数学史的发展阶段，而是指人类历史的发展阶段，它包括政治、经济、文化、教育、科技、军事等等；“相对”是指在一定的体系、范围内例如：l1=2在十进制计数法中具有相对的稳定性，但在二进制计数法中1十1=10；加法交换律在复数、矩阵的加法中是相对稳定的，但矩阵的乘法就不满足乘法交换律；三角形内角之和等于180只在欧几里得几何学中恒成立，在黎曼几何学、罗巴切夫斯基几何学、球面几何学中则是其他的情况；等等事实上，正是这种相对的稳定性，使各分支的“双基”成为该分支的内核，也使数学具有广泛的应用1.2 数学“双基”是以反映其产生过程的一组组结果（片断）作为其呈现形式的它们反映了研究者研究到某一阶段所获得的相对成果，阶段蕴涵于成果之中在阶段中，每一片断都有它的成果，但这些成果都不是这一阶段的最后成果；这一最后成果对于阶段中间的各局部成果、前期成果来说，一定具有创新性根据以上分析，过程与结果都是重要的，两者相辅相成，缺一不可，从整体上来说不存在谁比谁更重要的问题1.3 数学“双基”是人类经典文化的重要组成部分数学研究者、数学教育工作者都是“双基”经典的传承者和捍卫者，传播数学“双基”是数学传播这一神圣职责中的重要使命之一（另外两项使命是传播如何应用数学和发展数学），并且是数学传播成功之本数学“双基”的内容是要发展的，但这与任何经典都要发展一样，并没有什么奇怪2 发展性 数学“双基”具有发展性，这种发展的原因和动力主要来自以下三个方面2.1 因为数学各学科本身的发展例如：由于解方程的需要，使得人们对于数的认识经历了一个自然数整数有理数实数复数的过程；由于对向量的研究的深人，使得人们不断增加向量的维数，探讨了n维以至于无限维的向量空间；由于几何作图的需要，创立了画法几何学；等等2.2 因为科学技术的发展例如：由于计算工具的发展，中学数学对于某些烦琐的运算，经历了一个查数学用表拉计算尺用计算机（器）的过程在计算器得以普及后，“首数”“尾数”等知识便退出中学“双基”范围相反，一些重要的内容如概率统计初步，由于计算器的出现，使得繁复的计算成为可能，于是堂而皇之地进人中学“双基”领域（注意：中学生学习概率统计的主要目的是领会其思想方法，但如果没有计算器，繁复的计算将成为一道不可逾越的鸿沟，领会思想方法就不可能实现）2.3 因为实践的需要众所周知，劳动创造了人，也创造了数学几何学、三角学、微积分学的创立，都部分地来自测量、航海、军事的需要；偏微分方程的研究，与解决天文、历法的问题有关；概率论起源于大量现实问题，其中包括对博奕问题的探讨 可以认为，由于数学“双基”具有发展性，不仅“双基”的范围是发展的，而且理应存在以“双基”为相对稳定的“真子集”的“准双基”的范围在“准双基”范围内：有些内容会随时间的进程而成为“双基”（例如逻辑代数的初步知识）；有些本来是“双基”的内容则可能退出（例如直角三角形的射影定理）；还有一些内容，则是与实践密切相关的数学分支（例如测量、优选法、运筹学基础等），其中的内容（例如“坡度”“倾角”“方位角”“黄金分割”等），虽然极有应用价值，但不宜看成“双基”而只宜看成“准双基”某些与财政、金融、税收、存贷款、保险相关的内容诸如“打折”“边际成本”“本金”“利息”“利率”等，也都是这样这就是说，在中学数学教育中，不宜仅仅因为有所应用而任意扩大“双基”的范围3 简约性 由教育部于2000年3月颁发的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）中说： 基础知识是指：初中数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法 基本技能是指：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理 可以说，这是我国建国51年以来（19492000）对中学数学中“双基”（高中数学中关于“双基”的界定与初中大同小异）这两个概念较为科学、准确的阐述当然它也有不足之处，例如在“基础知识”一项中，未对“初中数学”作出界定，这样就难以辨别商场的“打折”算不算初中数学里的概念或基础知识实际上，某一概念是否属于中学数学的基础知识，要看它在中学数学中的地位作用、学习难度以及社会需要，这三个维度是有序的 根据上述大纲的阐述，便容易理解数学“双基”具有简约性这主要表现在：3.1 略去细节，反映本质有些内容的细节与数学无关，常常首先被略去；有些细节对进一步研究形成障碍（例如一些无穷小量），常常被忽略不计“双基”是在略去细节后形成的，它们反映的是事物在数量关系和空间形式方面的本质比方在“勾三股四弦五”中，直角三角形各条边的性质结构、具体计量单位和测量误差都被略去了，仅仅剩下了一个数量关系式和对应的几何图形3.2 语言简练，用词精确虽然应用数学“双基”的语言文字可能写得十分累赘、模糊，但直接叙述“双基”的语句，经过千锤百炼，却极为简练、精确在这方面，汉语比西方语言更为出色例如众所周知的乘法口诀、代数中的“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，平面几何中的点线面体及“点动成线、线动成面、面动成体”，“等边对等角”，“等角对等边”等等，都是极为精练、精确的所以，不少属于数学“双基”的内容，与文学艺术中的名句和著名诗词一样，是数学文化中的一串串明珠，值得反复赏析、品味、诵记和应用，使之请熟于心的3.3 符号、文字、图形三种数学语言的相互配合例如：把指数函数的图象画在同一个坐标系中，就能获得大量信息，大致记住指数函数、对数函数的基本性质及两者的对比在解决实际问题时，则可据此思想画出草图来进行分析和想象在这方面，数学语言的内涵要比有些学科中作文时的“看图说话”“看图作文”丰富得多 由于数学“双基”具有简约性，其语言简练、精确，所以争议较少与此不同，在数学应用领域中的一些词语、规律，由于应用者及应用范围、程度的不同，会产生不同的评价例如对于“黄金分割”，据统计只有三分之一的被调查者喜欢它，著名的“80：20法则”却有广大的拥护者所以还不如用“0.618法”来取代“黄金分割”一词为好改成“0.618法”后，倒有可能成为中学数学里的一项“双基”（是一种方法，但算不上通法）4 系统性 与其他学科相比，数学是最有系统性的4.l 各分支自成体系这是数学的特性之一各分支的体系成为这一分支的专门研究人士进行思维活动的基础和桥梁 数学中的“双基”，仍然可以按所属分支自成体系将各分支综合后，不能失掉相对的系统性于是探求新的“双基”综合体系成了数学教育工作者最艰难的工作之一，不少人为此作出了终身的努力在国内外中学数学课程改革中，失去数学相对系统性对数学教育带来的教训俯拾皆是，值得记取4.2 概念、定理之间通过归纳、演绎和类比来获得这使得数学成为与物理、化学、生物等实验科学不同的思维科学数学活动本质上是一类思维活动，其成果主要是思维成果数学教育主要是通过“说”理、“用”理来进行的，其中的动手操作仅仅是辅助和配合数学教育的成果是以学生理性思维、形象思维水平的综合提高来作为衡量标志的 学生在进行数学思维活动时，还要进行化归归纳、演绎、类比与化归都带有创新性所以数学创新并不是发现式教学独有的成果另外，演绎是数学推理的重要手段，过分削弱演绎，就会降低学生原来可以达到的思维水平，同时也削弱了数学的系统性4.3 关注由易到难的顺序数学“双基”与各种严谨的数学专著不同，编排时要遵循教育学中的学习规律例如：应该先安排有理数、整式中必要的“双基”，然后再安排一元一次方程（当然解法可以与应用员步）；应该先直观介绍点线面体，然后讲平面几何，到一定程度后再穿插讲立体图形有些从事中学数学课程改革的研究人员，一方面崇尚所谓“数学是研究秩序和模式的科学”，另一方面又随意改变数学“双基的“内在秩序”，这实在是匪夷所思的5 联系性5.1 数形结合不仅现实世界中的“数”与“形”是结合在一起的，而且看起来虚拟的“数”（例如虚数）与“形”（例如非欧几何中的图形）也是密不可分的后者还为学生发展形象思维提供了重要的场所“数形结合”是一项重要的数学思想，也是一种基本的数学方法5.2 互相渗透数学“双基可以各自隶属于各个不同的分支，又可以综合成一门基础数学合成后的“双基”为数学各分支的综合应用提供了保证，实际上，“分”与“合”都是有利有弊的在这个问题上，可以参考的原则是：分开安排时，分支数目应尽量减少；综合起来时，原分支的“双基”安排应相对集中一般说来，学生在学习数学时，“分”比“合”更易于接受；而在应用数学解决问题时，“合”比“分”更易于克服障碍，找到捷径5.3 可以序化或用模式来表示“序”（无论是全序、半序或其他的序）使得研究对象容易比较，“模式”则使学习者和研究者便于记忆和应用现代科学的各个分支都要研究秩序和模式，数学中研究的“秩”与“序”以及“模式”，都是与数量、空间有关的，并以数量、空间为研究手段正是在这一点上，数学与其他科学（包括自然科学、人文科学、社会科学）才是有所区别的严格说来，在社会科学中，秩序是有阶级性的，利用数学去研究社会科学中的秩序，不同阶级或立场的学者会有不同的结果6 包含思想和方法6.l 思想、方法可以由“双基”的内容反映出来反过来，要让“双基”不反映出思想、方法是不可能的，也是做不到的揭示出这种关系，是我国老一辈的数学教育研究者的一项贡献 例如，“分组分解法”中要运用加法结合律及拆项，这里反映了数学中的化归思想，“分组分解”本身是一种方法，施行这种方法时，又运用了合并、拆分等更基本的通法分组分解法还是配方法的基础如果把加法结合律与配方法列为必学内容，同时又删去分组分解法，这实在是难以理解的 又如，画三角形的方法中反映了全等变换的思想，也反映了三角形全等公理（实际是定理）的运用所以应该以三角形全等公理为基础来学习画三角形，而不是正好相反 既然思想、方法是由“双基”反映出来的，“过程”与“方法”就不能成为并列概念从语言学上来讲，过程属于状态，而方法属于手段；在这里，与过程并列的是结果，与方法并列的是思想6.2 思想和方法是将“双基”转化成能力的两大关键思想和方法是数学“双基”中最活跃的成分，思想则是“双基”的基础和桥梁思想和方法因其应用十分广泛而变得容易记忆调查证明，中年以上的人对于数学概念、公式、定理，能准确记忆的越来越少，但他们普遍能记住某些基本的数学思想方法，例如排次序、比大小、分解组合、回到原处、画方位图、求出极限、忽略不计等这些思想方法是构成他们能力的要素，也是他们的数学素养的主要成分6.3 思想和方法是数学课程、教材、教学改革的重要地带这一方面是由于它们的地位和作用，另一方面也是由于经济、科技和数学本身的发展例如，近年来，估算的思想和方法越来越引起人们的重视由于时代的发展，有的数学方法已退出历史舞台，有的则不再是通法，其地位、作用正在削弱在数学课程改革中，删去某一基本数学思想，会对课堂造成重大影响例如删去公理概念及其所反映出来的公理化思想，就会牵动数学许多分支的学科结构7 应用的广泛性7.l 数学“双基”的应用在现实世界中无时不在，无处不有生活（在“终身学习”的理念下，生活应包括日常生活和学习生活）、生产、科研中处处用着“双基”数学“双基”与母语“双基”同为人生的最佳伴侣从这点上来说，人类在现实世界中随时随地可以应用数学中学数学教育要继续培养学生应用数学的愿望和能力，并从应用中获得效益应用根据其意义、价值有大小、多少之分，但决无“有用”“无用”之分说计算尺的用处不大了，是因为现在有更加便捷、精确的计算工具，可以代替计算尺的全部功能因此不宜把数学分成“有用的数学”和“无用的数学”7.2 数学“双基”主要通过多门科学和多种技术的通力配合实现其应用数学内部也有应用，但这种应用形成的是数学自身的体系，没有越出数学的范围而实际问题总是与多门科学、多种技术相关的，应用数学解决实际问题，总是同时应用许多科学技术来完成的为了实现这样的应用，数学教学中可以适当采用“课题学习”和“综合应用”等方式7.3 略去细节后的应用在对实际问题进行分析时，总要略去与数学无关的因素和意义不大的因素，对某些很小的数量“忽略不计”，对某些较繁的数据取近似值，然后建立数学模型实际问题通常是十分复杂的，如果不略去细节，一般难以进人中学生的研究范围事实上，即使科学研究，也是或多或少地贯彻这条原则的 正是可以略去细节，使中学数学教科书中出现了许多“文字题”有些文字题可以传承并纳入数学经典任何一个实际问题要流芳百世、万古长青，都必须先变成文字题从1995年起，全国高考开始在试卷中设计实际问题，这些问题其实已经是“准文字题”，其中还包含着大量不属于数学“双基”的经济、市场、财金、环保、人口等方面的词语对于这样的实际问题，不能以略去某些细节而对它们进行指责（当然可以改进）不过，随着时代的前进、各学科的发展这样的“准文字题”应该大力开发，使之成为中学数学“双夺得以应用的百花似锦的一片灿烂园地 最后需要指出，数学“双基”的应用不仅仅限于在市场经济中的“实用”，它还包括用来进行思维训练、语言修养和用作美育素材的一个组成部分把数学“双基”有广泛的应用性说成实用是错误的8 大众文化性 数学“双基属于大众文化8.1 它们都是大众从事数学活动的产物数学家的研究成果也是基于大众从事的数学活动而且，数学“双基”只有通过大众的数学活动载体即生活（包括学习）和生产才能得以传授 数学“双基”是基础数学的核心；基数数学是大众文化的重要组成部分所以，数学素养是公民的科学文化素质的基本要素写人我国中学数学教学大纲的“双基”，是对于我国每一名中学毕业生提出的在中学期间必须达到的最低要求这些“双基”的内容和层次，在一定程度上反映了我国中学毕业生的文化位阶8.2 为大众可接受数学“双基”必须根据对中学生的教学目标和年龄特征、接受程度来加以确定由于当代中国各领域的发展对人才的需求，未来的中国大众应该普及九年义务教育，并且有相当大的比例完成高中教育这样，数学“双基”应该为未来的中国大众可接受人人都可以学习中学数学，学过的人中绝大部分可以达标8.3 在大众的社会和思维活动中获得应用，并在应用中获得认同和发展数学“双基”可以在数学家的研究中获得应用和发展，但这一方面的范围是有限的，它们主要是在大众（有时有数学家的直接引领，例如优选法、正交设计等）的活动中获得应用和发展的大众的活动还可以检验数学“双基”及其延伸内容的正确性，以及提供修正错误的有关信息和依据 通过以上分析，我们可以确定地说：数学“双基”是属于大众的，是为大众服务并由大众来应用和发展的数学“双基”的大众文化性，把它们与数学科学区分开来，成为大众数学素质的奠基部分9 对情感和价值观的容斥9.1 数学“双基”本身对情感和价值观是排斥的任何自然科学的研究成果应该排斥情感的注人，这样才能保证成果的客观性，这是自然科学研究与社会科学、人文科学研究的根本区别之一数学研究也是这样例如逻辑代数的创立并没有穿插创立者个人的情感，他当时也不知道逻辑代数在四十多年后会获得重要应用非欧几何的创立者们也是这种情况我们不妨说，这些研究者并没有关注研究对象在当时是公有市场价值旭他们关注求真和自然辩证法，关注研究对象的思维价值另外，数学研究成果总是实事求是的研究态度的产物，所以数学“双基”与态度是相容的9.2 数学“双基”的获得过程反映了人类大量投人的情感、态度、价值观与成败经历数学“双基”本身虽与情感和价值观无关，但研究他们的人是有情感、态度和价值观的，他们对数学“双基”有强烈的热爱，对研究目标有浓厚的兴趣和执著的精神，在研究过程中有正确的、实事求是的态度，并且整个研究充分反映了他们的价值取向，即为科学、为人类做出贡献9.3 在数学“双基”教学中，必须重视对学生情感、态度、价值观的培养培养的素材可以取自以下