高中数学第二章2.3.2等比数列的前N项和同步训练.docx

2.3.2 等比数列的前n项和5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在等比数列an中，Sn=65，n=4，q=，则a1=_.解析：Sn=65，即：a1=27.答案：272.等比数列an中，a1=3,q=2，则S6=_.解析：S6=189.答案：1893.求和：x+x2+x3+xn=_.解析：当n=1时，Sn=n;当n=0时，Sn=0，当x1,0时，Sn=，当x=0时也满足.故x+x2+xn=答案：n(x=1)或4.等比数列an的各项都是正数，若a1=81,a5=16,则它的前5项和是_.解析：设等比数列an的公比为q，a1=81,a5=16，得q=,又等比数列的各项都是正数，则其公比q=，所以S5=211，即S5=211.或利用S5=211.答案：21110分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.计算：1+3+3+的值是( )A. B.C. D.解析：此数列是以1为首项，为公比的等比数列，而=1()n-1=()9,n=10，S10=.故选D.答案：D2.在等比数列an中,a1=2,前n项和为Sn,若数列an+1也是等比数列,则Sn等于( )A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1解析：因数列an为等比数列，则an=2qn-1，因数列an+1也是等比数列，则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1) an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0 q=1.即an=2，所以Sn=2n.答案：C3.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( )A.a(1+p)7 B.a(1+p)8C.(1+p)7-(1+p) D.(1+p)8-(1+p)解析：2001年存入的a元到2008年所得的本息和为a(1+p)7，2002年存入的a元到2008年所得的本息和为a(1+p)6，依此类推，则2007年存入的a元到2008年的本息和为a(1+p)，每年所得的本息和构成一个以a(1+p)为首项，1+p为公比的等比数列，则到2008年取回的总额为a(1+p)+a(1+p)2+a(1+p)7=(1+p)8-(1+p).答案：D4.数列an中，an+1=，已知该数列既是等差数列又是等比数列，则该数列的前20项和S20=_.解析：设数列中的每一项为a，代入到已知等式中，得：a=，求出a=5,a=0（舍去）.S20=205=100.答案：1005.求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.解：由a1=1,a2=2得q=2,S4=1 023.从第5项到第10项的和为S10-S4=1 008.6.在等比数列an中S3=4,S6=36，求an.解：,q1,S3=36, 两式相除得1+q3=9,q=2.将q=2代入S3=4，得a1=，an=2n-1=2n+1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.一条信息，若一人得知后用一天时间将信息传给2人，这2人每人又用一天时间传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需时间大约是( )A.3个月 B.1个月 C.10天 D.20天解析：本题即为求等比数列1,2,22,23,2n-1，的前n项和为100万时n为多少的问题.于是=106，2n=106+1，两边取对数得：nlg2=lg106,n=20.答案：D2.等比数列an中，已知a1=1，且共有偶数项，若其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则公比q=_,项数共有_项.解析： 设项数为2k(kN*)，则(a1+a3+a5+a2k-1)q=a2+a4+a6+a2k.q=2.又a1=1,Sn=2n-1.又Sn=170+85=255,n=8.即共有8项.答案：2 83.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q的值为_.解析：Sn=,2Sn=Sn+1+Sn+2，则有2=，q2+q-2=0,q=-2.答案：-24.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数为_.解析：要求底层点灯的盏数，所以设底层为a1盏，作为数列的首项.共381盏灯，列出前n项和.即：S7=381a1=192.答案：1925.已知数列an是等比数列，且a1+an=66，a2an-1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q.解：a1an=a2an-1=128,a1+an=66,a1、an可看作方程x2-66x+128=0的两根，解得x1=2,x2=64.a1=2,an=64或a1=64,an=2.若a1=2,an=64,显然q1，由=126,得2-64q=126-126q,q=2.由an=a1qn-1，得2n-1=32,n=6.若a1=64,an=2，同理可求得q=,n=6.综上述可知，n的值为6，公比q为2或.6.已知数列an的通项公式为an=nan(a0且a1)，求Sn.解：Sn=a+2a2+3a3+nan a得：aSn=a2+2a3+(n-1)an+nan+1 -得：(1-a)Sn=a+a2+a3+an-nan+1=.Sn=.7.设等比数列an的前n项和为Sn，已知S4=1,S8=17,求an的通项公式.解：设an的公比为q，由S4=1,S8=17知q1,所以得=1. =17, 由式整理得=17,解得q4=16.所以q=2或q=-2.将q=2代入式得a1=，所以a=.将q=-2代入式得a1=，所以an=.8.某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内一年比一年产值增长10%，从今年起的第三年，这个工厂的年产值是多少万元？这三年的总产值是多少万元？（精确到万元，1.131.33）解：设去年的产值为a1万元，今年的产值以及以后各年的产值依次为a2万元，a3万元由于an+1=an(1+0.1)，故数列an是等比数列，则第三年该厂的年产值为a4=a1q3=1001.13133（万元）.这三年的总产值为S4-a1=-100364（万元）.9.数列an的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=Sn，n=1,2,3, ,求:（1）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（2）a2+a4+a6+a2n的值.解：（1）由a1=1，an+1=Sn，n=1，2，3，得a2=S1=a1=，a3=S2=(a1+a2)=，a4=S3=(a1+a2+a3)=，由an+1-an=(Sn-Sn-1)= an（n2），得an+1=an（n2）.又a2=，所以an=()n-2(n2)，数列an的通项公式为an=（2）由（）可知a2,a4, ，a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列，a2+a4+a6+a2n=.10.某市2004年底有住房面积1 200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）解：（1）2005年底的住房面积为：1 200（1+5%）-20=1 240（万平方米），2006年底的住房面积为：1 200（1+5%）2-20（1+5%）-20=1 282（万平方米），200