高考数学专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题限时规范训练理.docx

第1课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1(2019广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围解析：(1)由题意知，2cb，a2b2c2，解得c1，a2，b.所以椭圆M的标准方程是1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，直线AB：ykxm.将ykxm，代入1得，(4k23)x28kmx4m2120.则x1x2，x1x2.因为B，C，F2共线，所以kBF2kCF2，即，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，所以2k(mk)2m0，解得m4k.所以直线AB：yk(x4)，与x轴交于定点P(4,0)因为y3x，所以(x14，y1)(x11，y1)x5x14yx5x112.因为2x1b0)的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形解析：(1)由已知，得，b，又c2a2b2，故解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)证明：由(1)，知F1(1，0)，如图，易知直线MN不能平行于x轴，所以令直线MN的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2.此时|MN|.同理，令直线PQ的方程为xmy1，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，此时y3y4，y3y4，此时|PQ|，故|MN|PQ|.所以四边形MNPQ是平行四边形若平行四边形MNPQ是菱形，则OMON，即0，于是有x1x2y1y20.又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，所以有(m21)y1y2m(y1y2)10，整理得到0，即12m250，上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形3(2019安庆二模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点(2，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A、B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记ABM，ABN的面积为S1，S2，求|S1S2|的最大值解析：(1)根据题意可得：，1，a2b2c2，解得：a28，b2.故椭圆C的标准方程为：1.(2)由(1)知F(2,0)，当直线l的斜率不存在时，S1S2，于是|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线l：yk(x2)(k0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(12k2)x28k2x8k280.x1x2，x1x2，于是|S1S2|4|y1y2|2|k(x1x2)4k|24.当且仅当k时等号成立，此时|S1S2|的最大值为4.综上，|S1S2|的最大值为4.4(2019朝阳区模拟)过椭圆W：y21的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，1)重合过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.(1)求B点坐标和直线l1的方程；(2)求证：|EF1|F1G|.解析：(1)由题意可得直线l1的方程为yx1.与椭圆方程联立，由可求B.(2)证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为yk(x1)(k1)由消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220.则x1x2，x1x2.由已知，x20，则直线AD的方程为y1x，令x1，得点E的纵坐标yE.把y2k(x21)代入得yE.由已知，x1，则直线BC的方程为y，令x1，得点G的纵坐