计算方法习题选编及参考解答.doc

一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若，则其六阶差商（ C ）A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为 （ D ）A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （ B ）A. 都发散；B. 都收敛C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散；D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。 5. 对于试验方程，Euler方法的绝对稳定区间为（ C ）A. ； B. ；C. ； D. ；二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知，则 ， 16 ， 2. 已知，则 f (x)的线性插值多项式为,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。3. 要使的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。三、利用下面数据表， 10.466758.030146.042414.425693.12014f (x) (x)2.62.42.22.01.8x 1. 用复化梯形公式计算积分的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 1分 2. 用复化Simpson公式计算积分的近似值。(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分） 解：用复化辛甫生公式计算 取 8分 4、 已知矩阵，求矩阵A的Doolittle分解。 （10分） 解：用紧凑格式法 2分 5分 8分 10分5、 用Newton迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。 （12分） 解： ， 6分 8分 ， 11分 故，方程的近似根为1.8974 12分六、对下面线性方程组 （12分） 1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；解 1. 雅可比法: 是对角元素为正的实对称阵,下面判别是否同时正定:正定 5分 不正定.即不同时正定 8分 故,Jacobi法发散. 9分2. 高斯-塞德尔法:由1知, 是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛. 10分其迭代格式为 12分七、已知初值问题：，取步长h =0.1，1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。 （14分）解：1 .建立具体的Euler公式: 3分已知，则有： 5分 7分 解：2.建立具体的改进的Euler公式: 10分已知则有： 12分 14分 习题一1. 设 ， 假定 g是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。2. 设 且 ，求证：3. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过， 问使用函数表的步长应取多少？4. 求 在a,b上的分段线性插值函数 ，并估计误差。5. 已知单调连续函数的如下数据 0.110.001.501.801.230.101.171.58 用插值法计算约为多少时 （小数点后至少保留4位）6. 设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 ， 使其满足 ，, 并写出误差估计式。7、利用Remez算法，计算函数 ，在区间0，1 上的二次最佳一致逼近多项式 （要求 精度为0.0005）.8、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在上 求的三次最佳一致逼近多项式。9、设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方 逼近，并比较其结果。10、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。 192531384419.032.349.073.387.811、用格拉姆施密特方法构造正交多项式求在0，1上的二次最佳平方逼近多项式。（参 考讲义与参考书）12、求在1，1上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）13、编出用正交多项式(格拉姆施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1）2）3）4）15用下列方法计算积分，并比较结果。1）龙贝格方法；2）三点高斯公式；3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。16. 建立高斯型求积公式。（参考讲义与参考书） 习题二1. 用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组 。2. 矩阵第一行乘以一数，成为 , 证明：当 时，有最小值。3. 设有方程组，其中已知它有解。 如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。4. (编程题) 设计一通用的列主元消去法程序并可计算条件数（用于判断方程病态程度）。5. 对线性代数方程组设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯 赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。6. 设方程组 试考察解此方程组的雅可比 迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。7. 设线性方程组为 （1） 证明用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。（2） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。8. 证明矩阵对于是正定的，而雅可比迭代只对 是收敛的。9已知有一个近似特征值，用反幂法求对应的特征向量，并改进 特征值的精度。1011已知构造一个Householder变换矩阵H，使得。 习题三1. 为求方程附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。1） 迭代公式2） 迭代公式3） 迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性。2 已知在区间内只有一根，而当时，试问如何将化为适于迭代的形式？ 将化为适于迭代的形式，并求（弧度）附近的根。3能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1） （2）4 用梯形方法解初值问题 证明其近似解为并证明当时，它收敛于原初值 问题的准确解5. 写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）6. 证明对任意参数，下列龙格库塔公式是二阶的： 7. 导出具有下列形式的三阶方法： PART II 参考解答 习题一1. 设，假定是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解： 2. 设且，求证解：由插值余项为 3. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误 差不超过，问使用函数表的步长应取多少？ 解： 4. 求在a,b上的分段线性插值函数，并估计误差。解： 5. 已知单调连续函数的如下数据0.110.001.501.801.230.101.171.58 用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。 由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 故 6. 设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式，使 其满足，,。并写出误差估计式。 解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式， 由题意可设为确定待定函数，作辅助函数： 则在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点为二重零点），反复应用罗尔 定理，知至少有一个零点使，从而得。 故误差估计式为7编程实现题：略。8、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在上 求的三次最佳一致逼近多项式。 解：令设为在上的三次最佳一致逼近多项式，由于的首项系数为，故 9. 设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。解： 由结果知（1）比（2）好。10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。 192531384419.032.349.073.387.8解： 11、用格拉姆施密特方法构造正交多项式求在0，1上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书） 解： 构造正交多项式 于是 所以，在0，1上的二次最佳平方逼近多项式为 12、求在1，1上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）解 先计算。 ； ； ；又有， ， ，得 均方误差 13、编出用正交多项式(格拉姆施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书） 略。14 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1）2）3）4）解：（1）三个参数，代入 （2）三个参数，代入 15用下列方法计算积分，并比较结果。1） 龙贝格方法；2） 三点高斯公式；3） 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 16 建立高斯型求积公式。（参考讲义与参考书） 习题二1.用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组 2. 矩阵第一行乘以一数，成为,证明当时，有最小值。3.设有方程组，其中已知它有解。如果右端有小 扰动，试估计由此引起的解的相对误差。 4. (编程题) 设计一通用的列主元消去法程序并可计算条件数（用于判断方程病态程度）。(略)5. 对线性代数方程组 设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。解： 因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯赛德尔迭代法均收敛。雅可比迭代格式为： 高斯赛德尔代格式为：6.设方程组 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。7. 设线性方程组为 （3） 证明用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。（4） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。证：（1）雅可比法的迭代矩阵为，其谱半径为而高斯赛德尔法迭代矩阵为 ，故其谱半径为显然与同时小于1、等于或大于1，因而雅可比和高斯赛德尔法具有相同的敛散性。(2)雅可比和高斯赛德尔法同时收敛时，有故高斯赛德尔迭代法收敛快。8. 证明矩阵对于是正定的，而雅可比迭代只对是收敛的。9 已知有一个近似特征值，用反幂法求对应的特征向量，并改进特征值的精度。解：由计算得：A的特征向量为（0.046147,0.374918,1），特征值为6.42107。10 11已知构造一个Householder变换矩阵H，使得。解： 取，而其2范数 所以 ，Householder变换矩阵H为 。习题三1. 为求方程附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。4） 迭代公式5） 迭代公式6） 迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性。解：2. 已知在区间内只有一根，而当时，试问如何将化为适于迭代的形式？ 将化为适于迭代的形式，并求（弧度）